Отрицательная база - Negative base

А отрицательная база (или отрицательный основание ) может использоваться для построения нестандартная позиционная система счисления. Подобно другим системам с позиционными ценностями, каждая позиция имеет мощность, кратную соответствующей мощности основы системы; но это основание отрицательное, то есть основание $б$ равно $-r$ для некоторого натурального числа $р$ ( $г \geq 2$ ).

Системы с отрицательным основанием могут содержать все те же числа, что и стандартные системы с разрядными значениями, но как положительные, так и отрицательные числа представлены без использования знак минус (или, в компьютерном представлении, знаковый бит ); этому преимуществу противостоит повышенная сложность арифметических операций. Необходимость хранить информацию, обычно содержащуюся в отрицательном знаке, часто приводит к тому, что отрицательное базовое число оказывается на одну цифру длиннее, чем его положительный эквивалент.

Общие названия для позиционных систем счисления с отрицательным основанием образованы префикс отрицательный названию соответствующей положительно-базовой системы; Например, негадецимальный (основание -10) соответствует десятичная дробь (база 10), негабаритный (по основанию −2) в двоичный (база 2), отрицательный (основание −3) до тройной (база 3), и четвертичный (основание -4) до четвертичный (база 4).^[1]^[2]

пример

Рассмотрим, что подразумевается под представлением 12243 в негадецимальной системе, основание которой $б$ равно -10:

Кратные
$(-10) 4 = 10,000$	$(-10) 3 = -1,000$	$(-10) 2 = 100$	$(-10) 1 = -10$	$(-10) 0 = 1$
1	2	2	4	3

Поскольку 10,000 + (−2,000) + 200 + (−40) + 3 = 8,163, представление 12,243₋₁₀ в негадецимальной системе счисления эквивалентно 8,163₁₀ в десятичной системе счисления, а −8,163₁₀ в десятичной форме будет написано 9,977₋₁₀ в негадецимальной системе.

История

Отрицательные числовые основы впервые были рассмотрены Витторио Грюнвальд в монографии 1885 г., опубликованной в Математические площади Баттаглини.^[3] Грюнвальд дал алгоритмы для выполнения сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, проверки делимости и преобразования системы счисления. Отрицательные основания позже упоминались мимоходом. А. Дж. Кемпнер в 1936 г.^[4] и более подробно изучен Здислав Павляк и А. Вакулич в 1957 г.^[5]

Negabinary был реализован в начале Польский компьютер BINEG (и UMC ), построенный в 1957–59 гг. по идеям З. Павляка и А. Лазаркевича из Математический институт в Варшава.^[6] С тех пор реализации были редкостью.

Обозначения и использование

Обозначая базу как $-r$ , каждые целое число $а$ можно записать однозначно как

{displaystyle a = sum _ {i = 0} ^ {n} d_ {i} (- r) ^ {i}}

где каждая цифра $d k$ целое число от 0 до $р - 1$ и первая цифра $d п$ является $> 0$ (если только $п = 0$ ). База $-r$ расширение $а$ затем задается строкой $d п d п -1 ... d 1 d 0$ .

Таким образом, системы с отрицательной базой можно сравнить с представление цифр со знаком, такие как сбалансированный тройной, где система счисления положительна, но цифры взяты из частично отрицательного диапазона. (В таблице ниже цифра значения -1 записана как одиночный символ T.)

Некоторые числа имеют одинаковое представление в базе $-r$ как в базе $р$ . Например, числа от 100 до 109 имеют одно и то же представление в десятичной и негадецимальной системе. Так же,

{displaystyle 17 = 2 ^ {4} + 2 ^ {0} = (- 2) ^ {4} + (- 2) ^ {0}}

и представлен 10001 в двоичном и 10001 в негабинарном.

Некоторые числа с их разложениями в ряд положительных и соответствующих отрицательных оснований:

Десятичная дробь	Негадецимальный	Двоичный	Негабаритный	Троичный	Негативный	Сбалансированный троичный	Отрицательный сбалансированный троичный	Четвертичный	Negaquaternary
−15	25	−1111	110001	−120	1220	T110	11T0	−33	1301
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮
−5	15	−101	1111	−12	21	T11	TT1	−11	23
−4	16	−100	1100	−11	22	TT	1Т	−10	10
−3	17	−11	1101	−10	10	T0	10	−3	11
−2	18	−10	10	−2	11	Т1	11	−2	12
−1	19	−1	11	−1	12	Т	Т	−1	13
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	10	110	2	2	1Т	TT	2	2
3	3	11	111	10	120	10	T0	3	3
4	4	100	100	11	121	11	Т1	10	130
5	5	101	101	12	122	1TT	11 т	11	131
6	6	110	11010	20	110	1T0	110	12	132
7	7	111	11011	21	111	1T1	111	13	133
8	8	1000	11000	22	112	10 т	10 т	20	120
9	9	1001	11001	100	100	100	100	21	121
10	190	1010	11110	101	101	101	101	22	122
11	191	1011	11111	102	102	11 т	1TT	23	123
12	192	1100	11100	110	220	110	1T0	30	110
13	193	1101	11101	111	221	111	1T1	31	111
14	194	1110	10010	112	222	1TTT	TT1T	32	112
15	195	1111	10011	120	210	1TT0	TT10	33	113
16	196	10000	10000	121	211	1TT1	TT11	100	100
17	197	10001	10001	122	212	1T0T	TT0T	101	101
18	198	10010	10110	200	200	1T10	TTT0	102	102

Обратите внимание, что, за исключением отрицательно сбалансированной тройной, базовая $-r$ разложения отрицательных целых чисел имеют четное число цифр, а база $-r$ разложения неотрицательных целых чисел имеют нечетное число цифр.

Расчет

База $-r$ расширение числа можно найти повторным делением на $-r$ , записывая неотрицательные остатки в ${displaystyle {0,1, ldots, r-1}}$ , и объединение этих остатков, начиная с последнего. Обратите внимание, что если $а / б$ является $c$ с остатком $d$ , тогда $до н.э + d = а$ и поэтому $d = а - до н.э$ . Чтобы получить правильную конверсию, значение для $c$ должен быть выбран так, чтобы $d$ неотрицательна и минимальна. Это проиллюстрировано в четвертой строке следующего примера, в котором –5 ÷ –3 должно быть выбрано, чтобы равняться 2 остатку 1 вместо 1 остатка 2.

Например, чтобы преобразовать 146 из десятичной дроби в отрицательную:

{displaystyle {egin {array} {rr} 146div (-3) = & - 48 ~ имя оператора {остаток} ~ 2 -48div (-3) = & 16 ~ имя оператора {остаток} ~ 0 16div (-3) = & -5 ~ имя оператора {остаток} ~ 1 -5div (-3) = & 2 ~ имя оператора {остаток} ~ 1 2div (-3) = & 0 ~ имя оператора {остаток} ~ 2end {массив}}}

Читая остатки назад, мы получаем отрицательное представление 146₁₀: 21102_–3.

Доказательство: (((2 · (–3) + 1) · (–3) + 1) · (–3) + 0) · (–3) + 2 = 146₁₀.

Обратите внимание, что в большинстве языки программирования, результат (в целочисленной арифметике) деления отрицательного числа на отрицательное число округляется до 0, обычно оставляя отрицательный остаток. В таком случае мы имеем $а = (- р) c + d = (- р) c + d - р + р = (- р)(c + 1) + (d + р)$ . Потому что $| d | < р$ , $(d + р)$ положительный остаток. Следовательно, чтобы получить правильный результат в таком случае, компьютерные реализации вышеуказанного алгоритма должны добавить 1 и $р$ к частному и остатку соответственно.

Пример кода реализации

В негабинарный

C #

статический строка ToNegabinary(int ценность){	строка результат = строка.Пустой;	в то время как (ценность != 0)	{		int остаток = ценность % -2;		ценность = ценность / -2;		если (остаток < 0)		{			остаток += 2;			ценность += 1;		}		результат = остаток.Нанизывать() + результат;	}	вернуть результат;}

C ++

авто to_negabinary(int ценность){    стандартное::битсет<размер(int) * CHAR_BIT > результат;    стандартное::size_t bit_position = 0;    в то время как (ценность != 0)    {        const авто div_result = стандартное::div(ценность, -2);        если (div_result.rem < 0)            ценность = div_result.quot + 1;        еще            ценность = div_result.quot;        результат.набор(bit_position, div_result.rem != 0);        ++bit_position;    }    вернуть результат;}

К отрицательному

C #

статический строка отрицательный(int ценность){	строка результат = строка.Пустой;	в то время как (ценность != 0)	{		int остаток = ценность % -3;		ценность = ценность / -3;		если (остаток < 0)		{			остаток += 3;			ценность += 1;		}		результат = остаток.Нанизывать() + результат;	}	вернуть результат;}

Visual Basic .NET

Частный Общий Функция ToNegaternary(ценность Так как Целое число) Так как Строка	Тусклый результат Так как Строка = Строка.Пустой	В то время как ценность <> 0		Тусклый остаток Так как Целое число = ценность Мод -3		ценность /= -3		Если остаток < 0 потом			остаток += 3			ценность += 1		Конец Если		результат = остаток.Нанизывать() & результат	Конец В то время как	Вернуть результатКонец Функция

Python

def отрицательный(я: int) -> ул:    "" "От десятичной дроби к отрицательной." ""    если я == 0:        цифры = ["0"]    еще:        цифры = []        в то время как я != 0:            я, остаток = divmod(я, -3)            если остаток < 0:                я, остаток = я + 1, остаток + 3            цифры.добавить(ул(остаток))    вернуть "".присоединиться(цифры[::-1])

>>> отрицательный(1000)'2212001'

Common Lisp

(defun отрицательный (я)  (если (нулевой я)      "0"      (позволять ((цифры "")            (rem 0))        (петля в то время как (не (нулевой я)) делать          (прогноз            (набор с несколькими значениями (я rem) (обрезать я -3))            (когда (минус rem)              (incf я)              (incf rem 3))            (setf цифры (соединять 'строка (запись в строку rem) цифры))))        цифры)))

К любой отрицательной базе

Ява

общественный Строка negativeBase(int целое число, int база) {    Строка результат = "";    int количество = целое число;    в то время как (количество != 0) {        int я = количество % база;        количество /= база;        если (я < 0) {            я += Математика.пресс(база);            количество++;        }        результат = я + результат;    }    вернуть результат;}

AutoLisp

из интервала [-10 -2]:

(defun негабаза (число баз / копать землю первый)  ;; NUM - любое число. BAZ - любое число в интервале [-10, -2].  ;;  ;; NUM и BAZ будут усечены до целого числа, если они являются плавающими (например, 14.25  ;; будет усечено до 14, -123456789,87 до -123456789 и т. д.).  (если (и (числоp число)           (числоp баз)           (<= (исправить баз) -2)           (> (исправить баз) -11))      (прогноз        (setq баз (плавать (исправить баз))              число (плавать (исправить число))              копать землю (если (= число 0) "0" ""))        (в то время как (/= число 0)               (setq первый (- число (* баз (setq число (исправить (/ число баз))))))               (если (минус первый)                   (setq число (1+ число)                         первый (- первый баз)))               (setq копать землю (strcat (итоа (исправить первый)) копать землю)))        копать землю)      (прогноз        (незамедлительный         (cond           ((и (не (числоp число))                 (не (числоp баз)))            «Неправильный номер и негабаза».)           ((не (числоp число))            "Неправильный номер.")           ((не (числоp баз))            "Неправильная негабаза".)           (т            «Негабаза должна быть внутри интервала [-10 -2]».)))        (принц))))

PHP

Преобразование целого числа в некоторую отрицательную базу:

функция toNegativeBase($ нет, $ base){    $ цифры = массив();    $ base = Intval($ base);    в то время как ($ нет != 0) {        $ temp_no = $ нет;        $ нет = Intval($ temp_no / $ base);        $ остаток = ($ temp_no % $ base);        если ($ остаток < 0) {            $ остаток += пресс($ base);            $ нет++;        }        array_unshift($ цифры, $ остаток);    }    вернуть $ цифры;}

Visual Basic .NET

Функция toNegativeBase(Число Так как Целое число , база Так как Целое число) Так как Система.Коллекции.Универсальный.Список(Из Целое число)    Тусклый цифры Так как Новый Система.Коллекции.Универсальный.Список(Из Целое число)    в то время как Число <> 0        Тусклый остаток Так как Целое число= Число Мод база        Число = CInt(Число / база)         если остаток < 0 тогда            остаток += система.математика.пресс(база)            Число+=1        конец если         цифры.Вставить(0, остаток)    конец в то время как     вернуть цифрыконец функция

Расчет ярлыка

Следующие алгоритмы предполагают, что

вход доступен в биты и закодирован в (основание +2; цифры в ${displaystyle {0,1}}$ ) (как и в большинстве современных цифровых компьютеров),
есть операции добавления (+) и xor (^), которые работают с такими битовыми строками (как в большинстве современных цифровых компьютеров),
набор ${displaystyle D}$ выходных цифр стандартное, т.е. е. ${displaystyle D = {0, | b | -1}}$ с базой ${displaystyle bin {-2, -4}}$ ,
вывод кодируется в том же формате битовой строки, но значение мест другое.

В негабинарный

Преобразование в негабаритный (основание −2; цифры в ${displaystyle {0,1}}$ ) позволяет замечательный ярлык (реализация C):

беззнаковый int toNegaBinary(беззнаковый int ценность) // ввод в стандартном двоичном формате{	беззнаковый int Schroeppel2 = 0xAAAAAAAA; // = 2/3*((2*2)^16-1) = ...1010	вернуть (ценность + Schroeppel2) ^ Schroeppel2; // Эксклюзивный или	// результирующее целое число без знака интерпретируется как строка элементов ε {0,1} (биты)}

Благодаря Д. Либрику (Судзику). Поразрядная часть XOR изначально связана с Schroeppel (1972).^[7]

Порт JavaScript для того же вычисления ярлыка:

функция toNegaBinary(количество) {    вар Schroeppel2 = 0xAAAAAAAA;    // преобразовать в отрицательную двоичную строку    вернуть ( ( количество + Schroeppel2 ) ^ Schroeppel2 ).нанизывать(2);}

К четвертичным

Преобразование в четвертичный (основание −4; цифры в ${displaystyle {0,1,2,3}}$ ) позволяет аналогичный ярлык (реализация C):

беззнаковый int toNegaQuaternary(беззнаковый int ценность) // ввод в стандартном двоичном формате{	беззнаковый int Schroeppel4 = 0xCCCCCCCC; // = 4/5*((2*4)^8-1) = ...11001100 = ...3030	вернуть (ценность + Schroeppel4) ^ Schroeppel4; // Эксклюзивный или	// результирующее целое число без знака интерпретируется как строка элементов ε {0,1,2,3} (пары битов)}

Порт JavaScript для того же вычисления ярлыка:

функция toNegaQuaternary(количество) {    вар Schroeppel4 = 0xCCCCCCCC;    // Преобразовать в NegaQuaternary String    вернуть ( ( количество + Schroeppel4 ) ^ Schroeppel4 ).нанизывать(4);}

Арифметические операции

Ниже описаны арифметические операции для негабинарных чисел; вычисления в более крупных базах аналогичны.

Дополнение

Сложение негабинарных чисел происходит поразрядно, начиная с младшие значащие биты; биты из каждого слагаемого суммируются с (сбалансированный тройной ) переносятся из предыдущего бита (0 в младшем разряде). Эта сумма затем разлагается на выходной бит и переносится на следующую итерацию, как показано в таблице:

Сумма		Вывод			Комментарий
Сумма		Немного	Нести		Комментарий
−2	010₋₂	0	1	01₋₂	−2 возникает только при вычитании.
−1	011₋₂	1	1	01₋₂
0	000₋₂	0	0	00₋₂
1	001₋₂	1	0	00₋₂
2	110₋₂	0	−1	11₋₂
3	111₋₂	1	−1	11₋₂	3 происходит только во время сложения.

Вторая строка этой таблицы, например, выражает тот факт, что −1 = 1 + 1 × −2; пятая строка говорит 2 = 0 + −1 × −2; и т.п.

Например, чтобы добавить 1010101₋₂ (1 + 4 + 16 + 64 = 85) и 1110100₋₂ (4 + 16 − 32 + 64 = 52),

Перенести: 1 −1 0 −1 1 −1 0 0 0 Первое сложение: 1 0 1 0 1 0 1 Второе слагаемое: 1 1 1 0 1 0 0 + ----------------- --------- Число: 1 −1 2 0 3 −1 2 0 1 Бит (результат): 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Перенос: 0 1 −1 0 −1 1 −1 0 0

так что результат 110011001₋₂ (1 − 8 + 16 − 128 + 256 = 137).

Другой способ

При добавлении двух отрицательных чисел каждый раз, когда создается перенос, дополнительный перенос должен передаваться на следующий бит. Рассмотрим тот же пример, что и выше

Дополнительный перенос: 1 1 0 1 0 0 0 Перенос: 1 0 1 1 0 1 0 0 0 Первое добавление: 1 0 1 0 1 0 1 Второе добавление: 1 1 1 0 1 0 0 + ---------- ---------------- Ответ: 1 1 0 0 1 1 0 0 1

Негабинарный полный сумматор

А полный сумматор Схема может быть разработана для сложения чисел в отрицательной системе. Для расчета суммы и переносов используется следующая логика:^[8]

{displaystyle s_ {i} = a_ {i} oplus b_ {i} oplus c_ {i} ^ {+} oplus c_ {i} ^ {-}}

{displaystyle c_ {i + 1} ^ {+} = {overline {a_ {i}}} {overline {b_ {i}}} {overline {c_ {i} ^ {+}}} c_ {i} ^ { -}}

{displaystyle c_ {i + 1} ^ {-} = a_ {i} b_ {i} {overline {c_ {i} ^ {-}}} + (a_ {i} oplus b_ {i}) c_ {i} ^ {+} {overline {c_ {i} ^ {-}}}}

Увеличение негабинарных чисел

Увеличение негабинарного числа можно выполнить по следующей формуле:^[9]

{displaystyle 2xoplus ((2xoplus x) +1)}

Вычитание

Чтобы вычесть, умножьте каждый бит второго числа на -1 и сложите числа, используя ту же таблицу, что и выше.

Например, для вычисления 1101001₋₂ (1-8-32 + 64 = 25) минус 1110100₋₂ (4 + 16 − 32 + 64 = 52),

Перенести: 0 1 −1 1 0 0 0 Первое число: 1 1 0 1 0 0 1 Второе число: −1 −1 −1 0 −1 0 0 + ----------------- --- Число: 0 1 −2 2 −1 0 1 Бит (результат): 0 1 0 0 1 0 1 Перенос: 0 0 1 −1 1 0 0

так что результат будет 100101₋₂ (1 + 4 −32 = −27).

Унарное отрицание, $- Икс$ , может быть вычислено как двоичное вычитание из нуля, $0 - Икс$ .

Умножение и деление

Сдвиг влево умножается на -2, сдвиг вправо делится на -2.

Умножать, умножать как обычно десятичная дробь или двоичный числа, но используя негабинарные правила для добавления переноса при сложении чисел.

Первое число: 1 1 1 0 1 1 0 Второе число: 1 0 1 1 0 1 1 × ------------------------------ ------- 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 + ------- ------------------------------ Перенести: 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 −1 0 −1 0 0 Число: 1 0 2 1 2 2 2 3 2 0 2 1 0 Бит (результат): 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Перенос: 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 −1 0 −1 0 0

Для каждого столбца добавьте нести к количество, и разделите сумму на −2, чтобы получить новый нести, а полученный бит - как остаток.

Сравнение негабинарных чисел

Можно сравнить негабинарные числа, немного изменив обычное беззнаковое число. двоичный компаратор. При сравнении чисел ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ , инвертируйте каждый нечетный бит обоих чисел. ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ с использованием стандартного компаратора без знака.^[10]

Дробные числа

База $-r$ представление, конечно, может осуществляться за пределы точка счисления, позволяющий представлять нецелые числа.

Как и в случае систем с положительным основанием, завершающие представления соответствуют дробям, знаменатель которых является степенью основания; повторяющиеся представления соответствуют другим рациональным числам и по той же причине.

Неуникальные представления

В отличие от систем с положительным основанием, где целые числа и завершающие дроби имеют неуникальные представления (например, в десятичном 0.999... = 1 ) в системах с отрицательной базой целые числа имеют только одно представление. Однако существуют рациональные числа с неуникальными представлениями. Для цифр {0, 1, ..., т} с участием ${displaystyle mathbf {t}: = r! - !! 1 = -b! - !! 1}$ самая большая цифра и

{displaystyle T: = 0. {overline {01}} _ {b} = sum _ {i = 1} ^ {infty} b ^ {- 2i} = {frac {1} {b ^ {2} -1} } = {гидроразрыв {1} {r ^ {2} -1}}}

у нас есть

{displaystyle 0. {overline {0mathbf {t}}} _ {b} = mathbf {t} T = {frac {r! - !! 1} {r ^ {2} -1}} = {frac {1} {г + 1}}}

а также

{displaystyle 1. {overline {mathbf {t} 0}} _ {b} = 1 + mathbf {t} bT = {frac {(r ^ {2} -1) + (r! - !! 1) b} {r ^ {2} -1}} = {frac {1} {r + 1}}.}

Итак, каждое число ${displaystyle {frac {1} {r + 1}} + z}$ с конечная дробь ${displaystyle zin mathbb {Z} r ^ {mathbb {Z}}}$ Added имеет два различных представления.

Например, в негативном, т.е. ${displaystyle b = -3}$ и ${displaystyle mathbf {t} = 2}$ , есть

{displaystyle 1. {overline {02}} _ {(- 3)} = {frac {5} {4}} = 2. {overline {20}} _ {(- 3)}}

.

Такие неуникальные представления можно найти, рассматривая наибольшее и наименьшее возможные представления с целыми частями 0 и 1 соответственно, а затем отмечая, что они равны. (На самом деле, это работает с любой системой с целочисленной базой.) Рациональные числа, таким образом, не однозначно выражаемые, имеют вид

{displaystyle {frac {z (r + 1) +1} {b ^ {i} (r + 1)}}}

с участием ${displaystyle z, iin mathbb {Z}.}$

Воображаемая база

Так же, как использование отрицательной базы позволяет представлять отрицательные числа без явного отрицательного знака, с помощью воображаемый база позволяет представить Гауссовские целые числа. Дональд Кнут предложил четвертичная мнимая база (база 2i) в 1955 году.^[11]

Смотрите также

использованная литература

^ Кнут, Дональд (1998), Искусство программирования, Том 2 (3-е изд.), Стр. 204–205.. Кнут упоминает как негабаритные, так и негадецимальные числа.
^ Негативная система кратко обсуждается в Петковшек, Марко (1990), «Неоднозначные числа плотны», Американский математический ежемесячник, 97 (5): 408–411, Дои:10.2307/2324393, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324393, Г-Н 1048915.
^ Витторио Грюнвальд. Intorno all'aritmetica dei sistemi numerici базовое отрицание с определенным ригидом al sistema numerico базовое отрицательно-десятичное значение для студии delle sue analogie coll'aritmetica ordinaria (decimale), Математические площади Баттаглини (1885), 203-221, 367
^ Кемпнер, А. Дж. (1936), «Анормальные системы счисления», Американский математический ежемесячный журнал, 43 (10): 610–617, Дои:10.2307/2300532, JSTOR 2300532, Г-Н 1523792. Единственная ссылка на отрицательные основания - это сноска на странице 610, которая гласит: «Положительные числа меньше 1 и отрицательные числа могут использоваться в качестве оснований с небольшими изменениями процесса и подходящими ограничениями на набор используемых цифр».
^ Pawlak, Z .; Вакулич, А. (1957), "Использование разложений с отрицательным основанием в арифмометре цифрового компьютера", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Класс III, 5: 233–236.
^ Марчинский, Р. В., «Первые семь лет польской вычислительной техники» В архиве 2011-07-19 на Wayback Machine, IEEE Annals of the History of Computing, Vol. 2, № 1, январь 1980 г.
^ См. Ссылку MathWorld Negabinary
^ Фрэнсис, Ю; Суганда, Джутамулия; Шизухуо, Инь (4 сентября 2001 г.). Введение в информационную оптику. Академическая пресса. п. 498. ISBN 9780127748115.
^ «Архивная копия». Получено 2016-08-29.
^ Муругесан, Сан (1977). «Отрицательные арифметические схемы с использованием двоичной арифметики». Журнал IEE по электронным схемам и системам. 1 (2): 77. Дои:10.1049 / ij-ecs.1977.0005.
^ Д. Кнут. Искусство программирования. Том 2, 3-е издание. Эддисон-Уэсли. С. 205, "Позиционные системы счисления"

дальнейшее чтение

Уоррен-младший, Генри С. (2013) [2002]. Хакерское наслаждение (2-е изд.). Эддисон Уэсли - Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5.

внешние ссылки

[1] Кнут, Дональд (1998), Искусство программирования, Том 2 (3-е изд.), Стр. 204–205.. Кнут упоминает как негабаритные, так и негадецимальные числа.

[2] Негативная система кратко обсуждается в Петковшек, Марко (1990), «Неоднозначные числа плотны», Американский математический ежемесячник, 97 (5): 408–411, Дои:10.2307/2324393, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324393, Г-Н 1048915.

[3] Витторио Грюнвальд. Intorno all'aritmetica dei sistemi numerici базовое отрицание с определенным ригидом al sistema numerico базовое отрицательно-десятичное значение для студии delle sue analogie coll'aritmetica ordinaria (decimale), Математические площади Баттаглини (1885), 203-221, 367

[4] Кемпнер, А. Дж. (1936), «Анормальные системы счисления», Американский математический ежемесячный журнал, 43 (10): 610–617, Дои:10.2307/2300532, JSTOR 2300532, Г-Н 1523792. Единственная ссылка на отрицательные основания - это сноска на странице 610, которая гласит: «Положительные числа меньше 1 и отрицательные числа могут использоваться в качестве оснований с небольшими изменениями процесса и подходящими ограничениями на набор используемых цифр».

[5] Pawlak, Z .; Вакулич, А. (1957), "Использование разложений с отрицательным основанием в арифмометре цифрового компьютера", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Класс III, 5: 233–236.

[6] Марчинский, Р. В., «Первые семь лет польской вычислительной техники» В архиве 2011-07-19 на Wayback Machine, IEEE Annals of the History of Computing, Vol. 2, № 1, январь 1980 г.

[7] См. Ссылку MathWorld Negabinary

[8] Фрэнсис, Ю; Суганда, Джутамулия; Шизухуо, Инь (4 сентября 2001 г.). Введение в информационную оптику. Академическая пресса. п. 498. ISBN 9780127748115.

[9] «Архивная копия». Получено 2016-08-29.

[10] Муругесан, Сан (1977). «Отрицательные арифметические схемы с использованием двоичной арифметики». Журнал IEE по электронным схемам и системам. 1 (2): 77. Дои:10.1049 / ij-ecs.1977.0005.

[11] Д. Кнут. Искусство программирования. Том 2, 3-е издание. Эддисон-Уэсли. С. 205, "Позиционные системы счисления"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]