Сенары - Википедия - Senary

А сенарный (/ˈsяпərя,ˈsɛпərя/) система счисления (также известный как база-6, гексимальный, или же сексимальный) имеет шесть как его основание. Он был принят независимо небольшим количеством культур. Нравиться десятичный, это полупервичный, хотя и являясь произведением двух последовательных чисел, которые являются простыми (2 и 3), он имеет высокую степень математических свойств для своего размера. Поскольку шесть - это высшее очень сложное число, многие аргументы в пользу двенадцатеричный Система также применима к базе-6. В свою очередь, сенарная логика относится к расширению Яна Лукасевича и Стивен Коул Клини системы троичной логики, приспособленные для объяснения логики статистических тестов и шаблонов отсутствующих данных в науках с использованием эмпирических методов.^[1]

Формальное определение

Стандарт набор цифр в сенаре дается ${ Displaystyle { mathcal {D}} _ {6} = lbrace 0,1,2,3,4,5 rbrace}$, с линейный порядок ${ Displaystyle 0 <1 <2 <3 <4 <5}$. Позволять ${ Displaystyle { mathcal {D}} _ {6} ^ {*}}$ быть Клини закрытие из ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {6}}$, куда ${ displaystyle ab}$ это операция конкатенация строк за ${ displaystyle a, b in { mathcal {D}} ^ {*}}$. Сенарная система счисления для натуральные числа ${ displaystyle { mathcal {N}} _ {6}}$ это набор частных ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {6} ^ {*} / sim}$ оснащен заказ шортлекс, где класс эквивалентности ${ displaystyle sim}$ является ${ displaystyle lbrace n in { mathcal {D}} _ {6} ^ {*}, n sim 0n rbrace}$. В качестве ${ displaystyle { mathcal {N}} _ {6}}$ имеет короткий заказ, это изоморфный к натуральным числам ${ Displaystyle mathbb {N}}$.

Математические свойства

При выражении в сенарах все простые числа кроме 2 и 3, последняя цифра - 1 или 5. В сенарии пишутся простые числа

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (последовательность A004680 в OEIS )

То есть для каждого простого числа п больше 3, один имеет модульная арифметика отношения, которые либо п ≡ 1 или 5 (mod 6) (то есть 6 делит либо п - 1 или п - 5); последняя цифра - 1 или 5. Это доказано от противного. Для любого целого числа п:

• Если п ≡ 0 (мод. 6), 6 | п
• Если п ≡ 2 (мод. 6), 2 | п
• Если п № 3 (мод. 6), 3 | п
• Если п № 4 (мод. 6), 2 | п

Кроме того, поскольку четыре наименьших простых числа (2, 3, 5, 7) являются делителями или соседями 6, сенария имеет простой проверка делимости для многих номеров.

Более того, все даже идеальные числа кроме того, 6 имеют 44 в качестве последних двух цифр при выражении в сенаре, что доказывается тем фактом, что каждое четное совершенное число имеет форму 2^п−1(2^п−1), где 2^п−1 простое число.

Senary также является самой большой числовой базой р у которого нет итоги кроме 1 и р - 1, что делает его таблицу умножения очень регулярной для своего размера, сводя к минимуму количество усилий, необходимых для запоминания этой таблицы. Это свойство максимизирует вероятность того, что результат целочисленного умножения закончится нулем, при условии, что ни один из его факторов этого не делает.

Фракции

Потому что шесть - это товар из первых двух простые числа и соседствует со следующими двумя простыми числами, многие сенарные дроби имеют простые представления:

Подсчет пальцев

34_{сенарный} = 22_{десятичный}, при подсчете сенарных пальцев

Можно сказать, что каждая обычная человеческая рука имеет шесть однозначных положений; кулак, один палец (или большой палец) вытянут, два, три, четыре и затем все пять вытянуты.

Если правая рука используется для представления единицы, а левая - для представления «шестерок», становится возможным для одного человека представлять значения от нуля до 55._{сенарный} (35_{десятичный}) пальцами, а не десятью обычными пальцами. например если вытянуть три пальца на левой руке и четыре на правой, 34_{сенарный} представлен. Это эквивалентно 3 × 6 + 4 что 22_{десятичный}.

Кроме того, этот метод является наименее абстрактным способом счета с использованием двух рук, который отражает концепцию позиционная запись, поскольку переход из одного положения в другое осуществляется переключением из одной руки в другую. В то время как большинство развитых культур считают пальцами до 5 очень похожими способами, более 5 незападных культур отклоняются от западных методов, например Китайские цифровые жесты. Поскольку счет по сенарным пальцам также отклоняется только выше 5, этот метод счета соперничает с простотой традиционных методов счета, и этот факт может иметь значение для обучения молодых студентов позиционной нотации.

Какая рука используется для «шестерок», а какие единицы - зависит от предпочтения счетчика, однако, если смотреть с точки зрения счетчика, использование левой руки в качестве наиболее значимой цифры коррелирует с письменным представлением того же сенария. номер. Переворачивание руки с «шестерками» на заднюю сторону может помочь в дальнейшей неоднозначности, какая рука представляет «шестерки», а какая - единицы. Обратной стороной сенарного подсчета, однако, является то, что без предварительного соглашения две стороны не смогут использовать эту систему, не зная, какая стрелка представляет шестерки, а какая - единицы, в то время как подсчет на основе десятичных чисел (числа, превышающие 5, выражаются открытым ладонь и дополнительные пальцы), по сути унарный Система требует, чтобы другая сторона только подсчитала количество вытянутых пальцев.

В NCAA баскетбол, игроки' равномерные номера ограничены шестичными числами, состоящими не более чем из двух цифр, чтобы судьи могли сигнализировать, какой игрок совершил нарушение, используя эту систему подсчета пальцев.^[2]

Более абстрактный подсчет пальцев системы, такие как Chisanbop или же палец двоичный, позволяют считать до 99, 1023 или даже выше в зависимости от метода (хотя и не обязательно по природе). Английский монах и историк Беда, описанный в первой главе его работы De temporum ratione, (725), озаглавленной «Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum», системы, которая позволяла считать до 9 999 на двух руках.^[3][4]

Естественные языки

Несмотря на редкость культур, в которых большие количества группируются по 6, обзор развития систем счисления предлагает порог численности в 6 (возможно, концептуализированный как «целое», «кулак» или «за пятью пальцами»)^[5]), где 1–6 часто являются чистыми формами, а числительные после этого создаются или заимствованы.^[6]

В Язык ндома из Папуа - Новая Гвинея Сообщается, что у него есть сенарные числа.^[7] Мер означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, ниф означает 36, а нет означает 36 × 2 = 72.

Другой пример из Папуа - Новая Гвинея являются Ям языки. В этих языках счет связан с ритуальным счетом ямса. Эти языки считают от шести по основанию, используя слова для степеней шести; до 6⁶ для некоторых языков. Одним из примеров является Komnzo со следующими цифрами: Нибо (6¹), fta (6²), таруба (6³), черт возьми (6⁴), Wärämäkä (6⁵), wi (6⁶).

Немного Нигеро-конголезские языки сообщалось, что они используют сенарную систему счисления, обычно в дополнение к другой, такой как десятичный или же десятичный.^[6]

Протоуральский также подозревали, что у него были сенарные числа, а число 7 было заимствовано позже, хотя данные о построении больших чисел (8 и 9) вычитанием из десяти предполагают, что это может быть не так.^[6]

База 36 как сенарное сжатие

Для некоторых целей база 6 может быть слишком маленькой для удобства. Это можно обойти, используя его квадрат с основанием 36 (шестнадцатеричный, также известный как нифтимальный), так как в этом случае преобразование упрощается путем простого выполнения следующих замен:

Таким образом, число по основанию 36 ВИКИПЕДИЯ₃₆ совпадает с сенарным числом 523032304122213014₆. В десятичном формате это 91 730 738 691 298.

Выбор 36 в качестве основание удобно тем, что цифры можно представить с помощью арабские цифры 0–9 и Латинские буквы А – Я: этот выбор лежит в основе base36 схема кодирования. Эффект сжатия 36, являющегося квадратом 6, приводит к тому, что многие шаблоны и представления становятся короче в базе 36:

1/9₁₀ = 0.04₆ = 0.4₃₆

1/16₁₀ = 0.0213₆ = 0.29₃₆

1/5₁₀ = 0.1₆ = 0.7₃₆

1/7₁₀ = 0.05₆ = 0.5₃₆

Смотрите также

• Diceware метод кодирования значений base-6 в произносимые пароли.
• Base36 схема кодирования
• Шифр ADFGVX зашифровать текст в серию эффективных зачатых цифр

Связанные системы счисления

• Двоичный (база 2)
• Троичный (база 3)
• Восьмеричный (база 8)
• Шестнадцатеричный (основание 16)
• VI десятичный (база 20)
• Трехмерное число (база 30)
• Двенадцатеричный (основание 12)
• Шестидесятеричный (основание 60)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Люди предпочитают Heximal по числовой популярности
• Шесть Базовых Диалектик Хижины
• Конверсия сенарной базы
• Сайт о Seximal