Принцип взрыва - Principle of explosion

В классическая логика, интуиционистская логика и подобных логических систем, принцип взрыва (латинский: ex falso [sequitur] quodlibet, 'из лжи [следует] все, что угодно'; или же ex contravemente [sequitur] quodlibet, «из противоречия все [следует]»), или принцип Псевдо-Скот, это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречие.^[1] То есть после утверждения противоречия любое предложение (включая их отрицания ) можно вывести из него; это известно как дедуктивный взрыв.^[2]^[3]

Доказательство этого принципа было впервые дано французским философом XII века. Вильгельм Суассонский.^[4] Из-за принципа взрыва существует противоречие (непоследовательность ) в формальная аксиоматическая система катастрофически; поскольку любое утверждение может быть доказано, оно упрощает понятия истины и ложности.^[5] На рубеже 20-го века обнаружение противоречий, таких как Парадокс Рассела Таким образом, основы математики угрожали всей структуре математики. Математики, такие как Готтлоб Фреге, Эрнст Цермело, Авраам Френкель, и Торальф Сколем приложить много усилий для пересмотра теория множеств устранить эти противоречия, в результате чего современный Теория множеств Цермело – Френкеля.

В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречащих друг другу утверждения: «Все лимоны желтые »и« Не все лимоны желтые »- и предположим, что оба верны. Если это так, можно доказать все, что угодно, например, утверждение, что«единороги существуют ", используя следующий аргумент:

Мы знаем, что «не все лимоны желтые», как это предполагалось.
Мы знаем, что «Все лимоны желтые», как это предполагалось.
Следовательно, утверждение, состоящее из двух частей, «Все лимоны желтые ИЛИ единороги существуют» также должно быть верным, поскольку верна первая часть.
Однако, поскольку мы знаем, что «Не все лимоны желтые» (как это предполагалось), первая часть неверна, и, следовательно, вторая часть должна быть верной, т.е. единороги существуют.

В другом решении этих проблем несколько математиков разработали альтернативные теории логика называется паранепротиворечивая логика, которые устраняют принцип взрыва.^[5] Это позволяет доказать некоторые противоречивые утверждения, не влияя на другие доказательства.

Символическое представление

В символическая логика, принцип взрыва схематично можно выразить следующим образом:

${ displaystyle P, lnot P vdash Q}$ Для любых заявлений п и Q, если п и нет-п оба истинны, то из этого логически следует, что Q правда.

Доказательство

Ниже приводится формальное доказательство принципа с использованием символическая логика

Шаг	Предложение	Вывод
1	${ displaystyle P}$	Предположение
2	${ displaystyle neg P}$	Предположение
3	${ Displaystyle P lor Q}$	Введение дизъюнкции (1)
4	${ displaystyle Q}$	Дизъюнктивный силлогизм (2,3)

Это просто символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с ${ displaystyle P}$ означает «все лимоны желтые» и ${ displaystyle Q}$ означает «Единороги существуют». Начнем с предположения, что (1) все лимоны желтые и (2) не все лимоны желтые. Из утверждения, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого, а также из того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют по дизъюнктивному силлогизму.

Семантический аргумент

Альтернативный аргумент в пользу принципа проистекает из теория моделей. Предложение ${ displaystyle P}$ это семантическое следствие набора предложений ${ displaystyle Gamma}$ только если каждая модель ${ displaystyle Gamma}$ это модель ${ displaystyle P}$ . Однако не существует модели противоречивого множества. ${ Displaystyle (P клин lnot P)}$ . А тем более, нет модели ${ Displaystyle (P клин lnot P)}$ это не модель ${ displaystyle Q}$ . Таким образом, пусто, каждая модель ${ Displaystyle (P клин lnot P)}$ это модель ${ displaystyle Q}$ . Таким образом ${ displaystyle Q}$ является семантическим следствием ${ Displaystyle (P клин lnot P)}$ .

Непротиворечивая логика

Паранепротиворечивая логика были разработаны, которые позволяют использовать операторы суб-противоположного формирования. Теоретико-модельная непоследовательные логики часто отрицают предположение, что не может быть модели ${ Displaystyle { phi, lnot phi }}$ и разработать семантические системы, в которых есть такие модели. В качестве альтернативы они отвергают идею о том, что предложения можно классифицировать как истинные или ложные. Теоретические доказательства паранепротиворечивые логики обычно отрицают правомерность одного из шагов, необходимых для получения взрыва, обычно включающего дизъюнктивный силлогизм, введение дизъюнкции, и сокращение до абсурда.

использование

В метаматематический значение принципа взрыва заключается в том, что для любой логической системы, в которой выполняется этот принцип, любое производное теория что доказывает ⊥ (или эквивалентная форма, ${ displaystyle phi land lnot phi}$ ) бесполезен, потому что все это заявления станет теоремы, что делает невозможным различение правда от лжи. То есть принцип взрыва является аргументом в пользу закон непротиворечия в классической логике, потому что без нее все утверждения истины теряют смысл.

Снижение стойкости логики без ex falso обсуждается в минимальная логика.

Смотрите также

Consequentia mirabilis - Закон Клавия
Диалетеизм - вера в существование истинных противоречий
Закон исключенного среднего - каждое предложение истинно или ложно
Закон непротиворечивости - никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным
Непротиворечивая логика - семейство логик, используемых для разрешения противоречий
Парадокс следствия - кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва
Reductio ad absurdum - заключение о том, что предложение ложно, потому что оно приводит к противоречию
Тривиализм - уверенность в том, что все утверждения формы «П и не-П» верны