Синтаксический моноид - Syntactic monoid

В математика и Информатика, то синтаксический моноид M(L) из формальный язык L самый маленький моноид это признает язык L.

Синтаксическое частное

В свободный моноид на данном набор моноид, элементами которого являются все струны из нуля или более элементов из этого набора, с конкатенация строк как моноидная операция и пустой строки как элемент идентичности. Учитывая подмножество ${ displaystyle S}$ свободного моноида ${ displaystyle M}$, можно определить множества, состоящие из формальных левых или правых инверсии элементов в ${ displaystyle S}$. Они называются частные, и можно определить правые или левые частные, в зависимости от того, с какой стороны происходит конкатенация. Таким образом правое частное из ${ displaystyle S}$ элементом ${ displaystyle m}$ от ${ displaystyle M}$ это набор

${ Displaystyle S / m = {u in M ​​; vert ; мм in S }.}$

Точно так же левое частное является

${ displaystyle m setminus S = {u in M ​​; vert ; mu in S }.}$

Синтаксическая эквивалентность

Синтаксическое частное индуцирует отношение эквивалентности на M, называется синтаксическое отношение, или синтаксическая эквивалентность (индуцированный S). Правая синтаксическая эквивалентность - это отношение эквивалентности

${ Displaystyle sim _ {S} ; = {(s, t) in M ​​ times M , vert ; S / s = S / t }.}$

Точно так же левое синтаксическое отношение

${ displaystyle {} _ {S} { sim} , = {(s, t) in M ​​ times M , vert ; s setminus S = t setminus S }.}$

В синтаксическая конгруэнтность или Myhill соответствие^[1] можно определить как^[2]

${ Displaystyle s Equiv _ {S} t Leftrightarrow forall x, y in M ​​(xsy in S Leftrightarrow xty in S).}$

Определение распространяется на конгруэнцию, определяемую подмножеством S общего моноида M. А дизъюнктивный набор это подмножество S такая, что синтаксическая конгруэнтность, определяемая S является отношением равенства.^[3]

Позвоните нам ${ displaystyle [s] _ {S}}$ класс эквивалентности ${ displaystyle s}$ для синтаксической конгруэнтности. синтаксическая конгруэнтность совместимый с конкатенацией в моноид, в котором

${ displaystyle [s] _ {S} [t] _ {S} = [st] _ {S}}$

для всех ${ displaystyle s, t in M}$. Таким образом, синтаксическое частное - это моноидный морфизм, и индуцирует частный моноид

${ Displaystyle M (S) = M / { Equiv _ {S}}.}$

Этот моноид ${ Displaystyle M (S)}$ называется синтаксический моноид из S.Можно показать, что это самый маленький моноид это признает S; это, M(S) признает S, и для каждого моноида N признавая S, M(S) является частным от субмоноид из N. Синтаксический моноид S также переходный моноид из минимальный автомат из S.^[1][2][4]

Точно так же язык L является правильным тогда и только тогда, когда семейство частных

${ Displaystyle {м setminus L , vert ; м в М }}$

конечно.^[1] Доказательство эквивалентности довольно просто. Предположим, что строка Икс читается детерминированный конечный автомат, при этом машина переходит в состояние п. Если y это еще одна строка, прочитанная машиной, также заканчивающаяся в том же состоянии п, то очевидно, что ${ Displaystyle х setminus L , = y setminus L}$. Таким образом, количество элементов в ${ Displaystyle {м setminus L , vert ; м в М }}$ не более чем равно количеству состояний автомата и ${ Displaystyle {м setminus L , vert ; м in L }}$ не более чем количество конечных состояний. Предположим, наоборот, что количество элементов в ${ Displaystyle {м setminus L , vert ; м в М }}$ конечно. Тогда можно построить автомат, в котором ${ Displaystyle Q = {м setminus L , vert ; м в М }}$ это множество состояний, ${ Displaystyle F = {м setminus L , vert ; м in L }}$ это набор конечных состояний, язык L - начальное состояние, а функция перехода определяется выражением ${ Displaystyle у setminus (х setminus L) = (ху) setminus L}$. Ясно, что этот автомат распознает L. Таким образом, язык L узнаваем тогда и только тогда, когда множество ${ Displaystyle {м setminus L , vert ; м в М }}$ конечно. Обратите внимание, что это доказательство также строит минимальный автомат.

Учитывая регулярное выражение E представляющий S, легко вычислить синтаксический моноид S.

А язык группы это тот, для которого синтаксический моноид является группа.^[5]

Примеры

• Позволять L быть языком А = {а,б} слов четной длины. Синтаксическая конгруэнтность имеет два класса: L сам и L₁, слова нечетной длины. Синтаксический моноид - это группа порядка 2 на {L,L₁}.^[6]
• В бициклический моноид синтаксический моноид Язык Дайка (язык сбалансированных скобок).
• В свободный моноид на А (|А| > 1) - синтаксический моноид языка { ww^р | ш в А* }, где ш^р обозначает перестановку слова ш.
• Каждый конечный моноид гомоморфен^{[требуется разъяснение ]} к синтаксическому моноиду некоторого нетривиального языка,^[7] но не всякий конечный моноид изоморфен синтаксическому моноиду.^[8]
• Каждая конечная группа изоморфна синтаксическому моноиду некоторого нетривиального языка.^[7]
• Язык более {а,б}, в котором количество вхождений а и б конгруэнтны по модулю 2^п это групповой язык с синтаксическим моноидом Z/2^п.^[5]
• Моноиды трассировки являются примерами синтаксических моноидов.
• Марсель-Пауль Шютценбергер^[9] характеризует беззвездные языки как те, у кого есть конечные апериодический синтаксические моноиды.^[10]

использованная литература

• Андерсон, Джеймс А. (2006). Теория автоматов в современных приложениях. При участии Тома Хеда. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-61324-8. Zbl  1127.68049.
• Холкомб, W.M.L. (1982). Теория алгебраических автоматов. Кембриджские исследования в области высшей математики. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-60492-3. Zbl  0489.68046.
• Лоусон, Марк В. (2004). Конечные автоматы. Чепмен и Холл / CRC. ISBN  1-58488-255-7. Zbl  1086.68074.
• Пин, Жан-Эрик (1997). «10. Синтаксические полугруппы». В Розенберге, G .; Саломаа, А. (ред.). Справочник по теории формального языка (PDF). 1. Springer-Verlag. С. 679–746. Zbl  0866.68057.
• Сакарович, Жак (2009). Элементы теории автоматов. Перевод с французского Рувима Томаса. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177.
• Штраубинг, Ховард (1994). Конечные автоматы, формальная логика и сложность схемы. Успехи теоретической информатики. Базель: Биркхойзер. ISBN  3-7643-3719-2. Zbl  0816.68086.