Теория Крона – Родса - Krohn–Rhodes theory

В математика и Информатика, то Теория Крона – Родса (или же теория алгебраических автоматов) - подход к изучению конечных полугруппы и автоматы который пытается разложить их на элементарные компоненты. Эти компоненты соответствуют конечным апериодические полугруппы и конечный простые группы которые объединяются без обратной связи (так называемые "венок "или" каскад ").

Крон и Родос нашел общее разложение для конечные автоматы. Однако в ходе своих исследований авторы обнаружили и доказали неожиданный важный результат в теории конечных полугрупп, выявив глубокую связь между конечными автоматами и полугруппами.

Определения и описание теоремы Крона – Родса.

А полугруппа S это гомоморфный изображение подполугруппа из Т считается делитель из Т.

В Теорема Крона – Родса для конечных полугрупп. утверждает, что каждая конечная полугруппа S является делителем конечной знакопеременной венок конечных простые группы, каждая из которых является делителем S, и конечный апериодические полугруппы (которые не содержат нетривиальных подгруппы ).[1]

В автоматной постановке Теорема Крона – Родса для конечных автоматов. заявляет, что с учетом конечный автомат А с государствами Q и входной набор я, выходной алфавит U, то можно разложить состояния до Q ' такой, что новый автомат А ' встраивается в каскад «простых» неприводимых автоматов: в частности, А эмулируется каскадом с прямой связью из (1) автоматов, полугруппы переходов которых конечные простые группы и (2) автоматы, которые являются банками шлепки работает параллельно.[nb 1] Новый автомат А ' имеет те же символы ввода и вывода, что и А. Здесь как состояния, так и входы каскадных автоматов имеют особую иерархическую форму координат.

Более того, каждая простая группа (основной) или негрупповая неприводимая полугруппа (подполугруппа шлепанцы моноид ), которая делит полугруппу преобразований А должны разделять полугруппу переходов некоторого компонента каскада, и только простые числа, которые должны встречаться как делители компонентов, являются теми, которые делят А 's переходная полугруппа.

Групповая сложность

В Сложность Крона – Родса (также называемый групповая сложность или просто сложность) конечной полугруппы S наименьшее количество групп в венок из конечные группы и конечные апериодические полугруппы, из которых S является делителем.

Все конечные апериодические полугруппы имеют сложность 0, а не-банальный конечные группы имеют сложность 1. На самом деле существуют полугруппы любых неотрицательных целое число сложность. Например, для любого п больше 1, мультипликативная полугруппа всех (п+1)×(п+1) верхнетреугольная матрицы над любым фиксированным конечным поле имеет сложность п (Камбитес, 2007).

Основной открытой проблемой теории конечных полугрупп является разрешимость сложности: есть алгоритм который будет вычислять сложность Крона – Родса конечной полугруппы, учитывая ее Таблица умножения Получены верхние и все более точные нижние оценки сложности (см., Например, Rhodes & Steinberg, 2009). Родс предположил, что проблема разрешима.[nb 2]

История и приложения

На конференции 1962 г. Кеннет Крон и Джон Роудс объявил метод разложения (детерминированный) конечный автомат на «простые» компоненты, которые сами по себе являются конечными автоматами. Эта совместная работа, имеющая значение для философии, включала в себя докторскую диссертацию Крона в Гарвардский университет и докторскую диссертацию Родса в Массачусетский технологический институт.[№ 3] С тех пор были опубликованы более простые доказательства и обобщения теоремы на бесконечные структуры (см. Главу 4 книги Стейнберга и Родса 2009 г. В q-Теория конечных полугрупп для обзора).

В статье 1965 года Крона и Роудса доказательство теоремы о разложении конечных автоматов (или, что эквивалентно последовательные машины ) широко использовали алгебраические полугруппа структура. Более поздние доказательства содержали основные упрощения с использованием конечных венки полугрупп конечных преобразований. Теорема обобщает Разложение Жордана – Гёльдера для конечных групп (в которых простые числа являются конечными простыми группами) для всех конечных полугрупп преобразований (для которых простые числа снова являются конечными простыми группами плюс все подполугруппы «триггера» (см. выше)). И групповая, и более общая декомпозиция конечных автоматов требует расширения набора состояний общего, но допускает то же количество входных символов. В общем случае они встроены в более крупную структуру с иерархической «системой координат».

Следует быть осторожным в понимании понятия «простое число», поскольку Крон и Роудс явно называют свою теорему «теоремой разложения на простые числа» для автоматов. Однако компоненты разложения не являются простыми автоматами (с основной определено наивно); скорее, понятие основной является более сложным и алгебраическим: полугруппы и группы, связанные с составляющими автоматами разложения, являются простыми (или неприводимыми) в строгом и естественном алгебраическом смысле по отношению к сплетению (Eilenberg, 1976). Кроме того, в отличие от более ранних теорем о разложении, разложения Крона – Родса обычно требуют расширения множества состояний, так что расширенный автомат покрывает (имитирует) разлагаемый. Эти факты затрудняли понимание теоремы и затрудняли ее практическое применение - до недавнего времени, когда стали доступны вычислительные реализации (Egri-Nagy & Nehaniv 2005, 2008).

H.P. Зейгер (1967) доказал важный вариант, названный разложение голономии (Эйленберг, 1976).[№ 4] Метод голономии оказался относительно эффективным и был реализован на вычислительной основе А. Эгри-Надь (Egri-Nagy & Nehaniv 2005).

Мейер и Томпсон (1969) дают версию разложения Крона – Родса для конечных автоматов, которая эквивалентна разложению, ранее разработанному Хартманисом и Стернсом, но для полезных разложений понятие расширение набор состояний исходного автомата существенен (для случая неперестановочных автоматов).

Сейчас существует множество доказательств и конструкций разложений Крона – Родса (например, [Krohn, Rhodes & Tilson 1968], [Ésik 2000], [Diekert et al. 2012]), причем метод голономии в целом является наиболее популярным и эффективным (хотя не во всех случаях). Из-за тесной связи между моноиды и категории, версия теоремы Крона – Родса применима к теория категорий. Это наблюдение и доказательство аналогичного результата были предложены Уэллсом (1980).[№ 5]

Теорема Крона – Родса для полугрупп / моноидов является аналогом Теорема Жордана – Гёльдера для конечных групп (для полугрупп / моноидов, а не для групп). Таким образом, теорема является глубоким и важным результатом в теории полугрупп / моноидов. Эта теорема также удивила многих математиков и компьютерных специалистов.[№ 6] поскольку ранее было широко распространено мнение, что аксиомы полугруппы / моноида слишком слабы, чтобы допускать структурную теорему какой-либо силы, а предыдущие работы (Hartmanis & Stearns) смогли показать только гораздо более жесткие и менее общие результаты декомпозиции для конечных автоматов.

Работа Эгри-Надя и Неханива (2005, 2008–) продолжает дальнейшую автоматизацию голономной версии разложения Крона – Родса, расширенного с помощью соответствующего разложения для конечных групп (так называемого Координаты Фробениуса – Лагранжа ) с использованием система компьютерной алгебры ЗАЗОР.

Приложения вне теорий полугрупп и моноидов теперь вычислительно возможны. Они включают вычисления в биология и биохимические системы (например, Egri-Nagy & Nehaniv 2008), искусственный интеллект, конечное состояние физика, психология, и теория игры (см., например, Rhodes 2009).

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Холкомб (1982), стр. 141–142
  1. ^ Триггер - это автомат с двумя состояниями с тремя операциями ввода: идентификация (которая оставляет его состояние неизменным) и две операции сброса (которые перезаписывают текущее состояние путем сброса в конкретное одно из двух состояний). Это можно считать одно-кусочек блок хранения для чтения-записи: идентификатор соответствует чтению бита (при сохранении его значения без изменения), и два сбрасываются для установки значения бита на 0 или 1. Обратите внимание, что сброс является необратимым оператором, поскольку он уничтожает текущий сохраненное битовое значение. NB: Полугруппа триггера и все его подполугруппы неприводимы.
  2. ^ Дж. Родс, основной доклад на Международной конференции по полугруппам и алгебраической инженерии (Айзу, Япония ), 26 марта 1997 г.
  3. ^ Моррис В. Хирш, "Предисловие к Родосу" Приложения теории автоматов и алгебры". В J. Rhodes, Приложения теории автоматов и алгебры: через математическую теорию сложности в биологии, физике, философии и играх », (редактор К. Л. Неханив), World Scientific Publishing Co., 2010.
  4. ^ Eilenberg 1976, а также Dömösi and Nehaniv, 2005, представляют доказательства, исправляющие ошибку в статье Зейгера.
  5. ^ См. Также (Tilson 1989)
  6. ^ C.L. Неханив, Предисловие к (Родос, 2009)

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка