Полугрупповое действие - Semigroup action

В алгебра и теоретическая информатика, действие или действовать из полугруппа на набор - правило, которое ставит в соответствие каждому элементу полугруппы a трансформация множества таким образом, чтобы произведение двух элементов полугруппы (с помощью полугруппы операция ) связан с составной двух соответствующих преобразований. Терминология передает идею о том, что элементы полугруппы игра актеров как преобразования множества. Из алгебраический В перспективе действие полугруппы является обобщением понятия групповое действие в теория групп. С точки зрения информатики, полугрупповые действия тесно связаны с автоматы: набор моделирует состояние автомата, а действия моделируют преобразования этого состояния в ответ на входные данные.

Важным частным случаем является моноидное действие или действовать, в котором полугруппа является моноид и элемент идентичности моноида действует как преобразование идентичности комплекта. Из теоретико-категорийный точки зрения, моноид - это категория с одним объектом, а действие является функтором из этой категории в категория наборов. Это сразу же обеспечивает обобщение моноидных воздействий на объекты в категориях, отличных от категории множеств.

Другой важный частный случай - это полугруппа преобразований. Это полугруппа преобразований множества, и, следовательно, она имеет тавтологическое действие на этом множестве. Это понятие связано с более общим понятием полугруппы аналогом Теорема Кэли.

(Примечание по терминологии: терминология, используемая в этой области, варьируется, иногда значительно, от одного автора к другому. Подробнее см. В статье.)

Формальные определения

Позволять S быть полугруппой. Затем (слева) полугрупповое действие (или же действовать) из S это набор Икс вместе с операцией • : S × Икс → Икс который совместим с полугруппой операция * следующее:

для всех s, т в S и Икс в Икс, s • (т • Икс) = (s * т) • Икс.

Это аналог в теории полугрупп (слева) групповое действие, и эквивалентен гомоморфизм полугрупп в набор функций на Икс. Действия правой полугруппы определяются аналогичным образом с помощью операции • : Икс × S → Икс удовлетворение (Икс • а) • б = Икс • (а * б).

Если M моноид, то a (слева) моноидное действие (или же действовать) из M является (левым) полугрупповым действием M с дополнительным свойством, которое

для всех Икс в Икс: е • Икс = Икс

куда е является элементом идентичности M. Это соответственно дает гомоморфизм моноида. Аналогично определяются действия правого моноида. Моноид M с действием на множестве также называется операторный моноид.

Полугрупповое действие S на Икс можно превратить в моноидный акт, присоединив тождество к полугруппе и потребовав, чтобы он действовал как преобразование тождества на Икс.

Терминология и обозначения

Если S полугруппа или моноид, то множество Икс на котором S действует, как указано выше (например, слева), также известен как (слева) S-действовать, S-набор, S-действие, S-операнд, или же осталось действовать S. Некоторые авторы не различают действия полугруппы и моноида, рассматривая аксиому тождества (е • Икс = Икс) как пустое при отсутствии элемента идентичности или с использованием термина унитарный S-действовать для S-действовать с личностью.^[1] Кроме того, поскольку моноид является полугруппой, можно рассматривать полугрупповые действия моноидов.

Определяющее свойство действия аналогично ассоциативность операции полугруппы и означает, что все скобки можно опустить. Это обычная практика, особенно в информатике, опускать также и операции, так что и операция полугруппы, и действие указываются сопоставлением. В этом случае струны писем от S действовать на Икс, как в выражении stx за s, т в S и Икс в Икс.

Также довольно часто работают с правыми действиями, а не с левыми.^[2] Однако каждый правый S-акт можно интерпретировать как левый акт над противоположная полугруппа, который имеет те же элементы, что и S, но где умножение определяется обращением множителей, s • т = т • s, так что эти два понятия по сути эквивалентны. Здесь мы в первую очередь принимаем точку зрения левых действий.

Акты и трансформации

Часто удобно (например, если рассматривается более одного действия) использовать букву, например ${ displaystyle T}$ , для обозначения функции

{ Displaystyle Т двоеточие S раз от X до X}

определение ${ displaystyle S}$ -action и, следовательно, написать ${ displaystyle T (s, x)}$ на месте ${ displaystyle s cdot x}$ . Тогда для любого ${ displaystyle s}$ в ${ displaystyle S}$ , обозначим через

{ displaystyle T_ {s} двоеточие от X до X}

преобразование ${ displaystyle X}$ определяется

{ displaystyle T_ {s} (x) = T (s, x).}

По определяющему свойству ${ displaystyle S}$ -действовать, ${ displaystyle T}$ удовлетворяет

{ displaystyle T_ {s * t} = T_ {s} circ T_ {t}.}

Далее рассмотрим функцию ${ displaystyle s mapsto T_ {s}}$ . Это то же самое, что и ${ displaystyle curry (T): S to (X to X)}$ (увидеть карри ). Потому что ${ displaystyle curry}$ является биекцией, действия полугруппы можно определить как функции ${ Displaystyle S к (X к X)}$ что удовлетворяет

{ Displaystyle карри (T) (s * t) = карри (T) (s) circ curry (T) (t).}

Это, ${ displaystyle T}$ является полугрупповым действием ${ displaystyle S}$ на ${ displaystyle X}$ если и только если ${ displaystyle curry (T)}$ это гомоморфизм полугрупп из ${ displaystyle S}$ к моноиду полного преобразования ${ displaystyle X}$ .

S-гомоморфизмы

Позволять Икс и Икс' быть S-акты. Затем S-гомоморфизм из Икс к Икс'Это карта

{ Displaystyle F двоеточие X to X '}

такой, что

{ Displaystyle F (sx) = sF (x)}

для всех

{ displaystyle s in S}

и

{ displaystyle x in X}

.

Набор всего такого S-гомоморфизмы обычно записываются как ${ Displaystyle mathrm {Hom} _ {S} (X, X ')}$ .

M-гомоморфизмы M-акты, для M моноид, определяются точно так же.

S-Акт и M-Действовать

Для фиксированной полугруппы S, слева S-акты являются объектами категории, обозначенной S-Act, морфизмами которого являются S-гомоморфизмы. Соответствующая категория права S-акты иногда обозначают Act-S. (Это аналог категорий р-Мод и Мод-р левого и правого модули через звенеть.)

Для моноида M, категории M-Действовать и действовать-M определяются таким же образом.

Примеры

Любая полугруппа ${ displaystyle (S, *)}$ имеет действие на ${ displaystyle S}$ , куда ${ Displaystyle cdot = *}$ . Свойство действия сохраняется благодаря ассоциативности ${ displaystyle *}$ .
В более общем смысле, для любого гомоморфизма полугрупп ${ Displaystyle F двоеточие (S, *) rightarrow (T, oplus)}$ , полугруппа ${ displaystyle (S, *)}$ имеет действие на ${ displaystyle T}$ данный ${ Displaystyle s cdot T = F (s) oplus t}$ .
Для любого набора ${ displaystyle X}$ , позволять ${ Displaystyle X ^ {*}}$ - множество последовательностей элементов ${ displaystyle X}$ . Полугруппа ${ Displaystyle ( mathbb {N}, раз)}$ имеет действие на ${ Displaystyle X ^ {*}}$ данный ${ Displaystyle п cdot s = s ^ {n}}$ (куда ${ displaystyle s ^ {n}}$ обозначает ${ displaystyle s}$ повторяется ${ displaystyle n}$ раз).

Полугруппы преобразований

Соответствие между полугруппами преобразований и действиями полугруппы описано ниже. Если мы ограничим его верный полугрупповые действия, он имеет приятные свойства.

Любую полугруппу преобразований можно превратить в полугрупповое действие с помощью следующей конструкции. Для любой полугруппы преобразований ${ displaystyle S}$ из ${ displaystyle X}$ , определим действие полугруппы ${ displaystyle T}$ из ${ displaystyle S}$ на ${ displaystyle X}$ так как ${ Displaystyle Т (s, х) = s (х)}$ за ${ displaystyle s in S, x in X}$ . Это действие является верным, что эквивалентно ${ Displaystyle карри (T)}$ будучи инъективный.

Наоборот, для любого действия полугруппы ${ displaystyle T}$ из ${ displaystyle S}$ на ${ displaystyle X}$ , определим полугруппу преобразований ${ Displaystyle S '= {T_ {s} mid s in S }}$ . В этой конструкции мы «забываем» множество ${ displaystyle S}$ . ${ displaystyle S '}$ равно изображение из ${ displaystyle curry (T)}$ . Обозначим ${ displaystyle curry (T)}$ так как ${ displaystyle f}$ для краткости. Если ${ displaystyle curry (T)}$ является инъективный, тогда ${ displaystyle f}$ полугруппа изоморфизм из ${ displaystyle S}$ к ${ displaystyle S '}$ . Другими словами, если ${ displaystyle T}$ верен, то ничего важного не забываем. Это утверждение уточняется следующим наблюдением: если мы обратимся ${ displaystyle S '}$ вернуться в действие полугруппы ${ displaystyle T '}$ из ${ displaystyle S '}$ на ${ displaystyle X}$ , тогда ${ Displaystyle T '(е (s), x) = T (s, x)}$ для всех ${ displaystyle s in S, x in X}$ . ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle T '}$ "изоморфны" через ${ displaystyle f}$ , т.е. мы практически восстановили ${ displaystyle T}$ . Таким образом, некоторые авторы^[3] не вижу различия между точными действиями полугруппы и полугруппами преобразований.

Приложения к информатике

Полуавтоматы

Полугруппы преобразований имеют существенное значение для структурной теории конечные автоматы в теория автоматов. В частности, полуавтомат это тройка (Σ,Икс,Т), куда Σ непустое множество, называемое вводить алфавит, Икс непустое множество, называемое набор состояний и Т это функция

{ Displaystyle T двоеточие Sigma times X to X}

называется функция перехода. Полуавтоматы возникают из детерминированные автоматы игнорируя начальное состояние и набор принимаемых состояний.

Учитывая полуавтомат, пусть Т_а: Икс → Икс, за а ∈ Σ, обозначим преобразование Икс определяется Т_а(Икс) = Т(а,Икс). Тогда полугруппа преобразований Икс создано {Т_а : а ∈ Σ} называется характеристическая полугруппа или переходная система из (Σ,Икс,Т). Эта полугруппа является моноидом, поэтому этот моноид называется характеристика или переходный моноид. Это также иногда рассматривается как Σ^∗-действовать на Икс, куда Σ^∗ это свободный моноид строк, порожденных алфавитом Σ и действие струн продлевает действие Σ через собственность

{ displaystyle T_ {vw} = T_ {w} circ T_ {v}.}

Теория Крона – Родса

Теория Крона – Родса, иногда также называемая теория алгебраических автоматов, дает мощные результаты декомпозиции полугрупп конечных преобразований путем каскадирования более простых компонентов.

Примечания

^ Килп, Кнауэр и Михалев, 2000, стр. 43–44.
^ Килп, Кнауэр и Михалев, 2000.
^ Арбиб Михаил Александрович, изд. (1968). Алгебраическая теория машин, языков и полугрупп. Нью-Йорк и Лондон: Academic Press. п. 83.