Бесконечно малое преобразование - Infinitesimal transformation

эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, бесконечно малое преобразование это ограничение форма маленький трансформация. Например, можно говорить о бесконечно малое вращение из жесткое тело, в трехмерном пространстве. Это условно представлено как 3 × 3 кососимметричная матрица А. Это не матрица реального вращение в космосе; но при малых реальных значениях параметра ε преобразование

${ displaystyle T = I + varepsilon A}$

- малое вращение с точностью до величин порядка ε².

История

Всестороннюю теорию инфинитезимальных преобразований впервые дал Софус Ли. Это было в основе его работы над тем, что сейчас называется Группы Ли и сопровождающие их Алгебры Ли; и определение их роли в геометрия и особенно теория дифференциальные уравнения. Свойства аннотации Алгебра Ли в точности те, которые определяют бесконечно малые преобразования, как и аксиомы теория групп воплощать симметрия. Термин «алгебра Ли» был введен в 1934 г. Герман Вейль, за то, что до этого называлось алгебра бесконечно малых преобразований группы Ли.

Примеры

Например, в случае бесконечно малых вращений структура алгебры Ли обеспечивается перекрестное произведение, как только кососимметричная матрица была отождествлена ​​с 3-вектор. Это равносильно выбору вектора оси для вращений; определяющий Личность Якоби хорошо известное свойство перекрестных произведений.

Самый ранний пример бесконечно малого преобразования, которое могло быть признано таковым, был в Теорема Эйлера об однородных функциях. Здесь утверждается, что функция F из п переменные Икс₁, ..., Икс_п однородный по степени р, удовлетворяет

${ Displaystyle Theta F = rF ,}$

с участием

${ displaystyle Theta = sum _ {i} x_ {i} { partial over partial x_ {i}},}$

то Тета-оператор. То есть из собственности

${ Displaystyle F ( lambda x_ {1}, dots, lambda x_ {n}) = lambda ^ {r} F (x_ {1}, dots, x_ {n}) ,}$

можно дифференцировать по λ, а затем установить λ равным 1. Тогда это становится необходимое условие на гладкая функция F иметь свойство однородности; этого также достаточно (используя Распределения Шварца можно уменьшить математический анализ соображения здесь). Это типичная настройка, так как есть однопараметрическая группа из масштабирование операционная; и информация кодируется в бесконечно малом преобразовании, которое является дифференциальный оператор первого порядка.

Операторная версия теоремы Тейлора

Операторное уравнение

${ Displaystyle е ^ {tD} е (х) = е (х + т) ,}$

где

${ displaystyle D = {d over dx}}$

является оператор версия Теорема Тейлора - и поэтому действительно только в предостережения около ж будучи аналитическая функция. Сосредоточившись на операторной части, он показывает, что D бесконечно малое преобразование, генерирующее переводы реальной прямой через экспоненциальный. В теории Ли это долгое обобщение. Любые связанный Группа Ли может быть построена с помощью ее бесконечно малые генераторы (базис алгебры Ли группы); с явной, но не всегда полезной информацией, приведенной в Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

использованная литература

• "Алгебра Ли", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Софус Ли (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, Английский перевод Д. Х. Дельфениха, § 8, ссылка из неоклассической физики.