Гибка - Википедия - Bending

Гибка я-луч

В прикладная механика, изгиб (также известен как изгиб) характеризует поведение стройной структурный элемент подвергается внешнему нагрузка наносится перпендикулярно продольной оси элемента.

Предполагается, что структурный элемент такой, что по крайней мере один из его размеров составляет небольшую долю, обычно 1/10 или меньше, от двух других.^[1] Когда длина значительно превышает ширину и толщину, элемент называется луч. Например, стенной шкаф стержень провисание под тяжестью одежды на вешалки для одежды это пример изгиба балки. С другой стороны, ракушка представляет собой конструкцию любой геометрической формы, длина и ширина которой имеют одинаковый порядок величины, но толщина конструкции (известная как «стена») значительно меньше. Тонкостенная короткая трубка большого диаметра, поддерживаемая на концах и нагруженная сбоку, является примером изгиба оболочки.

При отсутствии квалификатора термин изгиб неоднозначно, потому что изгиб может происходить локально во всех объектах. Следовательно, чтобы сделать использование этого термина более точным, инженеры ссылаются на конкретный объект, такой как; то изгиб стержней,^[2] то изгиб балок,^[1] то гибка плит,^[3] то гибка снарядов^[2] и так далее.

Квазистатический изгиб балок

Балка деформируется и внутри нее возникают напряжения при приложении к ней поперечной нагрузки. В квазистатическом случае величина изгиба отклонение предполагается, что возникающие напряжения не изменяются со временем. В горизонтальной балке, поддерживаемой на концах и нагруженной вниз посередине, материал на внешней стороне балки сжимается, а материал на нижней стороне растягивается. Существуют две формы внутренних напряжений, вызванных боковыми нагрузками:

• Напряжение сдвига параллельна боковой нагрузке плюс дополнительное напряжение сдвига в плоскостях, перпендикулярных направлению нагрузки;
• Прямой сжимающее напряжение в верхней части пучка, а прямые растягивающее напряжение в нижней части луча.

Эти последние две силы образуют пара или же момент поскольку они равны по величине и противоположны по направлению. Этот изгибающий момент сопротивляется деформации провисания, характерной для балки при изгибе. Распределение напряжений в балке можно довольно точно предсказать, если использовать некоторые упрощающие допущения.^[1]

Теория изгиба Эйлера – Бернулли

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние - растянуты.

Изгибающие моменты в балке

в Теория Эйлера – Бернулли Для тонких балок основное предположение состоит в том, что «плоские секции остаются плоскими». Другими словами, никакая деформация из-за сдвига по сечению не учитывается (деформация сдвига отсутствует). Кроме того, это линейное распределение применимо только в том случае, если максимальное напряжение меньше, чем предел текучести материала. Для напряжений, превышающих предел текучести, см. Статью пластиковая гибка. При текучести максимальное напряжение, испытываемое в секции (в наиболее удаленных от нейтральная ось балки) определяется как предел прочности при изгибе.

Рассмотрим балки, для которых верны следующие утверждения:

• Луч изначально прямой и тонкий, а любой конус небольшой.
• Материал изотропный (или ортотропный ), линейная эластичность, и однородный по любому сечению (но не обязательно по длине)
• Учитываются только небольшие прогибы

В этом случае уравнение, описывающее прогиб балки (${ displaystyle w}$) можно приблизительно представить как:

${ Displaystyle { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w (x)} { mathrm {d} x ^ {2}}} = { frac {M (x)} {E (x) I (Икс)}}}$

где вторая производная его отклоненной формы по ${ displaystyle x}$ интерпретируется как его кривизна, ${ displaystyle E}$ это Модуль для младших, ${ displaystyle I}$ это момент инерции площади поперечного сечения, и ${ displaystyle M}$ - внутренний изгибающий момент в балке.

Если к тому же луч однородный также по длине, а не сужается (т.е. постоянного поперечного сечения) и прогибается под действием приложенной поперечной нагрузки ${ displaystyle q (x)}$, можно показать, что:^[1]

${ Displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} w (x)} { mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}$

Это уравнение Эйлера – Бернулли для изгиба балки.

После получения решения для перемещения балки изгибающий момент (${ displaystyle M}$) и поперечной силы (${ displaystyle Q}$) в балке можно рассчитать с помощью соотношений

${ Displaystyle M (x) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w} { mathrm {d} x ^ {2}}} ~; ~~ Q (x) = { cfrac { mathrm {d} M} { mathrm {d} x}}.}$

Простой изгиб балки часто анализируется с помощью уравнения Эйлера – Бернулли. Условия использования простой теории изгиба:^[4]

1. Луч подлежит чистый изгиб. Это означает, что сдвигающая сила равен нулю, и что нет торсионных или осевых нагрузок.
2. Материал изотропный (или же ортотропный ) и однородный.
3. Материал подчиняется Закон Гука (он линейно упруг и не деформируется пластически).
4. Балка изначально прямая с постоянным поперечным сечением по всей длине балки.
5. Балка имеет ось симметрии в плоскости изгиба.
6. Пропорции балки таковы, что она может выйти из строя из-за изгиба, а не из-за раздавливания, складывания или бокового поворота. коробление.
7. Поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими.

Прогиб симметрично отклоненной балки и принцип суперпозиции

Силы сжатия и растяжения развиваются в направлении оси балки под действием изгибающих нагрузок. Эти силы побуждают подчеркивает на балке. Максимальное сжимающее напряжение находится на самом верхнем крае балки, а максимальное растягивающее напряжение - на нижнем крае балки. Поскольку напряжения между этими двумя противоположными максимумы отличаться линейно, следовательно, на линейном пути между ними существует точка, в которой нет напряжения изгиба. В локус из этих точек - нейтральная ось. Из-за этой области без напряжения и прилегающих областей с низким напряжением использование балок с равномерным поперечным сечением при изгибе не является особенно эффективным средством поддержки нагрузки, поскольку оно не использует полную мощность балки, пока она не окажется на грани крах. Широкополочные балки (ябалки ) и ферма фермы эффективно бороться с этой неэффективностью, поскольку они сводят к минимуму количество материала в этой недостаточно напряженной области.

Классическая формула для определения напряжения изгиба в балке при простом изгибе:^[5]

${ displaystyle sigma _ {x} = { frac {M_ {z} y} {I_ {z}}} = { frac {M_ {z}} {W_ {z}}}}$

куда

• ${ displaystyle { sigma _ {x}}}$ напряжение изгиба
• ${ displaystyle M_ {z}}$ - момент относительно нейтральной оси
• ${ displaystyle y}$ - расстояние по перпендикуляру к нейтральной оси
• ${ displaystyle I_ {z}}$ - в второй момент площади вокруг нейтральной оси z.
• ${ displaystyle W_ {z}}$ - Момент сопротивления относительно нейтральной оси z. ${ Displaystyle W_ {z} = I_ {z} / y}$

Расширения теории изгиба балок Эйлера-Бернулли

Пластиковая гибка

Уравнение ${ displaystyle sigma = { tfrac {My} {I_ {x}}}}$ действительно только тогда, когда напряжение в крайнем волокне (то есть в части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси), ниже предел текучести материала, из которого он построен. При более высоких нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге попадут в пластиковый шарнир состояние, в котором величина напряжения равна пределу текучести повсюду в балке, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение изменяется от растягивающего к сжимающему. Эта пластиковая петля обычно используется в качестве предельное состояние при проектировании металлоконструкций.

Сложный или асимметричный изгиб

Вышеприведенное уравнение действительно только в том случае, если поперечное сечение симметрично. Для однородных балок с несимметричным сечением максимальное напряжение изгиба в балке определяется выражением

${ displaystyle sigma _ {x} (y, z) = - { frac {M_ {z} ~ I_ {y} + M_ {y} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz} ^ {2}}} y + { frac {M_ {y} ~ I_ {z} + M_ {z} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz } ^ {2}}} z}$^[6]

куда ${ displaystyle y, z}$ - координаты точки на поперечном сечении, в которой необходимо определить напряжение, как показано справа, ${ displaystyle M_ {y}}$ и ${ displaystyle M_ {z}}$ - изгибающие моменты относительно y и z центроид топоры ${ displaystyle I_ {y}}$ и ${ displaystyle I_ {z}}$ - вторые моменты площади (отличные от моментов инерции) относительно осей y и z, и ${ displaystyle I_ {yz}}$ это произведение моментов площади. Используя это уравнение, можно рассчитать изгибающее напряжение в любой точке поперечного сечения балки, независимо от ориентации момента или формы поперечного сечения. Обратите внимание, что ${ displaystyle M_ {y}, M_ {z}, I_ {y}, I_ {z}, I_ {yz}}$ не меняются от одной точки к другой на поперечном сечении.

Большая деформация изгиба

При больших деформациях тела напряжение в поперечном сечении рассчитывается по расширенной версии этой формулы. Сначала необходимо сделать следующие предположения:

1. Допущение плоских участков - до и после деформации рассматриваемое сечение тела остается плоским (т.е.не закручено).
2. Сдвиговые и нормальные напряжения в этом сечении, перпендикулярные вектору нормали поперечного сечения, не влияют на нормальные напряжения, параллельные этому сечению.

Если радиус изгиба ${ displaystyle rho}$ меньше десяти высот сечения h:

${ displaystyle rho <10h.}$

С этими допущениями напряжение при большом изгибе рассчитывается как:

${ displaystyle sigma = { frac {F} {A}} + { frac {M} { rho A}} + { frac {M} {{I_ {x}} '}} y { frac { rho} { rho + y}}}$

куда

${ displaystyle F}$ это нормальный сила

${ displaystyle A}$ это раздел площадь

${ displaystyle M}$ изгибающий момент

${ displaystyle rho}$ - локальный радиус изгиба (радиус изгиба на текущем сечении)

${ displaystyle {{I_ {x}} '}}$ момент инерции площади вдоль Икс-ось, на ${ displaystyle y}$ место (см. Теорема Штейнера )

${ displaystyle y}$ позиция вдоль у- ось на участке сечения, в котором напряжение ${ displaystyle sigma}$ рассчитывается.

При радиусе изгиба ${ displaystyle rho}$ приближается к бесконечности и ${ Displaystyle у ll rho}$, возвращается исходная формула:

${ displaystyle sigma = {F over A} pm { frac {My} {I}}}$.

Теория изгиба Тимошенко

Деформация балки Тимошенко. Нормаль вращается на величину ${ displaystyle theta}$ что не равно ${ displaystyle dw / dx}$.

В 1921 г. Тимошенко усовершенствовал теорию балок Эйлера – Бернулли, добавив в уравнение балки эффект сдвига. Кинематические допущения теории Тимошенко:

• нормали к оси балки остаются прямыми после деформации
• нет изменения толщины балки после деформации

Однако нормали к оси не должны оставаться перпендикулярными оси после деформации.

Уравнение квазистатического изгиба линейной упругой изотропной однородной балки постоянного поперечного сечения в этих предположениях имеет вид^[7]

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} w} { mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x) - { cfrac {EI} {kAG}} ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} q} { mathrm {d} x ^ {2}}}}$

куда ${ displaystyle I}$ это момент инерции площади поперечного сечения, ${ displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения, ${ displaystyle G}$ это модуль сдвига, ${ displaystyle k}$ это коэффициент поправки на сдвиг, и ${ displaystyle q (x)}$ - приложенная поперечная нагрузка. Для материалов с Коэффициенты Пуассона (${ displaystyle nu}$) близко к 0,3, поправочный коэффициент сдвига для прямоугольного поперечного сечения составляет приблизительно

${ Displaystyle к = { cfrac {5 + 5 nu} {6 + 5 nu}}}$

Вращение (${ Displaystyle varphi (х)}$) нормали описывается уравнением

${ displaystyle { cfrac { mathrm {d} varphi} { mathrm {d} x}} = - { cfrac { mathrm {d} ^ {2} w} { mathrm {d} x ^ { 2}}} - { cfrac {q (x)} {kAG}}}$

Изгибающий момент (${ displaystyle M}$) и поперечной силы (${ displaystyle Q}$) даны

${ Displaystyle M (x) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} varphi} { mathrm {d} x}} ~; ~~ Q (x) = kAG left ({ cfrac { mathrm {d} w} { mathrm {d} x}} - varphi right) = - EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {2} varphi} { mathrm {d} x ^ { 2}}} = { cfrac { mathrm {d} M} { mathrm {d} x}}}$

Динамический изгиб балок

Динамический изгиб балок,^[8] также известен как изгибные колебания балок, был впервые исследован Даниэль Бернулли в конце 18 века. Уравнение Бернулли движения вибрирующей балки имело тенденцию к завышению собственные частоты балок и был незначительно улучшен Рэлей в 1877 году путем добавления вращения средней плоскости. В 1921 г. Стивен Тимошенко улучшил теорию дальше, включив влияние сдвига на динамический отклик изгибающихся балок. Это позволило использовать теорию для задач, связанных с высокими частотами вибрации, где динамическая теория Эйлера – Бернулли неадекватна. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко для динамического изгиба балок по-прежнему широко используются инженерами.

Теория Эйлера – Бернулли

Уравнение Эйлера – Бернулли для динамического изгиба тонких, изотропных, однородных балок постоянного поперечного сечения под действием приложенной поперечной нагрузки ${ Displaystyle д (х, т)}$ является^[7]

${ Displaystyle EI ~ { cfrac { partial ^ {4} w} { partial x ^ {4}}} + m ~ { cfrac { partial ^ {2} w} { partial t ^ {2} }} = q (x, t)}$

куда ${ displaystyle E}$ - модуль Юнга, ${ displaystyle I}$ - момент инерции площади поперечного сечения, ${ Displaystyle ш (х, т)}$ - отклонение нейтральной оси балки, а ${ displaystyle m}$ - масса единицы длины балки.

Свободные колебания

Для ситуации, когда на балку нет поперечной нагрузки, уравнение изгиба принимает вид

${ Displaystyle EI ~ { cfrac { partial ^ {4} w} { partial x ^ {4}}} + m ~ { cfrac { partial ^ {2} w} { partial t ^ {2} }} = 0}$

Тогда свободные гармонические колебания балки можно выразить как

${ displaystyle w (x, t) = { text {Re}} [{ hat {w}} (x) ~ e ^ {- i omega t}] quad подразумевает quad { cfrac { частичный ^ {2} w} { partial t ^ {2}}} = - omega ^ {2} ~ w (x, t)}$

а уравнение изгиба можно записать как

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} { hat {w}}} { mathrm {d} x ^ {4}}} - m omega ^ {2} { hat {w}} = 0}$

Общее решение вышеуказанного уравнения:

${ displaystyle { hat {w}} = A_ {1} cosh ( beta x) + A_ {2} sinh ( beta x) + A_ {3} cos ( beta x) + A_ {4 } sin ( beta x)}$

куда ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$ константы и${ displaystyle beta: = left ({ cfrac {m} {EI}} ~ omega ^ {2} right) ^ {1/4}}$

Формы колебаний консольного я-луч
1-й боковой изгиб	1-й крутильный	1-я вертикальная гибка
2-й боковой изгиб	2-й крутильный	2-я вертикальная гибка

Теория Тимошенко – Рэлея

В 1877 году Рэлей предложил усовершенствовать динамическую теорию пучка Эйлера-Бернулли, включив в него эффект инерции вращения поперечного сечения балки. Тимошенко усовершенствовал эту теорию в 1922 году, добавив эффект сдвига в уравнение балки. Сдвиговые деформации нормали к средней поверхности балки допускаются в теории Тимошенко – Рэлея.

Уравнение изгиба линейной упругой изотропной однородной балки постоянного поперечного сечения при этих предположениях имеет вид^[7][9]

${ displaystyle { begin {align} & EI ~ { frac { partial ^ {4} w} { partial x ^ {4}}} + m ~ { frac { partial ^ {2} w} { частичное t ^ {2}}} - left (J + { frac {EIm} {kAG}} right) { frac { partial ^ {4} w} { partial x ^ {2} ~ partial t ^ {2}}} + { frac {Jm} {kAG}} ~ { frac { partial ^ {4} w} { partial t ^ {4}}} [6pt] = {} & q ( x, t) + { frac {J} {kAG}} ~ { frac { partial ^ {2} q} { partial t ^ {2}}} - { frac {EI} {kAG}} ~ { frac { partial ^ {2} q} { partial x ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle J = { tfrac {mI} {A}}}$ это полярный момент инерции поперечного сечения, ${ displaystyle m = rho A}$ - масса единицы длины балки, ${ displaystyle rho}$ плотность пучка, ${ displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения, ${ displaystyle G}$ - модуль сдвига, а ${ displaystyle k}$ это коэффициент поправки на сдвиг. Для материалов с коэффициентами Пуассона (${ displaystyle nu}$) близко к 0,3, поправочный коэффициент на сдвиг примерно равен

${ displaystyle { begin {align} k & = { frac {5 + 5 nu} {6 + 5 nu}} quad { text {прямоугольное сечение}} [6pt] & = { frac {6 + 12 nu +6 nu ^ {2}} {7 + 12 nu +4 nu ^ {2}}} quad { text {круговое поперечное сечение}} end {выравнивается}} }$

Свободные колебания

Для свободных гармонических колебаний уравнения Тимошенко – Рэлея принимают вид

${ displaystyle EI ~ { cfrac { mathrm {d} ^ {4} { hat {w}}} { mathrm {d} x ^ {4}}} + m omega ^ {2} left ( { cfrac {J} {m}} + { cfrac {EI} {kAG}} right) { cfrac { mathrm {d} ^ {2} { hat {w}}} { mathrm {d } x ^ {2}}} + m omega ^ {2} left ({ cfrac { omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 right) ~ { hat {w}} = 0 }$

Это уравнение можно решить, отметив, что все производные от ${ displaystyle w}$ должен иметь ту же форму для сокращения и, следовательно, как решение формы ${ displaystyle e ^ {kx}}$ можно ожидать. Это наблюдение приводит к характеристическое уравнение

${ displaystyle alpha ~ k ^ {4} + beta ~ k ^ {2} + gamma = 0 ~; ~~ alpha: = EI ~, ~~ beta: = m omega ^ {2} left ({ cfrac {J} {m}} + { cfrac {EI} {kAG}} right) ~, ~~ gamma: = m omega ^ {2} left ({ cfrac { omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 right)}$

Решения этого уравнение четвертой степени находятся

${ displaystyle k_ {1} = + { sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {2} = - { sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {3} = + { sqrt {z _ {-}}} ~, ~~ k_ {4} = - { sqrt {z _ {-}}}}$

куда

${ displaystyle z _ {+}: = { cfrac {- beta + { sqrt { beta ^ {2} -4 alpha gamma}}} {2 alpha}} ~, ~~ z _ {-} : = { cfrac {- beta - { sqrt { beta ^ {2} -4 alpha gamma}}} {2 alpha}}}$

Общее решение уравнения Тимошенко-Рэлея для свободных колебаний может быть записано в виде

${ displaystyle { hat {w}} = A_ {1} ~ e ^ {k_ {1} x} + A_ {2} ~ e ^ {- k_ {1} x} + A_ {3} ~ e ^ { k_ {3} x} + A_ {4} ~ e ^ {- k_ {3} x}}$

Квазистатический изгиб пластин

Деформация тонкой пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

Отличительной чертой балок является то, что один из размеров больше чем два других. Конструкция называется пластиной, если она плоская и один из ее размеров намного больше. меньше чем два других.Существует несколько теорий, которые пытаются описать деформацию и напряжение в пластине под действием приложенных нагрузок, две из которых широко используются. Это

• теория пластин Кирхгофа – Лява (также называемая классической теорией пластин)
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера (также называемая теорией пластин первого порядка сдвига)

Теория пластин Кирхгофа – Лява.

Предположения теории Кирхгофа – Лява:

• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Из этих предположений следует, что

${ displaystyle { begin {align} u _ { alpha} ( mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ { frac { partial w ^ {0}} { partial x _ { alpha}} } = - x_ {3} ~ w _ {, alpha} ^ {0} ~; ~~ alpha = 1,2 u_ {3} ( mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) end {align}}}$

куда ${ displaystyle mathbf {u}}$ это смещение точки в пластине и ${ Displaystyle ш ^ {0}}$ это смещение средней поверхности.

Соотношения деформация-перемещение:

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ { alpha beta} & = - x_ {3} ~ w _ {, alpha beta} ^ {0} varepsilon _ { alpha 3} & = 0 varepsilon _ {33} & = 0 end {align}}}$

Уравнения равновесия:

${ Displaystyle M _ { alpha beta, alpha beta} + q (x) = 0 ~; ~~ M _ { alpha beta}: = int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ sigma _ { alpha beta} ~ dx_ {3}}$

куда ${ displaystyle q (x)}$ приложенная нагрузка, перпендикулярная поверхности пластины.

В терминах перемещений уравнения равновесия изотропной линейно-упругой пластины в отсутствие внешней нагрузки могут быть записаны как

${ displaystyle w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0}$

В прямых тензорных обозначениях

${ Displaystyle набла ^ {2} набла ^ {2} ш = 0}$

Теория пластин Миндлина – Рейсснера

Специальное предположение этой теории состоит в том, что нормали к средней поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми, но не обязательно нормальными к средней поверхности после деформации. Смещения пластины выражаются выражением

${ displaystyle { begin {align} u _ { alpha} ( mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ varphi _ { alpha} ~; ~~ alpha = 1,2 u_ { 3} ( mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) end {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle varphi _ { alpha}}$ - вращения нормали.

Соотношения деформации-смещения, которые вытекают из этих предположений, следующие:

${ displaystyle { begin {align} varepsilon _ { alpha beta} & = - x_ {3} ~ varphi _ { alpha, beta} varepsilon _ { alpha 3} & = { cfrac {1} {2}} ~ kappa left (w _ {, alpha} ^ {0} - varphi _ { alpha} right) varepsilon _ {33} & = 0 end {выровнено }}}$

куда ${ displaystyle kappa}$ - коэффициент поправки на сдвиг.

Уравнения равновесия:

${ displaystyle { begin {align} & M _ { alpha beta, beta} -Q _ { alpha} = 0 & Q _ { alpha, alpha} + q = 0 end {align}}}$

куда

${ displaystyle Q _ { alpha}: = kappa ~ int _ {- h} ^ {h} sigma _ { alpha 3} ~ dx_ {3}}$

Динамический изгиб плит

Динамика тонких пластин Кирхгофа

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах и изучение стоячих волн и режимов колебаний. Уравнения, управляющие динамическим изгибом пластин Кирхгофа, следующие:

${ displaystyle M _ { alpha beta, alpha beta} -q (x, t) = J_ {1} ~ { ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ { ddot {w }} _ {, alpha alpha} ^ {0}}$

где для пластины с плотностью ${ Displaystyle rho = rho (х)}$,

${ displaystyle J_ {1}: = int _ {- h} ^ {h} rho ~ dx_ {3} ~; ~~ J_ {3}: = int _ {- h} ^ {h} x_ { 3} ^ {2} ~ rho ~ dx_ {3}}$

и

${ displaystyle { ddot {w}} ^ {0} = { frac { partial ^ {2} w ^ {0}} { partial t ^ {2}}} ~; ~~ { ddot {w }} _ {, alpha beta} ^ {0} = { frac { partial ^ {2} { ddot {w}} ^ {0}} { partial x _ { alpha} , partial x_ { beta}}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды круглой пластины.

• 

  Режим k = 0, п = 1

• 

  Режим k = 0, п = 2

• 

  Режим k = 1, п = 2

Смотрите также

• Изгибающий момент
• Гибочный станок (гибка плоского металла)
• Тормоз (гибка листового металла)
• Эффект мангала
• Гибка плит
• Гибка (металлообработка)
• Механика сплошной среды
• Контрафлексия
• Прогиб (инженерный)
• Подшипник изгиба
• Список моментов инерции площадей
• Диаграмма сдвига и момента
• Прочность на сдвиг
• Теория сэндвичей
• Вибрация
• Вибрация плит

Рекомендации

внешняя ссылка

• Формулы изгиба
• Напряжение и прогиб балки, таблицы прогиба балки