Гипоэластичный материал - Википедия - Hypoelastic material

В механика сплошной среды, а гипоэластичный материал^[1] является эластичный материал, имеющий конститутивная модель независим от конечная деформация меры, кроме линеаризованного случая. Модели из гипоэластичного материала отличаются от сверхупругий материал модели (или стандартные модели эластичности) в том, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть получены из функция плотности энергии деформации.

Обзор

Гипоэластичный материал можно строго определить как материал, моделируемый с помощью конститутивное уравнение удовлетворяет следующим двум критериям:^[2]

1. Напряжение Коши ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ вовремя ${ displaystyle t}$ зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. Как частный случай, этот критерий включает Эластичный материал Коши, для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций.

2. Существует тензорнозначная функция ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle { точка { boldsymbol { sigma}}} = G ({ boldsymbol { sigma}}, { boldsymbol {L}}) ,,}$ в котором ${ Displaystyle { точка { boldsymbol { sigma}}}}$ - материальная скорость тензора напряжений Коши, а ${ displaystyle { boldsymbol {L}}}$ пространственный градиент скорости тензор.

Если для определения гипоупругости используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включен как частный случай, что побуждает некоторых разработчиков конститутивного моделирования добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоупругая модель нет быть гиперупругим (т.е. гипоупругость подразумевает, что напряжение не выводится из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, то из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются одинаковыми градиент деформации но делать нет начинаются и заканчиваются одной и той же внутренней энергией.

Обратите внимание, что второй критерий требует только, чтобы функция ${ displaystyle G}$ существуют. Как поясняется ниже, в конкретных формулировках гипоупругих моделей обычно используется так называемый объективный уровень стресса таким образом ${ displaystyle G}$ функция существует только неявно.

Модели из гипоэластичного материала часто имеют вид

{ displaystyle { overset { circ} { boldsymbol { tau}}} = { mathsf {M}}: { boldsymbol {d}}}

куда ${ displaystyle { overset { circ} { boldsymbol { tau}}}}$ объективная оценка Напряжение Кирхгофа ( ${ displaystyle { boldsymbol { tau}}: = J { boldsymbol { sigma}}}$ ), ${ displaystyle { boldsymbol {d}}: = left [{ frac {1} {2}} ({ boldsymbol {L}} + { boldsymbol {L}} ^ {T}) right]}$ это тензор скорости деформации, и ${ displaystyle { mathsf {M}}}$ - это так называемый тензор упругой касательной жесткости, который изменяется в зависимости от самого напряжения и рассматривается как тензор свойств материала. При гиперупругости касательная жесткость обычно также должна зависеть от градиент деформации для правильного учета искажения и поворота направлений волокон анизотропного материала.^[3]

Гипоэластичность и объективные показатели напряжения

Во многих практических задачах механики деформируемого твердого тела достаточно характеризовать деформацию материала малым (или линеаризованным) тензором деформации

{ displaystyle varepsilon _ {ij} = { frac {1} {2}} (u_ {i, j} + u_ {j, i})}

куда ${ displaystyle u_ {i}}$ - компоненты перемещений точек континуума, нижние индексы относятся к декартовым координатам ${ displaystyle x_ {i}}$ ${ Displaystyle (я = 1,2,3)}$ , а нижние индексы, которым предшествует запятая, обозначают частные производные (например, ${ displaystyle u_ {i, j} = partial u_ {i} / partial x_ {j}}$ ). Но есть также много проблем, в которых необходимо учитывать конечность деформации. Они бывают двух видов:

большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией, ${ displaystyle W ({ boldsymbol {F}})}$ (проявляется, например, резиной), в которой компоненты тензора напряжений получаются как частные производные от ${ displaystyle W}$ по компонентам тензора конечных деформаций; и
неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется пошагово.

В первом случае формулировка общей деформации, описанная в статье о теория конечных деформаций является целесообразным. В последнем случае необходима инкрементальная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться при каждой нагрузке или временном шаге заключительный элемент компьютерная программа, использующая обновленную процедуру Лагранжа. Отсутствие потенциала вызывает сложные вопросы из-за свободы выбора конечной меры деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага нагружения (или приращения) можно использовать тензор скорости деформации (или скоростная деформация)

{ displaystyle d_ {ij} = { dot { varepsilon}} _ {ij} = { frac {1} {2}} (v_ {i, j} + v_ {j, i})}

или увеличить

{ displaystyle Delta varepsilon _ {ij} = { dot { varepsilon}} _ {ij} Delta t = d_ {ij} Delta t}

представляющий линеаризованный прирост деформации от начального (напряженного и деформированного) состояния на ступеньке. Здесь верхняя точка представляет материальную производную по времени ( ${ Displaystyle partial / partial t}$ вслед за данной материальной частицей), ${ displaystyle Delta}$ обозначает небольшое увеличение шага, ${ displaystyle t}$ = время и ${ displaystyle v_ {i} = { dot {u}} _ {i}}$ = скорость материальной точки или скорость смещения.

Однако это не было бы цель использовать производную по времени от Напряжение Коши (или истинное) ${ displaystyle sigma _ {ij}}$ . Это напряжение, которое описывает силы, действующие на небольшой элемент материала, который, как предполагается, будет вырезан из материала, который в настоящее время деформирован, не является объективным, поскольку он изменяется в зависимости от вращения твердого тела материала. Материальные точки должны быть охарактеризованы своими начальными координатами. ${ displaystyle X_ {i}}$ (называемый лагранжевым), потому что частицы разных материалов содержатся в вырезанном элементе (в одном месте) до и после возрастающей деформации.

Следовательно, необходимо ввести так называемые объективный уровень стресса ${ displaystyle { hat { sigma}} _ {ij}}$ , или соответствующее приращение ${ displaystyle Delta sigma _ {ij} = { hat { sigma}} _ {ij} Delta t}$ . Объективность необходима для ${ displaystyle { hat { sigma}} _ {ij}}$ быть функционально связанной с деформацией элемента. Значит, что ${ displaystyle { hat { sigma}} _ {ij}}$ должен быть инвариантным относительно преобразований координат (особенно поворотов) и должен характеризовать состояние того же самого элемента материала, когда он деформируется.

Смотрите также

Примечания

^ Трусделл (1963).
^ Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ISBN 3-540-02779-3.
^ Браннон, Р. (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для безразличной анизотропной упругости каркаса». Acta Mechanica. 129. С. 107–116.

Библиография

Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Журнал исследований Национального бюро стандартов Раздел B, 67B (3): 141–143

[1] Трусделл (1963).

[2] Трусделл, Клиффорд; Нолл, Уолтер (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 401. ISBN 3-540-02779-3.

[3] Браннон, Р. (1998). «Предостережения относительно сопряженных мер напряжения и деформации для безразличной анизотропной упругости каркаса». Acta Mechanica. 129. С. 107–116.

[1]

[2]

[3]