Поперечная изотропия - Transverse isotropy

Поперечная изотропия наблюдается в осадочных породах на длинных волнах. Каждый слой имеет примерно одинаковые свойства в плоскости, но разные свойства по толщине. Плоскость каждого слоя - это плоскость изотропии, а вертикальная ось - ось симметрии.

А трансверсально изотропный материал имеет физические свойства, которые симметричный вокруг оси, перпендикулярной плоскости изотропия. Эта поперечная плоскость имеет бесконечное количество плоскостей симметрии, и, следовательно, в этой плоскости свойства материала одинаковы во всех направлениях. Следовательно, такие материалы также известны как «полярно-анизотропные» материалы. В геофизике вертикально-поперечная изотропия (VTI) также известна как радиальная анизотропия.

Этот вид материала выставляет гексагональная симметрия (хотя технически это перестает быть верным для тензоров ранга 6 и выше), поэтому количество независимых констант в (четвертом ранге) тензор упругости уменьшаются до 5 (из 21 независимой константы в случае полностью анизотропный твердый ). Тензоры (второго ранга) удельного электрического сопротивления, магнитной проницаемости и т. Д. Имеют две независимые константы.

Пример трансверсально изотропных материалов

Поперечно-изотропный эластичный материал.

Примером трансверсально изотропного материала является так называемая осевая однонаправленная волокнистая композитная пластина, в которой волокна имеют круглое поперечное сечение. В однонаправленном композите плоскость, нормальная к направлению волокна, может рассматриваться как изотропная плоскость для длинных волн (низких частот) возбуждения. На рисунке справа волокна будут выровнены с ${ displaystyle x_ {2}}$ ось, перпендикулярная плоскости изотропии.

С точки зрения эффективных свойств геологические слои горных пород часто интерпретируются как поперечно-изотропные. Расчет эффективных упругих свойств таких слоев в петрологии был придуман. Масштабирование резервной копии, который описан ниже.

Матрица симметрии материала

Матрица материалов ${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {K}}}}}$ обладает симметрией относительно данного ортогональное преобразование (${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$), если он не изменяется при таком преобразовании. Для неизменности свойств материала при таком преобразовании нам потребуется

${ displaystyle { boldsymbol {A}} cdot mathbf {f} = { boldsymbol {K}} cdot ({ boldsymbol {A}} cdot { boldsymbol {d}}) подразумевает mathbf { f} = ({ boldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot { boldsymbol {K}} cdot { boldsymbol {A}}) cdot { boldsymbol {d}}}$

Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)

${ displaystyle { boldsymbol {K}} = { boldsymbol {A}} ^ {- 1} cdot { boldsymbol {K}} cdot { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {A}} ^ {T} cdot { boldsymbol {K}} cdot { boldsymbol {A}}}$

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах как ${ displaystyle 3 times 3}$ матрица ${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}}}$ данный

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}} = { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23 } A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} end {bmatrix}} ~.}$

Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {K}}}} = { underline { underline {{ boldsymbol {A}} ^ {T}}}} ~ { underline { underline { boldsymbol {K}}}} ~ { underline { underline { boldsymbol {A}}}}}$

Для трансверсально изотропного материала матрица ${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}}}$ имеет форму

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}} = { begin {bmatrix} cos theta & sin theta & 0 - sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} ~.}$

где ${ displaystyle x_ {3}}$ось - это ось симметрии. Матрица материала остается неизменной при повороте на любой угол. ${ displaystyle theta}$ о ${ displaystyle x_ {3}}$-ось.

В физике

Линейный материал учредительные отношения в физике можно выразить в виде

${ displaystyle mathbf {f} = { boldsymbol {K}} cdot mathbf {d}}$

куда ${ displaystyle mathbf {d}, mathbf {f}}$ два вектора, представляющие физические величины, и ${ displaystyle { boldsymbol {K}}}$ - материальный тензор второго порядка. В матричной форме

${ displaystyle { underline { underline { mathbf {f}}}} = { underline { underline { boldsymbol {K}}}} ~ { underline { underline { mathbf {d}}}} implies { begin {bmatrix} f_ {1} f_ {2} f_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} K_ {11} & K_ {12} & K_ {13} K_ {21} & K_ {22} & K_ {23} K_ {31} & K_ {32} & K_ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} d_ {1} d_ {2} d_ {3} end {bmatrix}}}$

Примеры физических проблем, соответствующих вышеуказанному шаблону, перечислены в таблице ниже.^[1]

Проблема	${ displaystyle mathbf {f}}$	${ displaystyle mathbf {d}}$	${ displaystyle { boldsymbol {K}}}$
Электрическая проводимость	Электрический ток ${ displaystyle mathbf {J}}$	Электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E}}$	Электрическая проводимость ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$
Диэлектрики	Электрическое смещение ${ displaystyle mathbf {D}}$	Электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E}}$	Электрическая проницаемость ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$
Магнетизм	Магнитная индукция ${ displaystyle mathbf {B}}$	Магнитное поле ${ displaystyle mathbf {H}}$	Магнитная проницаемость ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$
Теплопроводность	Поток горячего воздуха ${ displaystyle mathbf {q}}$	Температурный градиент ${ displaystyle - { boldsymbol { nabla}} T}$	Теплопроводность ${ displaystyle { boldsymbol { kappa}}}$
Распространение	Частицы поток ${ displaystyle mathbf {J}}$	Градиент концентрации ${ displaystyle - { boldsymbol { nabla}} c}$	Диффузность ${ displaystyle { boldsymbol {D}}}$
Поток в пористая среда	Утяжеленная жидкость скорость ${ displaystyle eta _ { mu} mathbf {v}}$	Градиент давления ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} P}$	Проницаемость для жидкости ${ displaystyle { boldsymbol { kappa}}}$
Эластичность	Стресс ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$	Напряжение ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$	Жесткость ${ displaystyle mathbf {C}}$

С помощью ${ displaystyle theta = pi}$ в ${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}}}$ матрица означает, что ${ displaystyle K_ {13} = K_ {31} = K_ {23} = K_ {32} = 0}$. С помощью ${ Displaystyle theta = { tfrac { pi} {2}}}$ приводит к ${ displaystyle K_ {11} = K_ {22}}$ и ${ displaystyle K_ {12} = - K_ {21}}$. Ограничения по энергии обычно требуют ${ displaystyle K_ {12}, K_ {21} geq 0}$ и, следовательно, мы должны иметь ${ displaystyle K_ {12} = K_ {21} = 0}$. Следовательно, свойства материала трансверсально изотропного материала описываются матрицей

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {K}}}} = { begin {bmatrix} K_ {11} & 0 & 0 0 & K_ {11} & 0 0 & 0 & K_ {33} end {bmatrix}}}$

По линейной эластичности

Условие симметрии материала

В линейная эластичность, то стресс и напряжение связаны Закон Гука, т.е.

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { sigma}}}} = { underline { underline { mathsf {C}}}} ~ { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}} }}}$

или, используя Обозначение Фойгта,

${ displaystyle { begin {bmatrix} sigma _ {1} sigma _ {2} sigma _ {3} sigma _ {4} sigma _ {5} sigma _ {6} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & C_ {14} & C_ {15} & C_ {16} C_ {12} & C_ { 22} & C_ {23} & C_ {24} & C_ {25} & C_ {26} C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & C_ {34} & C_ {35} & C_ {36} C_ {14} & C_ {24} & C_ {34} & C_ {44} & C_ {45} & C_ {46} C_ {15} & C_ {25} & C_ {35} & C_ {45} & C_ {55} & C_ {56} C_ { 16} & C_ {26} & C_ {36} & C_ {46} & C_ {56} & C_ {66} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} varepsilon _ {3} varepsilon _ {4} varepsilon _ {5} varepsilon _ {6} end {bmatrix}}}$

Условием симметрии материала в линейно-упругих материалах является.^[2]

${ displaystyle { underline { underline { mathsf {C}}}} = { underline { underline {{ mathsf {A}} _ { varepsilon}}}} ^ {T} ~ { underline { underline { mathsf {C}}}} ~ { underline { underline {{ mathsf {A}} _ { varepsilon}}}}}$

куда

${ displaystyle { underline { underline {{ mathsf {A}} _ { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} A_ {11} ^ {2} & A_ {12} ^ {2} & A_ { 13} ^ {2} & A_ {12} A_ {13} & A_ {11} A_ {13} & A_ {11} A_ {12} A_ {21} ^ {2} & A_ {22} ^ {2} & A_ { 23} ^ {2} & A_ {22} A_ {23} & A_ {21} A_ {23} & A_ {21} A_ {22} A_ {31} ^ {2} & A_ {32} ^ {2} & A_ { 33} ^ {2} & A_ {32} A_ {33} & A_ {31} A_ {33} & A_ {31} A_ {32} 2A_ {21} A_ {31} & 2A_ {22} A_ {32} и 2A_ { 23} A_ {33} и A_ {22} A_ {33} + A_ {23} A_ {32} и A_ {21} A_ {33} + A_ {23} A_ {31} и A_ {21} A_ {32} + A_ {22} A_ {31} 2A_ {11} A_ {31} и 2A_ {12} A_ {32} и 2A_ {13} A_ {33} и A_ {12} A_ {33} + A_ {13} A_ {32} & A_ {11} A_ {33} + A_ {13} A_ {31} & A_ {11} A_ {32} + A_ {12} A_ {31} 2A_ {11} A_ {21} & 2A_ {12} A_ { 22} & 2A_ {13} A_ {23} & A_ {12} A_ {23} + A_ {13} A_ {22} & A_ {11} A_ {23} + A_ {13} A_ {21} и A_ {11} A_ { 22} + A_ {12} A_ {21} end {bmatrix}}}$

Тензор упругости

Используя конкретные значения ${ displaystyle theta}$ в матрице ${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol {A}}}}}$,^[3] можно показать, что тензор упругости и жесткости четвертого ранга можно записать в 2-индексном Обозначение Фойгта как матрица

${ displaystyle { underline { underline { mathsf {C}}}} = { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 C_ {12} & C_ {11} & C_ { 13} & 0 & 0 & 0 C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (C_ {11} -C_ {12}) / 2 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {11} -2C_ {66} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 C_ {11} -2C_ {66} & C_ {11} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66} end {bmatrix}}.}$

Матрица упругости и жесткости ${ displaystyle C_ {ij}}$ имеет 5 независимых констант, которые связаны с хорошо известными инженерными модули упругости следующим образом. Эти инженерные модули определены экспериментально.

Матрица податливости (обратная матрице упругой жесткости):

${ displaystyle { underline { underline { mathsf {C}}}} ^ {- 1} = { frac {1} { Delta}} { begin {bmatrix} C_ {11} C_ {33} - C_ {13} ^ {2} & C_ {13} ^ {2} -C_ {12} C_ {33} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & 0 & 0 & 0 C_ {13} ^ { 2} -C_ {12} C_ {33} & C_ {11} C_ {33} -C_ {13} ^ {2} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & 0 & 0 & 0 (C_ { 12} -C_ {11}) C_ {13} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & C_ {11} ^ {2} -C_ {12} ^ {2} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & { frac { Delta} {C_ {44}}} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & { frac { Delta} {C_ {44}}} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & { frac {2 Delta} {(C_ {11} - C_ {12})}} end {bmatrix}}}$

куда ${ displaystyle Delta: = (C_ {11} -C_ {12}) [(C_ {11} + C_ {12}) C_ {33} -2C_ {13} C_ {13}]}$. В технических обозначениях

${ displaystyle { underline { underline { mathsf {C}}}} ^ {- 1} = { begin {bmatrix} { tfrac {1} {E _ { rm {x}}}} & - { tfrac { nu _ { rm {yx}}} {E _ { rm {x}}}} & - { tfrac { nu _ { rm {zx}}} {E _ { rm {z} }}} & 0 & 0 & 0 - { tfrac { nu _ { rm {xy}}} {E _ { rm {x}}}} & { tfrac {1} {E _ { rm {x}}} } & - { tfrac { nu _ { rm {zx}}} {E _ { rm {z}}}} & 0 & 0 & 0 - { tfrac { nu _ { rm {xz}}} {E_ { rm {z}}}} & - { tfrac { nu _ { rm {xz}}} {E _ { rm {z}}}} & { tfrac {1} {E _ { rm { z}}}} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & { tfrac {1} {G _ { rm {xz}}}} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & { tfrac {1} {G _ { rm {xz}}}} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & { tfrac {2 (1+ nu _ { rm {xy}})} {E _ { rm {x}}}} end {bmatrix}}}$

Сравнение этих двух форм матрицы соответствия показывает нам, что продольные Модуль для младших дан кем-то

${ displaystyle E_ {L} = E _ { rm {z}} = C_ {33} -2C_ {13} C_ {13} / (C_ {11} + C_ {12})}$

Аналогично поперечный Модуль для младших является

${ displaystyle E_ {T} = E _ { rm {x}} = E _ { rm {y}} = (C_ {11} -C_ {12}) (C_ {11} C_ {33} + C_ {12 } C_ {33} -2C_ {13} C_ {13}) / (C_ {11} C_ {33} -C_ {13} C_ {13})}$

Самолет модуль сдвига является

${ displaystyle G_ {xy} = (C_ {11} -C_ {12}) / 2 = C_ {66}}$

и Коэффициент Пуассона для нагружения вдоль полярной оси

${ displaystyle nu _ {LT} = nu _ {zx} = C_ {13} / (C_ {11} + C_ {12})}$.

Здесь L представляет собой продольное (полярное) направление, а T представляет собой поперечное направление.

В геофизике

В геофизике распространено предположение, что горные образования земной коры локально полярный анизотропный (трансверсально изотропный); это простейший случай, представляющий геофизический интерес. Масштабирование резервной копии^[4] часто используется для определения эффективных поперечно-изотропных упругих постоянных слоистых сред для длинноволновых сейсмических волн.

Предположения, сделанные в приближении Бэкуса, следующие:

• Все материалы линейно эластичны
• Отсутствуют источники собственного рассеивания энергии (например, трение)
• Действительно в пределе бесконечной длины волны, следовательно, хорошие результаты только в том случае, если толщина слоя намного меньше длины волны.
• Статистика распределения упругих свойств пластов стационарна, т. Е. Нет коррелированного тренда по этим свойствам.

Для более коротких длин волн поведение сейсмических волн описывается с помощью суперпозиции плоские волны. Трансверсально изотропные среды поддерживают три типа упругих плоских волн:

• квазиЗубец P (поляризация направление почти равно направлению распространения)
• квазиS волна
• S-волна (поляризованная ортогональная квази-S-волне, оси симметрии и направлению распространения).

Решения задач распространения волн в таких средах могут быть построены из этих плоских волн, используя Синтез Фурье.

Апскейлинг Backus (длинноволновое приближение)

Слоистая модель однородного и изотропного материала может быть увеличена до поперечно-изотропной среды, предложенной Бакусом.^[4]

Бэкус представил эквивалентную теорию среды, гетерогенную среду можно заменить однородной, которая предсказывает распространение волн в реальной среде.^[5] Бэкус показал, что наслоение в масштабе, намного меньшем, чем длина волны, оказывает влияние и что ряд изотропных слоев может быть заменен однородной трансверсально-изотропной средой, которая ведет себя точно так же, как реальная среда при статической нагрузке в пределе бесконечной длины волны. .

Если каждый слой ${ displaystyle i}$ описывается 5 трансверсально изотропными параметрами ${ displaystyle (a_ {i}, b_ {i}, c_ {i}, d_ {i}, e_ {i})}$, задав матрицу

${ displaystyle { underline { underline {{ mathsf {C}} _ ​​{i}}}} = { begin {bmatrix} a_ {i} & a_ {i} -2e_ {i} & b_ {i} & 0 & 0 & 0 a_ {i} -2e_ {i} & a_ {i} & b_ {i} & 0 & 0 & 0 b_ {i} & b_ {i} & c_ {i} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & d_ {i} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & d_ {i} & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_ {i} end {bmatrix}}}$

Модули упругости для эффективной среды будут

${ displaystyle { underline { underline {{ mathsf {C}} _ ​​{ mathrm {eff}}}}} = { begin {bmatrix} A & A-2E & B & 0 & 0 & 0 A-2E & A & B & 0 & 0 & 0 B & B & C & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & D & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & E end {bmatrix}}}$

куда

${ displaystyle { begin {align} A & = langle ab ^ {2} c ^ {- 1} rangle + langle c ^ {- 1} rangle ^ {- 1} langle bc ^ {- 1} rangle ^ {2} B & = langle c ^ {- 1} rangle ^ {- 1} langle bc ^ {- 1} rangle C & = langle c ^ {- 1} rangle ^ {-1} D & = langle d ^ {- 1} rangle ^ {- 1} E & = langle e rangle конец {выровнено}}}$

${ Displaystyle langle cdot rangle}$ обозначает средневзвешенный объем по всем слоям.

Сюда входят изотропные слои, так как слой изотропен, если ${ displaystyle b_ {i} = a_ {i} -2e_ {i}}$, ${ displaystyle a_ {i} = c_ {i}}$ и ${ displaystyle d_ {i} = e_ {i}}$.

Приближение коротких и средних длин волн

Решения задач распространения волн в линейно-упругих трансверсально изотропных средах могут быть построены путем наложения решений для квази-P-волны, квази-S-волны и S-волны, поляризованной ортогональной квази-S-волне. угловые изменения скорости являются алгебраически сложными, а скорости плоских волн зависят от угла распространения ${ displaystyle theta}$ находятся.^[6] В зависимости от направления скорость волны за упругие волны через материал можно найти с помощью Уравнение Кристоффеля и даны^[7]

${ displaystyle { begin {align} V_ {qP} ( theta) & = { sqrt { frac {C_ {11} sin ^ {2} ( theta) + C_ {33} cos ^ {2 } ( theta) + C_ {44} + { sqrt {M ( theta)}}} {2 rho}}} V_ {qS} ( theta) & = { sqrt { frac {C_ {11} sin ^ {2} ( theta) + C_ {33} cos ^ {2} ( theta) + C_ {44} - { sqrt {M ( theta)}}} {2 rho }}} V_ {S} & = { sqrt { frac {C_ {66} sin ^ {2} ( theta) + C_ {44} cos ^ {2} ( theta)} { rho}}} M ( theta) & = left [ left (C_ {11} -C_ {44} right) sin ^ {2} ( theta) - left (C_ {33} - C_ {44} right) cos ^ {2} ( theta) right] ^ {2} + left (C_ {13} + C_ {44} right) ^ {2} sin ^ {2} (2 theta) конец {выровнено}}}$

куда ${ Displaystyle { begin {выровнено} theta end {выровнено}}}$ - угол между осью симметрии и направлением распространения волны, ${ displaystyle rho}$ - массовая плотность и ${ displaystyle C_ {ij}}$ являются элементами матрица упругой жесткости. Параметры Томсена используются для упрощения этих выражений и облегчения их понимания.

Параметры Томсена

Параметры Томсена^[8] безразмерные комбинации модули упругости характеризующие трансверсально-изотропные материалы, встречающиеся, например, в геофизика. Что касается компонентов эластичного матрица жесткости, эти параметры определены как:

${ displaystyle { begin {align} epsilon & = { frac {C_ {11} -C_ {33}} {2C_ {33}}} delta & = { frac {(C_ {13} + C_ {44}) ^ {2} - (C_ {33} -C_ {44}) ^ {2}} {2C_ {33} (C_ {33} -C_ {44})}} гамма & = { frac {C_ {66} -C_ {44}} {2C_ {44}}} end {align}}}$

где индекс 3 указывает на ось симметрии (${ displaystyle mathbf {e} _ {3}}$). Эти параметры вместе с соответствующими Зубец P и S волна скорости, можно использовать для характеристики распространения волн в слабоанизотропных слоистых средах. Эмпирически параметры Томсена для большинства слоистых скальные образования намного ниже 1.

Это имя связано с Леоном Томсеном, профессором геофизики в Хьюстонский университет, который предложил эти параметры в своей статье 1986 г. «Слабая упругая анизотропия».

Упрощенные выражения для волновых скоростей

В геофизике анизотропия упругих свойств обычно мала, и в этом случае ${ displaystyle delta, gamma, epsilon ll 1}$. Когда точные выражения для волновых скоростей, приведенные выше, линеаризуются в этих малых величинах, они упрощаются до

${ Displaystyle { begin {выровнено} V_ {qP} ( theta) & приблизительно V_ {P0} (1+ delta sin ^ {2} theta cos ^ {2} theta + epsilon sin ^ {4} theta) V_ {qS} ( theta) & приблизительно V_ {S0} left [1+ left ({ frac {V_ {P0}} {V_ {S0}}} right ) ^ {2} ( epsilon - delta) sin ^ {2} theta cos ^ {2} theta right] V_ {S} ( theta) & приблизительно V_ {S0} (1 + gamma sin ^ {2} theta) end {align}}}$

куда

${ Displaystyle V_ {P0} = { sqrt {C_ {33} / rho}} ~; ~~ V_ {S0} = { sqrt {C_ {44} / rho}}}$

- скорости продольных и поперечных волн в направлении оси симметрии (${ displaystyle mathbf {e} _ {3}}$) (в геофизике это обычно, но не всегда, вертикальное направление). Обратите внимание, что ${ displaystyle delta}$ может быть дополнительно линеаризован, но это не приводит к дальнейшему упрощению.

Приближенные выражения для волновых скоростей достаточно просты для физической интерпретации и достаточно точны для большинства геофизических приложений. Эти выражения также полезны в некоторых контекстах, где анизотропия не является слабой.

Смотрите также

• Закон Гука
• Линейная эластичность
• Ортотропный материал

Рекомендации