Совместимость (механика) - Compatibility (mechanics)

В ведущий раздел этой статьи может потребоваться переписать. Использовать руководство по макету свинца чтобы раздел соответствовал нормам Википедии и содержал все важные детали. (Январь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В механика сплошной среды, а совместимый деформация (или же напряжение ) тензорное поле в теле это то уникальный тензорное поле, которое получается при воздействии на тело непрерывный, однозначный, поле смещения. Совместимость является исследованием условий, при которых такое поле смещения может быть гарантировано. Условия совместимости - частные случаи условия интегрируемости и были впервые получены для линейная эластичность к Барре де Сен-Венан в 1864 г. и строго доказано Бельтрами в 1886 г.^[1]

В континуальном описании твердого тела мы представляем тело состоящим из набора бесконечно малых объемов или материальных точек. Предполагается, что каждый том подключен к своим соседям без каких-либо зазоров или перекрытий. Определенные математические условия должны быть выполнены, чтобы гарантировать, что зазоры / перекрытия не образуются при деформации сплошного тела. Тело, которое деформируется без образования зазоров / перекрытий, называется совместимый тело. Условия совместимости представляют собой математические условия, определяющие, приведет ли конкретная деформация к совместимому состоянию тела.^[2]

В контексте теория бесконечно малых деформаций, эти условия эквивалентны утверждению, что перемещения в теле могут быть получены интегрированием напряжения. Такое интегрирование возможно, если тензор Сен-Венана (или тензор несовместимости) ${ displaystyle { boldsymbol {R}} ({ boldsymbol { varepsilon}})}$ исчезает в односвязное тело^[3] куда ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ это тензор бесконечно малых деформаций и

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) = { boldsymbol {0}} ~.}$

За конечные деформации условия совместимости принимают вид

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации.

Условия совместимости бесконечно малых деформаций

Условия совместимости в линейная эластичность получены, наблюдая, что существует шесть соотношений деформация-смещение, которые являются функциями только трех неизвестных смещений. Это говорит о том, что три смещения могут быть удалены из системы уравнений без потери информации. Полученные выражения в терминах только деформаций обеспечивают ограничения на возможные формы поля деформаций.

2-х мерный

Для двумерного плоская деформация задачи отношения деформации-смещения

${ displaystyle varepsilon _ {11} = { cfrac { partial u_ {1}} { partial x_ {1}}} ~; ~~ varepsilon _ {12} = { cfrac {1} {2} } left [{ cfrac { partial u_ {1}} { partial x_ {2}}} + { cfrac { partial u_ {2}} { partial x_ {1}}} right] ~; ~~ varepsilon _ {22} = { cfrac { partial u_ {2}} { partial x_ {2}}}}$

Повторное дифференцирование этих соотношений, чтобы убрать смещения ${ displaystyle u_ {1}}$ и ${ displaystyle u_ {2}}$, дает нам двумерное условие совместимости деформаций

${ displaystyle { cfrac { partial ^ {2} varepsilon _ {11}} { partial x_ {2} ^ {2}}} - 2 { cfrac { partial ^ {2} varepsilon _ {12 }} { partial x_ {1} partial x_ {2}}} + { cfrac { partial ^ {2} varepsilon _ {22}} { partial x_ {1} ^ {2}}} = 0 }$

Единственное поле смещения, которое допускается совместимым полем плоской деформации, - это смещение плоскости поле, т.е. ${ Displaystyle mathbf {u} = mathbf {u} (x_ {1}, x_ {2})}$.

3-х мерный

В трех измерениях, помимо еще двух уравнений вида, показанного для двух измерений, есть еще три уравнения вида

${ displaystyle { cfrac { partial ^ {2} varepsilon _ {33}} { partial x_ {1} partial x_ {2}}} = { cfrac { partial} { partial x_ {3} }} left [{ cfrac { partial varepsilon _ {23}} { partial x_ {1}}} + { cfrac { partial varepsilon _ {31}} { partial x_ {2}}} - { cfrac { partial varepsilon _ {12}} { partial x_ {3}}} right]}$

Следовательно, есть 3⁴= 81 уравнение в частных производных, однако из-за условий симметрии это число сокращается до шесть разные условия совместимости. Мы можем записать эти условия в индексных обозначениях как^[4]

${ displaystyle e_ {ikr} ~ e_ {jls} ~ varepsilon _ {ij, kl} = 0}$

куда ${ displaystyle e_ {ijk}}$ это символ перестановки. В прямых тензорных обозначениях

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$

где оператор curl может быть выражен в ортонормированной системе координат как ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = e_ {ijk} varepsilon _ {rj, i} mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _{р}}$.

Тензор второго порядка

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) ~; ~~ R_ {rs} : = e_ {ikr} ~ e_ {jls} ~ varepsilon _ {ij, kl}}$

известен как тензор несовместимости, и эквивалентен Тензор совместимости Сен-Венана

Условия совместимости для конечных деформаций

Для твердых тел, в которых не требуется, чтобы деформации были малыми, условия совместимости принимают вид

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

куда ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ это градиент деформации. В терминах компонентов по отношению к декартовой системе координат мы можем записать эти отношения совместимости как

${ displaystyle e_ {ABC} ~ { cfrac { partial F_ {iB}} { partial X_ {A}}} = 0}$

Это условие необходимо если деформация должна быть непрерывной и получена из отображения ${ Displaystyle mathbf {x} = { boldsymbol { chi}} ( mathbf {X}, t)}$ (видеть Теория конечных деформаций ). Такое же условие также достаточный для обеспечения совместимости в односвязный тело.

Условие совместности правого тензора деформации Коши - Грина

Условие совместимости правый тензор деформации Коши-Грина можно выразить как

${ Displaystyle R _ { alpha beta rho} ^ { gamma}: = { frac { partial} { partial X ^ { rho}}} [ Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma}] - { frac { partial} { partial X ^ { beta}}} [ Gamma _ { alpha rho} ^ { gamma}] + Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} ~ Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} ~ Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} = 0 }$

куда ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k}}$ это Символ Кристоффеля второго рода. Количество ${ displaystyle R_ {ijk} ^ {m}}$ представляет собой смешанные компоненты Тензор кривизны Римана-Кристоффеля.

Общая проблема совместимости

Проблема совместимости в механике сплошных сред включает определение допустимых однозначных непрерывных полей на односвязных телах. Точнее, проблему можно сформулировать следующим образом.^[5]

Рис. 1. Движение сплошного тела.

Рассмотрим деформацию тела, показанного на рисунке 1. Если мы выразим все векторы через опорную систему координат ${ Displaystyle {( mathbf {E} _ {1}, mathbf {E} _ {2}, mathbf {E} _ {3}), O }}$, смещение точки тела определяется выражением

${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {x} - mathbf {X} ~; ~~ u_ {i} = x_ {i} -X_ {i}}$

Также

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { frac { partial mathbf {u}} { partial mathbf {X}}} ~; ~~ { boldsymbol { nabla} } mathbf {x} = { frac { partial mathbf {x}} { partial mathbf {X}}}}$

Какие условия на заданное тензорное поле второго порядка ${ Displaystyle { boldsymbol {A}} ( mathbf {X})}$ на теле необходимы и достаточны, чтобы существовало единственное векторное поле ${ Displaystyle mathbf {v} ( mathbf {X})}$ это удовлетворяет

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} = { boldsymbol {A}} quad Equiv quad v_ {i, j} = A_ {ij}}$

Необходимые условия

Для необходимых условий считаем, что поле ${ displaystyle mathbf {v}}$ существует и удовлетворяет${ displaystyle v_ {i, j} = A_ {ij}}$. потом

${ displaystyle v_ {i, jk} = A_ {ij, k} ~; ~~ v_ {i, kj} = A_ {ik, j}}$

Поскольку изменение порядка дифференцирования не влияет на результат, имеем

${ Displaystyle v_ {я, jk} = v_ {я, kj}}$

Следовательно

${ displaystyle A_ {ij, k} = A_ {ik, j}}$

Из хорошо известной идентичности локон тензора получаем необходимое условие

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {0}}}$

Достаточные условия

Рисунок 2. Пути интеграции, используемые для доказательства достаточных условий совместимости.

Чтобы доказать, что этого условия достаточно, чтобы гарантировать существование согласованного тензорного поля второго порядка, мы начнем с предположения, что поле ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ существует такое, что${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {0}}}$. Мы проинтегрируем это поле, чтобы найти векторное поле ${ displaystyle mathbf {v}}$ по линии между точками ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ (см. рисунок 2), т.е.

${ Displaystyle mathbf {v} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {v} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} cdot ~ d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol {A}} ( mathbf {X}) cdot d mathbf {X}}$

Если векторное поле ${ displaystyle mathbf {v}}$ должен быть однозначным, то значение интеграла не должно зависеть от пути, по которому идти от ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$.

Из Теорема Стокса, интеграл от тензора второго порядка по замкнутому пути определяется выражением

${ displaystyle oint _ { partial Omega} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {s} = int _ { Omega} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla} } times { boldsymbol {A}}) ~ da}$

Используя предположение, что ротор ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ равно нулю, получаем

${ displaystyle oint _ { partial Omega} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {s} = 0 quad подразумевает quad int _ {AB} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {X} + int _ {BA} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {X} = 0}$

Следовательно, интеграл не зависит от пути, и условия совместимости достаточно для обеспечения единственного ${ displaystyle mathbf {v}}$ поле при условии, что тело односвязно.

Совместимость градиента деформации

Условие совместимости для градиента деформации получается непосредственно из приведенного выше доказательства, если заметить, что

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { cfrac { partial mathbf {x}} { partial mathbf {X}}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {x}}$

Тогда необходимые и достаточные условия существования согласованного ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ поля над односвязным телом

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

Совместимость бесконечно малых штаммов

Проблему совместимости малых деформаций можно сформулировать следующим образом.

Для симметричного тензорного поля второго порядка ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$ когда можно построить векторное поле ${ displaystyle mathbf {u}}$ такой, что

${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}} = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u }) ^ {T}]}$

Необходимые условия

Предположим, что существует ${ displaystyle mathbf {u}}$ так что выражение для ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$ держит. Сейчас же

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$

куда

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}: = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} - ({ boldsymbol { nabla}} mathbf { u}) ^ {T}]}$

Следовательно, в индексной записи

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol { omega}} Equiv omega _ {ij, k} = { frac {1} {2}} (u_ {i, jk} -u_ { j, ik}) = { frac {1} {2}} (u_ {i, jk} + u_ {k, ji} -u_ {j, ik} -u_ {k, ji}) = varepsilon _ { ik, j} - varepsilon _ {jk, i}}$

Если ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ непрерывно дифференцируемо, имеем ${ Displaystyle omega _ {ij, kl} = omega _ {ij, lk}}$. Следовательно,

${ displaystyle varepsilon _ {ik, jl} - varepsilon _ {jk, il} - varepsilon _ {il, jk} + varepsilon _ {jl, ik} = 0}$

В прямых тензорных обозначениях

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$

Это необходимые условия. Если ${ displaystyle mathbf {w}}$ это бесконечно малый вектор вращения тогда ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} + { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} ^ {T}}$. Следовательно, необходимое условие можно также записать как ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {w} + { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} ^ {T}) = { boldsymbol {0}}}$.

Достаточные условия

Предположим теперь, что условие ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$ удовлетворяется в части тела. Достаточно ли этого условия, чтобы гарантировать существование непрерывного однозначного поля смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$?

Первый шаг в этом процессе - показать, что из этого условия следует, что тензор бесконечно малого вращения ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ однозначно определено. Для этого мы интегрируем ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {w}}$ по пути ${ displaystyle mathbf {X} _ {A}}$ к ${ displaystyle mathbf {X} _ {B}}$, т.е.

${ Displaystyle mathbf {w} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {w} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} cdot d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X}}$

Обратите внимание, что нам нужно знать ссылку ${ Displaystyle mathbf {w} ( mathbf {X} _ {A})}$ зафиксировать вращение твердого тела. Поле ${ Displaystyle mathbf {ш} ( mathbf {X})}$ однозначно определяется только в том случае, если контурный интеграл по замкнутому контуру между ${ displaystyle mathbf {X} _ {A}}$ и ${ displaystyle mathbf {X} _ {b}}$ равен нулю, т.е.

${ displaystyle oint _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X} = { boldsymbol {0}}}$

Но из теоремы Стокса для односвязного тела и необходимого условия совместимости

${ displaystyle oint _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X} = int _ { Omega _ {AB}} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) ~ da = { boldsymbol {0}}}$

Следовательно, поле ${ displaystyle mathbf {w}}$ однозначно определено, что означает, что тензор бесконечно малых вращений ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ также однозначно определяется при условии, что тело односвязно.

На следующем этапе процесса мы рассмотрим уникальность поля смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$. Как и раньше, интегрируем градиент смещения

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {u} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} cdot d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}) cdot d mathbf {X}}$

Из теоремы Стокса и используя соотношения ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} = - { boldsymbol { nabla}} times omega}$ у нас есть

${ displaystyle oint _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}) cdot d mathbf {X} = int _ { Omega _ {AB}} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { набла}} times { boldsymbol { omega}}) ~ da = { boldsymbol {0}}}$

Следовательно, поле смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$ также определяется однозначно. Следовательно, условий совместности достаточно, чтобы гарантировать существование единственного поля смещения ${ displaystyle mathbf {u}}$ в односвязном теле.

Совместимость для правого поля деформации Коши-Грина

Проблема совместимости для правого поля деформаций Коши-Грина может быть поставлена ​​следующим образом.

Проблема: Позволять ${ Displaystyle { boldsymbol {C}} ( mathbf {X})}$ - положительно определенное симметричное тензорное поле, заданное на эталонной конфигурации. При каких условиях на ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$ существует ли деформированная конфигурация, отмеченная полем положения ${ Displaystyle mathbf {х} ( mathbf {X})}$ такой, что

${ displaystyle (1) quad left ({ frac { partial mathbf {x}} { partial mathbf {X}}} right) ^ {T} left ({ frac { partial mathbf {x}} { partial mathbf {X}}} right) = { boldsymbol {C}}}$

Необходимые условия

Предположим, что поле ${ Displaystyle mathbf {х} ( mathbf {X})}$ существует, удовлетворяющее условию (1). В терминах компонентов относительно прямоугольного декартового базиса

${ displaystyle { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { beta}}} = C _ { alpha beta}}$

Из теория конечных деформаций мы знаем это ${ Displaystyle С _ { альфа бета} = г _ { альфа бета}}$. Следовательно, мы можем написать

${ displaystyle delta _ {ij} ~ { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} ~ { frac { partial x ^ {j}} { partial X ^ { beta}}} = g _ { alpha beta}}$

Для двух симметричных тензорных полей второго порядка, которые взаимно однозначно отображаются, мы также имеем связь

${ Displaystyle G_ {ij} = { frac { partial X ^ { alpha}} { partial x ^ {i}}} ~ { frac { partial X ^ { beta}} { partial x ^ {j}}} ~ g _ { alpha beta}}$

Из отношения между ${ displaystyle G_ {ij}}$ и ${ displaystyle g _ { alpha beta}}$ который ${ displaystyle delta _ {ij} = G_ {ij}}$, у нас есть

${ Displaystyle _ {(х)} Гамма _ {ij} ^ {k} = 0}$

Тогда из соотношения

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} x ^ {m}} { partial X ^ { alpha} partial X ^ { beta}}} = { frac { partial x ^ {m} } { partial X ^ { mu}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} ~ { frac { partial x ^ {j}} { partial X ^ { beta}}} , _ {(x)} Gamma _ {ij} ^ {m} }$

у нас есть

${ displaystyle { frac { partial F_ {~ alpha} ^ {m}} { partial X ^ { beta}}} = F_ {~ mu} ^ {m} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} qquad; ~~ F_ {~ alpha} ^ {i}: = { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { альфа}}}}$

Из теория конечных деформаций у нас также есть

${ displaystyle _ {(X)} Gamma _ { alpha beta gamma} = { frac {1} {2}} left ({ frac { partial g _ { alpha gamma}} { частичный X ^ { beta}}} + { frac { partial g _ { beta gamma}} { partial X ^ { alpha}}} - { frac { partial g _ { alpha beta}} { partial X ^ { gamma}}} right) ~; ~~ _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} = g ^ { nu gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta gamma} ~; ~~ g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta} ~; ~~ g ^ { alpha beta} = C ^ { alpha beta}}$

Следовательно,

${ displaystyle , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} = { cfrac {C ^ { mu gamma}} {2}} left ({ frac { partial C _ { alpha gamma}} { partial X ^ { beta}}} + { frac { partial C _ { beta gamma}} { partial X ^ { alpha}}} - { frac { partial C _ { alpha beta}} { partial X ^ { gamma}}} right)}$

и у нас есть

${ displaystyle { frac { partial F_ {~ alpha} ^ {m}} { partial X ^ { beta}}} = F_ {~ mu} ^ {m} ~ { cfrac {C ^ { mu gamma}} {2}} left ({ frac { partial C _ { alpha gamma}} { partial X ^ { beta}}} + { frac { partial C _ { beta gamma}} { partial X ^ { alpha}}} - { frac { partial C _ { alpha beta}} { partial X ^ { gamma}}} right)}$

Опять же, используя коммутативность порядка дифференцирования, имеем

${ displaystyle { frac { partial ^ {2} F_ {~ alpha} ^ {m}} { partial X ^ { beta} partial X ^ { rho}}} = { frac { partial ^ {2} F_ {~ alpha} ^ {m}} { partial X ^ { rho} partial X ^ { beta}}} подразумевает { frac { partial F_ {~ mu} ^ { m}} { partial X ^ { rho}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { partial} { partial X ^ { rho}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu}] = { frac { partial F_ {~ mu} ^ {m}} { partial X ^ { beta}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ { m} ~ { frac { partial} { partial X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu}]}$

или же

${ Displaystyle F_ {~ gamma} ^ {m} , _ {(X)} Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { partial} { partial X ^ { rho}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu}] = F_ {~ gamma} ^ {m} , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X )} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { partial} { partial X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu}]}$

После сбора терминов получаем

${ Displaystyle F_ {~ gamma} ^ {m} left (, _ {(X)} Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} + { frac { partial} { partial X ^ { rho}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma}] - , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} - { frac { partial} { partial X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { gamma}] right) = 0}$

Из определения ${ displaystyle F _ { gamma} ^ {m}}$ мы замечаем, что он обратим и, следовательно, не может быть нулевым. Следовательно,

${ Displaystyle R _ { альфа бета rho} ^ { gamma}: = { frac { partial} { partial X ^ { rho}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma}] - { frac { partial} { partial X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { gamma}] + , _ {(X)} Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} = 0}$

Мы можем показать, что это смешанные компоненты Тензор кривизны Римана-Кристоффеля. Следовательно, необходимые условия для ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$-совместимость заключаются в том, что кривизна деформации Римана-Кристоффеля равна нулю.

Достаточные условия

Доказательство достаточности немного сложнее.^[5][6] Начнем с предположения, что

${ Displaystyle R _ { alpha beta rho} ^ { gamma} = 0 ~; ~~ g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta}}$

Мы должны показать, что существуют ${ displaystyle mathbf {x}}$ и ${ displaystyle mathbf {X}}$ такой, что

${ displaystyle { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { beta}}} = C _ { alpha beta}}$

Из теоремы Т.Я. Томаса ^[7] мы знаем, что система уравнений

${ displaystyle { frac { partial F_ {~ alpha} ^ {i}} { partial X ^ { beta}}} = F_ {~ gamma} ^ {i} ~ , _ {(X) } Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma}}$

имеет уникальные решения ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ над односвязными доменами, если

${ Displaystyle _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma} = _ {(X)} Gamma _ { beta alpha} ^ { gamma} ~; ~~ R_ { альфа бета rho} ^ { gamma} = 0}$

Первый из них верен из определения ${ displaystyle Gamma _ {jk} ^ {i}}$ и предполагается второе. Следовательно, предполагаемое условие дает нам единственное ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ то есть ${ displaystyle C ^ {2}}$ непрерывный.

Далее рассмотрим систему уравнений

${ displaystyle { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} = F_ {~ alpha} ^ {i}}$

С ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ является ${ displaystyle C ^ {2}}$ и тело односвязно, есть какое-то решение ${ Displaystyle х ^ {я} (Х ^ { альфа})}$ к приведенным выше уравнениям. Мы можем показать, что ${ Displaystyle х ^ {я}}$ также удовлетворяют тому свойству, что

${ displaystyle det left | { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} right | neq 0}$

Также можно показать, что соотношение

${ displaystyle { frac { partial x ^ {i}} { partial X ^ { alpha}}} ~ g ^ { alpha beta} ~ { frac { partial x ^ {j}} { частичный X ^ { beta}}} = delta ^ {ij}}$

подразумевает, что

${ displaystyle g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta} = { frac { partial x ^ {k}} { partial X ^ { alpha}}} ~ { frac { partial x ^ {k}} { partial X ^ { beta}}}}$

Если сопоставить эти величины с тензорными полями, можно показать, что ${ displaystyle { frac { partial mathbf {x}} { partial mathbf {X}}}}$ обратима и построенное тензорное поле удовлетворяет выражению для ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$.

Смотрите также

• Условие совместимости Сен-Венана
• Линейная эластичность
• Деформация (механика)
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория конечных деформаций
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Криволинейные координаты

Рекомендации

внешняя ссылка

• Заметки Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica
• Пластичность по Я. Люблинеру, сек. 1.2.4 п. 35 год