Transseries - Википедия - Transseries

В математике поле ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ из логарифмически-экспоненциальные трансерии это неархимедов упорядоченный дифференциальное поле что расширяет сопоставимость асимптотический темпы роста элементарный нетригонометрические функции для гораздо более широкого класса объектов. Каждая транссерия log-exp представляет формальную асимптотику, и ею можно манипулировать формально, а также когда она сходится (или в каждом случае, если используется специальная семантика, например, через бесконечное сюрреалистические числа ), соответствует реальному поведению. Transseries также могут быть удобны для представления функций. Благодаря включению возведения в степень и логарифмов, transseries являются сильным обобщением степенного ряда на бесконечности ( ${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {x ^ {n}}}}$ ) и другие подобные асимптотические разложения.

Поле ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ был введен независимо Даном-Герингом^[1] и Ecalle^[2] в соответствующих контекстах теории моделей или экспоненциальных полей и изучения аналитической сингулярности и доказательства Экаллем гипотез Дюлака. Он представляет собой формальный объект, расширяющий поле экспоненциально-логарифмических функций Харди и поле ускорительно-суммируемых рядов Экалле.

Поле ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ имеет богатую структуру: упорядоченное поле с понятием обобщенных рядов и сумм, с совместимым выводом с выделенным первообразным, совместимыми экспоненциальными и логарифмическими функциями и понятием формальной композиции рядов.

Примеры и контрпримеры

Неформально говоря, транссерии exp-log хорошо обоснованный (т.е. в обратном порядке) формальный Серия Hahn реальных сил положительного бесконечного неопределенного ${ displaystyle x}$ , экспоненты, логарифмы и их композиции с действительными коэффициентами. Два важных дополнительных условия заключаются в том, что экспоненциальная и логарифмическая глубина транссерий exp-log ${ displaystyle f,}$ то есть максимальное количество итераций exp и log, происходящих в ${ displaystyle f,}$ должно быть конечным.

Следующие формальные серии являются транссериями log-exp:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {x ^ { frac {1} {n}}}} {n!}} + x ^ {3} + log x + log log x + sum _ {n = 0} ^ { infty} x ^ {- n} + sum _ {i = 1} ^ { infty} e ^ {- sum _ {j = 1} ^ { infty} e ^ {ix ^ {2} -jx}}.}

{ displaystyle sum _ {m, n in mathbb {N}} x ^ { frac {1} {m + 1}} e ^ {- ( log x) ^ {n}}.}

Следующие формальные серии: нет log-exp transseries:

{ Displaystyle сумма _ {п in mathbb {N}} х ^ {п}}

- этот сериал не обоснован.

{ Displaystyle журнал х + журнал журнал х + журнал журнал журнал х + cdots}

- логарифмическая глубина этого ряда бесконечна

{ displaystyle { frac {1} {2}} x + e ^ {{ frac {1} {2}} log x} + e ^ {e ^ {{ frac {1} {2}} журнал журнал x}} + cdots}

- экспоненциальная и логарифмическая глубины этого ряда бесконечны

Можно определить дифференциальные поля транссерий, содержащих две последние серии, они принадлежат соответственно ${ displaystyle mathbb {T} ^ {EL}}$ и ${ Displaystyle mathbb {R} langle langle omega rangle rangle}$ (см. параграф Использование сюрреалистических чисел ниже).

Вступление

Замечательный факт состоит в том, что асимптотические скорости роста элементарных нетригонометрических функций и даже всех функций, определяемых в теоретико-модельной структуре ${ Displaystyle ( mathbb {R}, +, раз, <, ехр)}$ упорядоченного экспоненциального поля действительных чисел все сопоставимы: Для всех таких ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ , у нас есть ${ displaystyle f leq _ { infty} g}$ или же ${ displaystyle g leq _ { infty} f}$ , куда ${ displaystyle f leq _ { infty} g}$ средства ${ Displaystyle существует x. forall y> x.f (y) leq g (y)}$ . Класс эквивалентности ${ displaystyle f}$ по отношению ${ displaystyle f leq _ { infty} g wedge g leq _ { infty} f}$ асимптотика ${ displaystyle f}$ , также называемый зародыш из ${ displaystyle f}$ (или зародыш из ${ displaystyle f}$ на бесконечности).

Поле транссерий можно интуитивно рассматривать как формальное обобщение этих темпов роста: в дополнение к элементарным операциям, транссерии закрываются "пределами" для соответствующих последовательностей с ограниченной экспоненциальной и логарифмической глубиной. Однако сложность состоит в том, что темпы роста неАрхимедов и, следовательно, не имеют свойство наименьшей верхней границы. Мы можем решить эту проблему, связав последовательность с наименьшей верхней границей минимальной сложности, аналогично построению сюрреалистических чисел. Например, ${ Displaystyle ( сумма _ {к = 0} ^ {п} х ^ {- к}) _ {п в mathbb {N}}}$ связан с ${ Displaystyle сумма _ {к = 0} ^ { infty} х ^ {- к}}$ скорее, чем ${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} x ^ {- k} -e ^ {- x}}$ потому что ${ displaystyle e ^ {- x}}$ распадается слишком быстро, и если мы отождествляем быстрое затухание со сложностью, оно будет иметь большую сложность, чем необходимо (также, поскольку мы заботимся только об асимптотическом поведении, точечная сходимость не диспозитивна).

Из-за сопоставимости транссерии не включают колебательные темпы роста (например, ${ Displaystyle грех х}$ ). С другой стороны, есть транссерии, такие как ${ displaystyle sum limits _ {k in mathbb {N}} k! e ^ {x ^ {- { frac {k} {k + 1}}}}}$ которые не соответствуют прямо сходящимся рядам или действительным функциям. Еще одно ограничение транссерий состоит в том, что каждая из них ограничена башней экспонент, т.е. конечной итерацией. ${ displaystyle e ^ {e ^ {. ^ {. ^ {. ^ {e ^ {x}}}}}}}$ из ${ displaystyle e ^ {x}}$ , тем самым исключая тетрация и другие трансэкспоненциальные функции, то есть функции, которые растут быстрее, чем любая башня экспонент. Существуют способы построения полей обобщенных транссерий, включая формальные транссекспоненциальные термины, например формальные решения. ${ displaystyle e _ { omega}}$ из Уравнение Абеля ${ Displaystyle е ^ {е _ { омега} (х)} = е _ { омега} (х + 1)}$ .^[3]

Формальное строительство

Транссерии могут быть определены как формальные (потенциально бесконечные) выражения с правилами, определяющими, какие выражения допустимы, сравнение транссерий, арифметические операции и даже дифференцирование. Соответствующие транссерии можно затем назначить соответствующим функциям или росткам, но есть тонкости, связанные с конвергенцией. Даже различающимся транссериям часто можно осмысленно (и однозначно) присвоить фактические темпы роста (которые согласуются с формальными операциями над транссериями), используя ускоренное суммирование, который является обобщением Суммирование по Борелю.

Транссерии можно формализовать несколькими эквивалентными способами; здесь мы используем один из самых простых.

А transseries это хорошо обоснованная сумма,

{ displaystyle sum a_ {i} m_ {i},}

с конечной экспоненциальной глубиной, где каждый ${ displaystyle a_ {i}}$ ненулевое действительное число и ${ displaystyle m_ {i}}$ является моническим трансмономом ( ${ displaystyle a_ {i} m_ {i}}$ является трансмономическим, но не моническим, если только коэффициент ${ displaystyle a_ {i} = 1}$ ; каждый ${ displaystyle m_ {i}}$ отличается; порядок слагаемых не имеет значения).

Сумма может быть бесконечной или трансфинитной; обычно пишется в порядке убывания ${ displaystyle m_ {i}}$ .

Здесь, хорошо обоснованный означает, что нет бесконечной восходящей последовательности ${ Displaystyle м_ {я_ {1}} <м_ {я_ {2}} <м_ {я_ {3}} < cdots}$ (видеть хороший порядок ).

А монический трансмономический один из 1, Икс, бревно Икс, журнал журнал Икс, ..., е^{purely_large_transseries}.

Примечание: Потому что

{ Displaystyle х ^ {п} = е ^ {п журнал х}}

, мы не включаем его как примитив, но многие авторы делают; без журнала transseries не включают

{ displaystyle log}

но

{ Displaystyle х ^ {п} е ^ { cdots}}

разрешено. Кроме того, исключается округлость в определении, потому что purely_large_transseries (см. Выше) будет иметь более низкую экспоненциальную глубину; определение работает путем рекурсии на экспоненциальной глубине. См. «Транссерии Log-exp как итерированный ряд Хана» (ниже), где описана конструкция, использующая

{ Displaystyle х ^ {а} е ^ { cdots}}

и явно разделяет разные этапы.

А чисто большие транссерии непустой транссериал ${ Displaystyle сумма а_ {я} м_ {я}}$ с каждым ${ displaystyle m_ {i}> 1}$ .

Transseries имеют конечная экспоненциальная глубина, где каждый уровень вложенности е или log увеличивает глубину на 1 (поэтому мы не можем Икс + журнал Икс + журнал журнал Икс + ...).

Добавление транссерий осуществляется посрочно: ${ displaystyle sum a_ {i} m_ {i} + sum b_ {i} m_ {i} = sum (a_ {i} + b_ {i}) m_ {i}}$ (отсутствие члена приравнивается к нулевому коэффициенту).

Сравнение:

Самый значительный срок ${ Displaystyle сумма а_ {я} м_ {я}}$ является ${ displaystyle a_ {i} m_ {i}}$ для крупнейших ${ displaystyle m_ {i}}$ (поскольку сумма хорошо обоснована, она существует для ненулевых транссерий). ${ Displaystyle сумма а_ {я} м_ {я}}$ положительна, если коэффициент при наиболее значимом члене положителен (поэтому выше мы использовали «чисто большой»). Икс > Y если только Икс − Y положительный.

Сравнение монических трансмономов:

{ displaystyle x = e ^ { log x}, log x = e ^ { log log x}, ldots}

- это единственные равенства в нашей конструкции.

{ displaystyle x> log x> log log x> cdots> 1> 0.}

{ displaystyle e ^ {a}

если только

{ displaystyle a

(также

{ displaystyle e ^ {0} = 1}

).

Умножение:

{ displaystyle e ^ {a} e ^ {b} = e ^ {a + b}}

{ displaystyle left ( sum a_ {i} x_ {i} right) left ( sum b_ {j} y_ {j} right) = sum _ {k} left ( sum _ {i , j ,: , z_ {k} = x_ {i} y_ {j}} a_ {i} b_ {j} right) z_ {k}.}

Это, по сути, применяет к продукту закон о распределении товаров; поскольку ряд хорошо обоснован, внутренняя сумма всегда конечна.

Дифференциация:

{ displaystyle left ( sum a_ {i} x_ {i} right) '= sum a_ {i} x_ {i}'}

{ displaystyle 1 '= 0, x' = 1}

{ Displaystyle (е ^ {у}) '= у'е ^ {у}}

{ Displaystyle ( журнал у) '= у' / у}

(деление определяется с помощью умножения).

С этими определениями transseries - это упорядоченное дифференциальное поле. Transseries также является ценное поле, с оценкой ${ displaystyle nu}$ задаваемый главным моническим трансмономом, и соответствующее асимптотическое соотношение, определенное для ${ displaystyle 0 neq f, g in mathbb {T} ^ {LE}}$ к ${ displaystyle f Prec g}$ если ${ displaystyle forall 0$ (куда ${ Displaystyle | е | = макс (е, -f)}$ - абсолютное значение).

Прочие конструкции

Log-exp transseries как итерированный ряд Хана

Безлоговые транссерии

Сначала определим подполе ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ из ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ так называемых безлоговые транссерии. Это транссерии, исключающие логарифмический член.

Индуктивное определение:

За ${ Displaystyle п в mathbb {N},}$ определим линейно упорядоченную мультипликативную группу мономы ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {n}}$ . Затем мы позволяем ${ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ обозначим поле хорошо обоснованный ряд ${ Displaystyle mathbb {R} [[{ mathfrak {M}} _ {n}]]}$ . Это набор карт ${ displaystyle mathbb {R} to { mathfrak {M}} _ {n}}$ с хорошо обоснованной (т.е. обратно упорядоченной) опорой, снабженной поточечной суммой и произведением Коши (см. Серия Hahn ). В ${ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ , выделим (неединичное) подкольцо ${ displaystyle mathbb {T} _ {n, succ} ^ {E}}$ из чисто большие транссерии, которые представляют собой ряды, носитель которых содержит только одночлены, лежащие строго над ${ displaystyle 1}$ .

Мы начинаем с

{ Displaystyle { mathfrak {M}} _ {0} = х ^ { mathbb {R}}}

оснащен продуктом

{ displaystyle x ^ {a} x ^ {b}: = x ^ {a + b}}

и порядок

{ Displaystyle х ^ {а} пре х ^ {б} leftrightarrow а <б}

.

Если

{ Displaystyle п в mathbb {N}}

таково, что

{ displaystyle { mathfrak {M}} _ {n}}

, и поэтому

{ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E}}

и

{ displaystyle mathbb {T} _ {n, succ} ^ {E}}

определены, пусть

{ displaystyle { mathfrak {M}} _ {n + 1}}

обозначают множество формальных выражений

{ Displaystyle х ^ {а} е ^ { тета}}

куда

{ Displaystyle а в mathbb {R}}

и

{ displaystyle theta in mathbb {T} _ {n, succ} ^ {E}}

. Это образует линейно упорядоченную коммутативную группу относительно произведения

{ Displaystyle (х ^ {а} е ^ { тета}) (х ^ {а '} е ^ { тета'}) = (х ^ {а + а '}) е ^ { тета + тета '}}

и лексикографический порядок

{ Displaystyle х ^ {а} е ^ { тета} пре х ^ {а '} е ^ { тета'}}

если и только если

{ Displaystyle тета < тета '}

или же (

{ Displaystyle theta = theta '}

и

{ Displaystyle а <а '}

).

Естественное включение ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {0}}$ в ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {1}}$ дан путем определения ${ Displaystyle х ^ {а}}$ и ${ Displaystyle х ^ {а} е ^ {0}}$ индуктивно обеспечивает естественное вложение ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {n}}$ в ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {n + 1}}$ , и, следовательно, естественное вложение ${ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ в ${ Displaystyle mathbb {T} _ {п + 1} ^ {E}}$ . Затем мы можем определить линейно упорядоченную коммутативную группу ${ Displaystyle { mathfrak {M}} = bigcup _ {п in mathbb {N}} { mathfrak {M}} _ {n}}$ и упорядоченное поле ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {E} = bigcup _ {п in mathbb {N}} mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ что является областью безлоговых транссерий.

Поле ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ собственное подполе поля ${ Displaystyle mathbb {R} [[{ mathfrak {M}}]]}$ хорошо обоснованных рядов с действительными коэффициентами и одночленами в ${ Displaystyle { mathfrak {M}}}$ . Действительно, каждая серия ${ displaystyle f}$ в ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ имеет ограниченную экспоненциальную глубину, то есть наименьшее положительное целое число ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle f in mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ , а серия

{ displaystyle e ^ {- x} + e ^ {- e ^ {x}} + e ^ {- e ^ {e ^ {x}}} + cdots in mathbb {R} [[{ mathfrak {M}}]]}

не имеет такой границы.

Возведение в степень ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ :

Поле транссерий без логарифмических данных оснащено экспоненциальной функцией, которая является специфическим морфизмом ${ displaystyle exp: ( mathbb {T} ^ {E}, +) to ( mathbb {T} ^ {E,>}, times)}$ . Позволять ${ displaystyle f}$ быть безлоговым транссерией и позволить ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ быть экспоненциальной глубиной ${ displaystyle f}$ , так ${ displaystyle f in mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ . Написать ${ displaystyle f}$ как сумма ${ Displaystyle е = тета + г + varepsilon}$ в ${ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E},}$ куда ${ displaystyle theta in mathbb {T} _ {n, succ} ^ {E}}$ , ${ displaystyle r}$ это реальное число и ${ displaystyle varepsilon}$ бесконечно малая (любая из них может быть равна нулю). Тогда формальная сумма Хана

{ displaystyle E ( varepsilon): = sum _ {k in mathbb {N}} { frac { varepsilon ^ {k}} {k!}}}

сходится в ${ displaystyle mathbb {T} _ {n} ^ {E}}$ , и мы определяем ${ Displaystyle ехр (е) = е ^ { тета} ехр (г) Е ( varepsilon) in mathbb {T} _ {п + 1} ^ {E}}$ куда ${ Displaystyle ехр (г)}$ - значение действительной экспоненциальной функции при ${ displaystyle r}$ .

Правильная композиция с ${ displaystyle e ^ {x}}$ :

Правильная композиция ${ Displaystyle circ _ {е ^ {х}}}$ с серией ${ displaystyle e ^ {x}}$ индукцией по экспоненциальной глубине можно определить как

{ displaystyle left ( sum f _ { mathfrak {m}} { mathfrak {m}} right) circ e ^ {x}: = sum f _ { mathfrak {m}} ({ mathfrak { m}} circ e ^ {x}),}

с ${ displaystyle x ^ {r} circ e ^ {x}: = e ^ {rx}}$ . Индуктивно следует, что одночлены сохраняются ${ displaystyle circ _ {е ^ {x}},}$ поэтому на каждом шаге индукции суммы хорошо обоснованы и, следовательно, хорошо определены.

Log-exp transseries

Определение:

Функция ${ displaystyle exp}$ определено выше не на ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E,>}}$ поэтому логарифм определен только частично на ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ : например сериал ${ displaystyle x}$ не имеет логарифма. Более того, каждая положительная бесконечная безлогарифмическая транс-серия больше некоторой положительной степени ${ displaystyle x}$ . Чтобы переехать из ${ displaystyle mathbb {T} ^ {E}}$ к ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ , можно просто "вставить" в переменную ${ displaystyle x}$ формальных повторных логарифмов серий ${ displaystyle ell _ {n}, п in mathbb {N}}$ который будет вести себя как формальный аналог ${ displaystyle n}$ -кратный повторный экспоненциальный член, обозначаемый ${ displaystyle e_ {n}}$ .

За ${ displaystyle m, n in mathbb {N},}$ позволять ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {m, n}}$ обозначают множество формальных выражений ${ displaystyle { mathfrak {u}} circ ell _ {n}}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {u}} in { mathfrak {M}} _ {m}}$ . Мы превращаем это в упорядоченную группу, определяя ${ displaystyle ({ mathfrak {u}} circ ell _ {n}) ({ mathfrak {v}} circ ell _ {n} (x)): = ({ mathfrak {u}} { mathfrak {v}}) circ ell _ {n}}$ , и определение ${ Displaystyle { mathfrak {u}} circ ell _ {n} Prec { mathfrak {v}} circ ell _ {n}}$ когда ${ Displaystyle { mathfrak {u}} Pre { mathfrak {v}}}$ . Мы определяем ${ displaystyle mathbb {T} _ {m, n} ^ {LE}: = mathbb {R} [[{ mathfrak {M}} _ {m, n}]]}$ . Если ${ displaystyle n '> n}$ и ${ Displaystyle м ' geq м + (п'-п),}$ мы встраиваем ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {m, n}}$ в ${ displaystyle { mathfrak {M}} _ {m ', n'}}$ путем идентификации элемента ${ displaystyle { mathfrak {u}} circ ell _ {n}}$ со сроком

{ displaystyle left ({ mathfrak {u}} circ overbrace {e ^ {x} circ cdots circ e ^ {x}} ^ {n'-n} right) circ ell _ {n '}.}

Тогда получаем ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ как направленный союз

{ displaystyle mathbb {T} ^ {LE} = bigcup _ {m, n in mathbb {N}} mathbb {T} _ {m, n} ^ {LE}.}

На ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE},}$ правильная композиция ${ displaystyle circ _ { ell}}$ с ${ displaystyle ell}$ естественно определяется

{ displaystyle mathbb {T} _ {m, n} ^ {LE} ni left ( sum f _ {{ mathfrak {m}} circ ell _ {n}} { mathfrak {m}} circ ell _ {n} right) circ ell: = sum f _ {{ mathfrak {m}} circ ell _ {n}} { mathfrak {m}} circ ell _ { n + 1} in mathbb {T} _ {m, n + 1} ^ {LE}.}

Экспонента и логарифм:

Возведение в степень можно определить на ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ аналогично безлоговым транссериям, но и здесь ${ displaystyle exp}$ имеет ответный ${ displaystyle log}$ на ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE,>}}$ . Действительно, для строго положительного ряда ${ displaystyle f in mathbb {T} _ {m, n} ^ {LE,>}}$ , записывать ${ displaystyle f = { mathfrak {m}} r (1+ varepsilon)}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ является доминирующим мономом ${ displaystyle f}$ (самый большой элемент его опоры), ${ displaystyle r}$ - соответствующий положительный действительный коэффициент, а ${ displaystyle varepsilon: = { frac {f} {{ mathfrak {m}} r}} - 1}$ бесконечно мала. Формальная сумма Хана

{ Displaystyle L (1+ varepsilon): = sum _ {k in mathbb {N}} { frac {(- varepsilon) ^ {k}} {k + 1}}}

сходится в ${ displaystyle mathbb {T} _ {m, n} ^ {LE}}$ . Написать ${ Displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {u}} circ ell _ {n}}$ куда ${ displaystyle { mathfrak {u}} in { mathfrak {M}} _ {m}}$ сам имеет форму ${ Displaystyle { mathfrak {u}} = х ^ {а} е ^ { тета}}$ куда ${ displaystyle theta in mathbb {T} _ {m, succ} ^ {E}}$ и ${ Displaystyle а в mathbb {R}}$ . Мы определяем ${ displaystyle ell ({ mathfrak {m}}): = a ell _ {n + 1} + theta circ ell _ {n}}$ . Мы наконец установили

{ displaystyle log (f): = ell ({ mathfrak {m}}) + log (c) + L (1+ varepsilon) in mathbb {T} _ {m, n + 1} ^ {LE}.}

Использование сюрреалистических чисел

Прямое строительство log-exp transseries

Также можно определить поле транссерий log-exp как подполе упорядоченного поля ${ displaystyle mathbf {Нет}}$ сюрреалистических чисел.^[4] Поле ${ displaystyle mathbf {Нет}}$ оснащен экспоненциальной и логарифмической функциями Гоншора-Крускала^[5] и с его естественной структурой поля рядов с хорошей базой при нормальной форме Конвея.^[6]

Определять ${ Displaystyle F_ {0} ^ {LE} = mathbb {R} ( omega)}$ , подполе ${ displaystyle mathbf {Нет}}$ создано ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и простейшее положительное бесконечное сюрреалистическое число ${ displaystyle omega}$ (что естественно соответствует порядковому ${ displaystyle omega}$ , и как транссексуалы к сериалу ${ displaystyle x}$ ). Тогда для ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ , определять ${ displaystyle F_ {n + 1} ^ {LE}}$ как поле, созданное ${ displaystyle F_ {n} ^ {LE}}$ , экспоненты элементов ${ displaystyle F_ {n} ^ {LE}}$ и логарифмы строго положительных элементов ${ displaystyle F_ {n} ^ {LE}}$ , а также суммы (Хана) суммируемых семейств в ${ displaystyle F_ {n} ^ {LE}}$ . Союз ${ displaystyle F _ { omega} ^ {LE} = bigcup _ {n in mathbb {N}} F_ {n} ^ {LE}}$ естественно изоморфен ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ . На самом деле существует единственный такой изоморфизм, который отправляет ${ displaystyle omega}$ к ${ displaystyle x}$ и коммутирует с возведением в степень и суммами суммируемых семейств в ${ displaystyle F _ { omega} ^ {LE}}$ лежа в ${ displaystyle F _ { omega}}$ .

Другие области транссерий

Продолжая этот процесс трансфинитной индукцией по ${ displaystyle mathbf {Ord}}$ вне ${ displaystyle F _ { omega} ^ {LE}}$ , беря объединения в предельных порядковых числах, мы получаем поле подходящего размера класса ${ Displaystyle mathbb {R} langle langle omega rangle rangle}$ канонически снабжены производным и сочинение расширение ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ (видеть Операции на транссериях ниже).

Если вместо ${ displaystyle F_ {0} ^ {LE}}$ начинается с подполя ${ Displaystyle F_ {0} ^ {EL}: = mathbb {R} ( omega, log omega, log log omega, ldots)}$ создано ${ Displaystyle mathbb {R}}$ и все конечные итерации ${ displaystyle log}$ в ${ displaystyle omega}$ , и для ${ displaystyle n in mathbb {N}, F_ {n + 1} ^ {EL}}$ подполе, порожденное ${ displaystyle F_ {n} ^ {EL}}$ , экспоненты элементов ${ displaystyle F_ {n} ^ {EL}}$ и суммы суммируемых семейств в ${ displaystyle F_ {n} ^ {EL}}$ , то получается изоморфная копия поля ${ displaystyle mathbb {T} ^ {EL}}$ из экспоненциально-логарифмические транссерии, который является собственным продолжением ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ оснащен полной экспоненциальной функцией.^[7]

Происхождение Берардуччи-Мантуи^[8] на ${ displaystyle mathbf {Нет}}$ совпадает на ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ с его естественным происхождением, и является уникальным, чтобы удовлетворять соотношениям совместимости с экспоненциальной упорядоченной структурой поля и структурой поля обобщенной серии ${ displaystyle mathbb {T} ^ {EL}}$ и ${ displaystyle mathbb {R} langle langle omega rangle rangle.}$

Вопреки ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE},}$ вывод в ${ displaystyle mathbb {T} ^ {EL}}$ и ${ Displaystyle mathbb {R} langle langle omega rangle rangle}$ не сюръективен: например, серия

{ displaystyle { frac {1} { omega log omega log log omega cdots}}: = exp (- ( log omega + log log omega + log log журнал omega + cdots)) in mathbb {T} ^ {EL}}

не имеет первообразной в ${ displaystyle mathbb {T} ^ {EL}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {R} langle langle omega rangle rangle}$ (это связано с тем, что эти поля не содержат транссекспоненциальной функции).

Дополнительные свойства

Операции на транссериях

Операции над дифференциальным экспоненциальным упорядоченным полем

Транссерии обладают очень сильными закрывающими свойствами, и многие операции могут быть определены в транссериях:

Log-exp transseries образуют экспоненциально замкнутое упорядоченное поле: экспоненциальная и логарифмическая функции суммируются. Например:

{ displaystyle exp (x ^ {- 1}) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} x ^ {- n} quad { text { и}} quad log (x + ell) = ell + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(x ^ {- 1} ell) ^ {n}} {n +1}}.}

Логарифм определяется для положительных аргументов.
Log-exp transseries являются реально закрытый.
Интеграция: каждая транзакция log-exp ${ displaystyle f}$ имеет единственную первообразную с нулевым постоянным членом ${ Displaystyle F in mathbb {T} ^ {LE}}$ , ${ displaystyle F '= f}$ и ${ displaystyle F_ {1} = 0}$ .
Логарифмическая первообразная: для ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE}}$ , есть ${ displaystyle h in mathbb {T} ^ {LE}}$ с ${ displaystyle f '= fh'}$ .

Примечание 1. Последние два свойства означают, что ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ является Лиувиль закрыт.

Заметка 2. Как и элементарная нетригонометрическая функция, каждая положительная бесконечная транссерия ${ displaystyle f}$ имеет целочисленную экспоненциальность даже в этом сильном смысле:

{ displaystyle exists k, n in mathbb {N}: quad ell _ {n-k} -1 leq ell _ {n} circ f leq ell _ {n-k} +1.}

Номер ${ displaystyle k}$ уникален, он называется экспоненциальность из ${ displaystyle f}$ .

Состав транссерий

Оригинальное свойство ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ в том, что он допускает композицию ${ displaystyle circ: mathbb {T} ^ {LE} times mathbb {T} ^ {LE,>, succ} to mathbb {T} ^ {LE}}$ (куда ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ является набором положительных бесконечных транссерий log-exp), который позволяет нам видеть каждую транссерию log-exp ${ displaystyle f}$ как функция на ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ . Неформально говоря, для ${ displaystyle g in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ и ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE}}$ , сериал ${ displaystyle f circ g}$ получается заменой каждого вхождения переменной ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle f}$ к ${ displaystyle g}$ .

Характеристики

Ассоциативность: для ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE}}$ и ${ displaystyle g, h in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ , у нас есть ${ displaystyle g circ h in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ и ${ Displaystyle е сирк (г сирк ч) = (е сирк г) сирк ч}$ .
Совместимость правых композиций: Для ${ displaystyle g in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ , функция ${ displaystyle circ _ {g}: f mapsto f circ g}$ является полевым автоморфизмом ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ который коммутирует с формальными суммами, отправляет ${ displaystyle x}$ на ${ displaystyle g}$ , ${ displaystyle e ^ {x}}$ на ${ Displaystyle ехр (г)}$ и ${ displaystyle ell}$ на ${ Displaystyle журнал (г)}$ . У нас также есть ${ displaystyle circ _ {x} = operatorname {id} _ { mathbb {T} ^ {LE}}}$ .
Уникальность: уникальная композиция удовлетворяет двум предыдущим свойствам.
Монотонность: для ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE}}$ , функция ${ displaystyle g mapsto f circ g}$ постоянна или строго монотонна на ${ Displaystyle mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ . Однообразие зависит от знака ${ displaystyle f '}$ .
Цепное правило: для ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE} times}$ и ${ displaystyle g in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ , у нас есть ${ Displaystyle (е circ g) '= g'f' circ g}$ .
Функциональная инверсия: для ${ displaystyle g in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ , есть уникальная серия ${ displaystyle h in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ с ${ Displaystyle г CIRC H = H CIRC G = X}$ .
Расширения Тейлора: каждая транссерия log-exp ${ displaystyle f}$ имеет расширение Тейлора вокруг каждой точки в том смысле, что для каждой ${ displaystyle g in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ и для достаточно малых ${ displaystyle varepsilon in mathbb {T} ^ {LE}}$ , у нас есть

{ displaystyle f circ (g + varepsilon) = sum _ {k in mathbb {N}} { frac {f ^ {(k)} circ g} {k!}} varepsilon ^ {k }}

где сумма является формальной суммой Хана суммируемого семейства.

Дробная итерация: для ${ displaystyle f in mathbb {T} ^ {LE,>, succ}}$ с экспоненциальностью ${ displaystyle 0}$ и любое реальное число ${ displaystyle a}$ , дробная итерация ${ displaystyle f ^ {a}}$ из ${ displaystyle f}$ определено.^[9]

Разрешимость и теория моделей

Теория дифференциального упорядоченного дифференциального поля

В ${ Displaystyle влево langle +, раз, partial, <, Prec right rangle}$ теория ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ является разрешимый и может быть аксиоматизирована следующим образом (это теорема 2.2 Ашенбреннера и др.):

${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ является упорядоченнозначным дифференциальным полем.
${ displaystyle f> 0 клин f succ 1 Longrightarrow f '> 0}$
${ displaystyle f ' prec 1 Longrightarrow f prec 1}$
${ Displaystyle forall е существует g: quad g '= f}$
${ Displaystyle forall f существует h: quad h '= fh}$
Недвижимость средней стоимости (IVP):

{ Displaystyle P (f) <0 клин P (g)> 0 Longrightarrow существует h: quad P (h) = 0,}

куда п является дифференциальным многочленом, т. е. многочленом от

{ displaystyle f, f ', f' ', ldots, f ^ {(k)}.}

В этой теории возведение в степень по существу определяется для функций (с использованием дифференцирования), но не констант; фактически, каждое определимое подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ является полуалгебраический.

Теория упорядоченного экспоненциального поля

В ${ Displaystyle langle +, раз, ехр, < rangle}$ теория ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ это экспоненциальное действительное упорядоченное экспоненциальное поле ${ Displaystyle ( mathbb {R}, +, раз, ехр, <)}$ , который модель завершена к Теорема Уилки.

Харди поля

${ displaystyle mathbb {T} _ { mathrm {as}}}$ - поле ускоренно-суммируемых транссерий, и, используя ускоренное суммирование, мы имеем соответствующие Харди поле, которое, как предполагается, является максимальным полем Харди, соответствующим подполю поля ${ displaystyle mathbb {T}}$ . (Эта гипотеза неформальна, поскольку мы не определили, какие изоморфизмы полей Харди в дифференциальные подполя ${ displaystyle mathbb {T}}$ разрешены.) ${ displaystyle mathbb {T} _ { mathrm {as}}}$ предполагается, что удовлетворяет указанным выше аксиомам ${ displaystyle mathbb {T}}$ . Не определяя ускоренное суммирование, отметим, что, когда операции над сходящимися транс-рядами производят расходящийся, в то время как те же операции над соответствующими ростками производят действительный росток, мы можем затем связать расходящиеся транс-серии с этим ростком.

Сказано поле Харди максимальный если он правильно не содержится ни в одном из полей Харди. По применению леммы Цорна каждое поле Харди содержится в максимальном поле Харди. Предполагается, что все максимальные поля Харди элементарно эквивалентны как дифференциальные поля и действительно имеют ту же теорию первого порядка, что и ${ displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ .^[10] Логарифмические транссерии сами по себе не соответствуют максимальному полю Харди, поскольку не каждая транссерия соответствует действительной функции, а максимальные поля Харди всегда содержат транссекспоненциальные функции.^[11]