Модель полная теория - Model complete theory

В теория моделей, а первый заказ теория называется модель завершена если каждое вложение его моделей является элементарное вложение. Эквивалентно, каждая формула первого порядка эквивалентна универсальной формуле. Это понятие было введено Авраам Робинсон.

Сопутствующая модель и завершение модели

А товарищ теории Т это теория Т* так, что каждая модель Т может быть встроен в модель Т* наоборот.

А модель компаньона теории Т товарищ Т то есть модель завершена. Робинсон доказал, что у теории есть не более одного модельного компаньона. Не всякая теория совместима с моделью, например теория групп. Однако если ${displaystyle T}$ является ${displaystyle aleph _ {0}}$ -категориальная теория, то у него всегда есть модельный компаньон ^[1]^[2].

А завершение модели для теории Т модельный компаньон Т* такое, что для любой модели M из Т, теория Т* вместе с диаграмма из M завершено. Грубо говоря, это означает, что каждая модель Т встраивается в модель Т* уникальным способом.

Если Т* модельный компаньон Т то следующие условия эквивалентны^[3]:

Т* является модельным дополнением Т
Т имеет имущество слияния.

Если Т также имеет универсальную аксиоматизацию, оба из вышеперечисленных также эквивалентны:

Т* имеет устранение кванторов

Примеры

Любая теория с устранение кванторов модель завершена.
Теория алгебраически замкнутые поля является модельным завершением теории полей. Это полная модель, но не полная.
Модельное завершение теории отношения эквивалентности является теорией отношений эквивалентности с бесконечным числом классов эквивалентности.
Теория настоящие закрытые поля, на языке заказанные кольца, является модельным завершением теории упорядоченные поля (или даже заказал домены ).
Теория вещественных замкнутых полей на языке кольца, является модельным спутником теории формально реальные поля, но не является доработкой модели.

Не примеры

Теория плотных линейных порядков с первым и последним элементами завершена, но модель не завершена.
Теория группы (на языке с символами идентичности, продукта и инверсии) обладает свойством объединения, но не имеет сопутствующей модели.

Достаточное условие полноты модельно-полных теорий

Если Т это модель полной теории и есть модель Т который встраивается в любую модель Т, тогда Т завершено.^[4]

Примечания

^ Д. Сарачино. Модели компаньонов для ℵ₀-Категориальные теории. Труды Американского математического общества Vol. 39, № 3 (август 1973 г.), стр. 591–598
^ Х. Симмонс. Большие и малые экзистенциально замкнутые структуры. J. Symb. Бревно. 41 (2): 379–390 (1976).
^ Chang, C.C .; Кейслер, Х. Джером (2012). Модельная теория (Третье издание). Dover Publications. С. 672 стр.
^ Дэвид Маркер (2002). Теория моделей: введение. Springer-Verlag New York.