Квадратурная формула Кавальериса - Википедия - Cavalieris quadrature formula

Квадратурная формула Кавальери вычисляет площадь под кубическая кривая вместе с другими высшими силами.

В исчисление, Квадратурная формула Кавальери, названный в честь итальянского математика 17 века Бонавентура Кавальери, это интеграл

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {n} , dx = { tfrac {1} {n + 1}} , a ^ {n + 1} qquad n geq 0, }$

и их обобщения. Это определенный интеграл форма; то неопределенный интеграл форма:

${ displaystyle int x ^ {n} , dx = { tfrac {1} {n + 1}} , x ^ {n + 1} + C qquad n neq -1.}$

Есть дополнительные формы, перечислено ниже. Вместе с линейность интеграла, эта формула позволяет вычислить интегралы от всех многочленов.

Период, термин "квадратура "- традиционный термин для площадь; интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой у = Икс^п. Традиционно важными делами являются у = Икс², квадратура парабола, известный в древности, и у = 1/Икс, квадратура гиперболы, значение которой логарифм.

Формы

Отрицательный п

Для отрицательных значений п (отрицательные силы Икс), Существует необычность в Икс = 0, и, таким образом, определенный интеграл основан на 1, а не на 0, что дает:

${ displaystyle int _ {1} ^ {a} x ^ {n} , dx = { frac {1} {n + 1}} (a ^ {n + 1} -1) qquad n neq -1.}$

Далее, для отрицательных дробных (нецелых) значений п, сила Икс^п не является четко определенный, следовательно, неопределенный интеграл определен только для положительных Икс. Однако для п отрицательное целое число Икс^п определено для всех ненулевых Икс, и неопределенные интегралы и определенные интегралы определены, и могут быть вычислены с помощью аргумента симметрии, заменяя Икс автор -Икс, и основывая отрицательно определенный интеграл на −1.

По комплексным числам определенный интеграл (при отрицательных значениях п и Икс) можно определить через контурная интеграция, но тогда зависит от выбора пути, в частности номер намотки - геометрическая проблема в том, что функция определяет покрывающее пространство с особенностью 0.

п = −1

Есть также исключительный случай п = −1, что дает логарифм вместо силыИкс:

${ displaystyle int _ {1} ^ {a} { frac {1} {x}} , dx = ln a,}$

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = ln x + C, qquad x> 0}$

(где "ln" означает натуральный логарифм, т.е. логарифм по основанию е  = 2.71828...).

Несобственный интеграл часто расширяется до отрицательных значений Икс с помощью обычного выбора:

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = ln | x | + C, qquad x neq 0.}$

Обратите внимание на использование абсолютная величина в неопределенном интеграле; это должно обеспечить унифицированную форму для интеграла и означает, что интеграл этой нечетной функции является четной функцией, хотя логарифм определен только для положительных входных значений и, фактически, различных постоянных значений C можно выбрать по обе стороны от 0, поскольку они не изменяют производную. Таким образом, более общая форма:^[1]

${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx = { begin {cases} ln | x | + C ^ {-} & x <0 ln | x | + C ^ { +} & x> 0 end {case}}}$

Над комплексными числами нет глобальной первообразной для 1 /Икс, поскольку эта функция определяет нетривиальную покрывающее пространство; эта форма предназначена для действительных чисел.

Обратите внимание, что определенный интеграл, начиная с 1, не определен для отрицательных значений а, поскольку он проходит через особенность, хотя поскольку 1 /Икс является нечетная функция, можно основать определенный интеграл для отрицательных степеней при −1. Если кто-то хочет использовать несобственные интегралы и вычислить Главное значение Коши, получается ${ displaystyle int _ {- c} ^ {c} { frac {1} {x}} , dx = 0,}$ что также может быть обосновано симметрией (поскольку логарифм нечетный), поэтому ${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { frac {1} {x}} , dx = 0,}$ так что не имеет значения, основан ли определенный интеграл на 1 или −1. Как и в случае с неопределенным интегралом, это относится к действительным числам и не распространяется на комплексные числа.

Альтернативные формы

Интеграл также можно записать со смещенными индексами, что упрощает результат и делает связь с п-мерная дифференциация и п-куб яснее:

${ displaystyle int _ {0} ^ {a} x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} a ^ {n} qquad n geq 1.}$

${ displaystyle int x ^ {n-1} , dx = { tfrac {1} {n}} x ^ {n} + C qquad n neq 0.}$

В более общем виде эти формулы могут быть представлены как:

${ displaystyle int (ax + b) ^ {n} dx = { frac {(ax + b) ^ {n + 1}} {a (n + 1)}} + C qquad { mbox {( for}} n neq -1 { mbox {)}} , !}$

${ displaystyle int { frac {1} {ax + b}} dx = { frac {1} {a}} ln left | ax + b right | + C}$

В более общем смысле:

${ displaystyle int { frac {1} {ax + b}} , dx = { begin {cases} { frac {1} {a}} ln left | ax + b right | + C ^ {-} & x <-b / a { frac {1} {a}} ln left | ax + b right | + C ^ {+} & x> -b / a end {case} }}$

Доказательство

Современное доказательство заключается в использовании первообразной: производной от Икс^п показано как nx^п−1 - для целых неотрицательных чисел. Это видно из биномиальная формула и определение производной - и таким образом основная теорема исчисления то первообразный - интеграл. Этот метод не подходит для ${ displaystyle int { frac {1} {x}} , dx,}$ как кандидат первообразная ${ displaystyle { frac {1} {0}} cdot x ^ {0}}$, которая не определена из-за деления на ноль. В логарифм функция, которая является фактической первообразной 1 /Икс, должны быть представлены и рассмотрены отдельно.

Производная ${ Displaystyle (х ^ {п}) '= пх ^ {п-1}}$ можно геометризировать как бесконечно малое изменение объема п-куб, который является площадью п лица, каждое из измерений п − 1.
Интегрирование этой картины - складывание граней - геометризует основную теорему исчисления, давая разложение п-куб в п пирамиды, что является геометрическим доказательством квадратурной формулы Кавальери.

Для положительных целых чисел это доказательство можно геометризировать:^[2] если учесть количество Икс^п как объем п-куб ( гиперкуб в п размеры), то производная - это изменение объема при изменении длины стороны - это Икс^п−1, которую можно интерпретировать как площадь п лица, каждое из измерений п - 1 (фиксируя одну вершину в начале координат, это п грани, не соприкасающиеся с вершиной), что соответствует увеличению размера куба за счет роста в направлении этих граней - в трехмерном случае добавление 3 бесконечно тонких квадратов, по одному на каждую из этих граней. И наоборот, геометризируя основную теорему исчисления, складывая эти бесконечно малые (п - 1) кубики дают (гипер) -пирамиду, а п этих пирамид образуют п-куб, который дает формулу. Далее, есть п-кратная циклическая симметрия п-куб по диагонали, вращающий эти пирамиды (для которых пирамида является фундаментальная область ). В случае с кубом (3-кубом) объем пирамиды изначально был строго установлен так: куб имеет 3-кратную симметрию, с фундаментальной областью пирамиды, разделяющей куб на 3 пирамиды, что соответствует факту что объем пирамиды равен одной трети основания, умноженной на высоту. Это геометрически иллюстрирует эквивалентность квадратуры параболы и объема пирамиды, которые классически вычислялись разными способами.

Существуют альтернативные доказательства - например, Ферма вычислил площадь с помощью алгебраического трюка разделения области на определенные интервалы неравной длины;^[3] в качестве альтернативы, можно доказать это, распознав симметрию графа у = Икс^п при неоднородном расширении (по d в Икс направление и d^п в у направление, алгебраизируя п размеры у направление),^[4] или вывести формулу для всех целочисленных значений, расширив результат для п = −1 и сравнивая коэффициенты.^[5]

История

Архимед вычислил площадь параболических сегментов в своем Квадратура параболы.

Подробное обсуждение истории с первоисточниками дано в (Лаубенбахер и Пенгелли 1998, Глава 3, Анализ: Расчет площадей и объемов) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLaubenbacherPengelley1998 (помощь); смотрите также история исчисления и история интеграции.

Случай с параболой был доказан еще в древности древнегреческим математиком. Архимед в его Квадратура параболы (3 век до н.э.), через метод истощения. Следует отметить, что Архимед вычислил площадь внутри парабола - так называемый "параболический сегмент" - а не площадь под графиком у = Икс², что вместо точки зрения Декартова геометрия. Это эквивалентные вычисления, но отражают разницу в перспективе. Древние греки, среди прочих, также вычисляли объем пирамида или же конус, что математически эквивалентно.

В 11 веке Исламский математик Ибн аль-Хайсам (известный как Альхазен в Европе) вычислили интегралы от кубики и квартика (третья и четвертая степень) через математическая индукция, в его Книга оптики.^[6]

Случай более высоких целых чисел был вычислен Кавальери для п до 9, используя его метод неделимых (Принцип Кавальери ).^[7] Он интерпретировал их как высшие интегралы как вычисление многомерных объемов, хотя и неофициально, поскольку многомерные объекты были еще незнакомы.^[8] Затем этот метод квадратуры расширил итальянский математик. Евангелиста Торричелли к другим кривым, таким как циклоида, затем формула была обобщена на дробные и отрицательные степени английским математиком Джон Уоллис, в его Arithmetica Infinitorum (1656), который также стандартизировал понятие и обозначение рациональных сил - хотя Уоллис неверно истолковал исключительный случай п = −1 (квадратура гиперболы) - прежде, чем окончательно подвергнуться строгому обоснованию с развитием интегральное исчисление.

До формализации Уоллисом дробных и отрицательных степеней, которые позволяли явный функции ${ Displaystyle у = х ^ {р / д},}$ эти кривые обрабатывались неявно, через уравнения ${ displaystyle x ^ {p} = ky ^ {q}}$ и ${ displaystyle x ^ {p} y ^ {q} = k}$ (п и q всегда положительные целые числа) и называются соответственно высшие параболы и высшие гиперболы (или «высшие параболы» и «высшие гиперболы»). Пьер де Ферма также вычислил эти площади (за исключением исключительного случая -1) с помощью алгебраического трюка - он вычислил квадратуру высших гипербол, разделив прямую на равные интервалы, а затем вычислил квадратуру высших парабол, используя деление на неравный интервалы, по-видимому, путем инвертирования делений, которые он использовал для гипербол.^[9] Однако, как и в остальной части его работы, техники Ферма были скорее специальными приемами, чем систематическими методами лечения, и он не считается, что он сыграл значительную роль в последующем развитии исчисления.

Следует отметить, что Кавальери сравнивал площади только с площадями, а объемы с объемами - у них всегда есть размеры, в то время как понятие рассмотрения области как состоящей из единицы площади (относительно стандартной единицы), следовательно, без единицы измерения, по-видимому, возникла у Уоллиса;^[10][11] Уоллис изучал дробные и отрицательные степени, и альтернативой трактовке вычисленных значений как безразмерных чисел была интерпретация дробных и отрицательных измерений.

Исключительный случай −1 (стандартная гипербола) впервые был успешно обработан Грегуар де Сент-Винсент в его Опус геометрическая квадратурная циркуляция и секция кони (1647), хотя формальная обработка должна была дождаться развития натуральный логарифм, что было выполнено Николас Меркатор в его Логарифмотехния (1668).

Рекомендации

История

Доказательства

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратурная формула Кавальери". MathWorld.
• Cavalieri интеграции
• Д. Дж. Струик, Справочник по математике, 1200-1800 гг., п. 214