Непрерывная функция в никуда - Nowhere continuous function
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Сентябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, а нигде непрерывная функция, также называемый всюду разрывная функция, это функция это не непрерывный в любой точке своего домен. Если ж это функция от действительные числа к действительным числам, тогда ж нигде не является непрерывным, если для каждой точки Икс существует ε > 0 так что для каждого δ > 0 мы можем найти точку у такой, что 0 < |Икс − у| < δ и |ж(Икс) − ж(у)| ≥ ε. Следовательно, независимо от того, насколько близко мы подходим к любой фиксированной точке, есть еще более близкие точки, в которых функция принимает не-близкие значения.
Более общие определения этого вида функций можно получить, заменив абсолютная величина функцией расстояния в метрическое пространство, или используя определение непрерывности в топологическое пространство.
Функция Дирихле
Одним из примеров такой функции является индикаторная функция из рациональное число, также известный как Функция Дирихле. Эта функция обозначается как яQ или же 1Q и имеет домен и codomain оба равны действительные числа. яQ(Икс) равно 1, если Икс это Рациональное число и 0, если Икс не рационально.
В более общем смысле, если E любое подмножество топологическое пространство Икс так что оба E и дополнение E плотно в Икс, то действительная функция, которая принимает значение 1 на E и 0 в дополнении E не будет нигде непрерывным. Функции этого типа были первоначально исследованы Питер Густав Лежен Дирихле.[1]
Гиперреальная характеристика
Настоящая функция ж нигде не является непрерывным, если его естественный гиперреальный расширение обладает тем свойством, что каждый Икс бесконечно близка к у такая, что разница ж(Икс) − ж(у) заметно (т. е. не бесконечно малый ).
Смотрите также
- Теорема Блумберга - даже если настоящая функция ж : ℝ → ℝ нигде не непрерывно, существует плотное подмножество D такое, что ограничение ж к D непрерывно.
- Функция Тома (также известная как функция попкорна) - функция, которая непрерывна для всех иррациональных чисел и прерывна для всех рациональных чисел.
- Функция Вейерштрасса - функция непрерывный везде (внутри своей области) и дифференцируемый нигде.
Рекомендации
- ^ Лежен Дирихле, Питер Густав (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction artemar entre des limites données". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 4: 157–169.