Распространенные и застенчивые наборы - Prevalent and shy sets

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, понятия распространенность и застенчивость являются понятиями "почти всюду " и "измерять ноль "которые хорошо подходят для изучения бесконечный -размерный пробелы и использовать переводно-инвариантный Мера Лебега на конечномерных вещественных пространствах. Термин «застенчивый» был предложен Американец математик Джон Милнор.

Определения

Распространенность и застенчивость

Позволять V быть настоящий топологическое векторное пространство и разреши S быть Измеримый по Борелю подмножество из V. S как говорят преобладающий если существует конечномерное подпространство п из V, называется набор датчиков, так что для всех v ∈ V у нас есть v + п ∈ S за λ_п-почти все п ∈ п, куда λ_п обозначает тусклый (п) -мерная мера Лебега на п. Другими словами, для каждого v ∈ V, Лебег - почти каждая точка гиперплоскость v + п лежит в S.

Неборелевское подмножество V считается преобладающим, если он содержит преобладающее борелевское подмножество.

Борелевское подмножество V как говорят застенчивый если это дополнять преобладает; неборелевское подмножество V считается застенчивым, если он содержится в застенчивом борелевском подмножестве.

Альтернативным и немного более общим определением является определение множества S стесняться, если существует поперечная мера за S (кроме тривиальная мера ).

Местная распространенность и застенчивость

Подмножество S из V как говорят локально застенчивый если каждая точка v ∈ V имеет район N_v чей пересечение с S застенчивый набор. S как говорят местно распространенный если его дополнение локально застенчиво.

Теоремы о распространенности и застенчивости

• Если S стесняется, то и каждое подмножество S и каждый перевод S.
• Каждый застенчивый набор Бореля S допускает конечную трансверсальную меру, имеющую компактный поддерживать. Причем эту меру можно выбрать так, чтобы ее носитель имел сколь угодно малую диаметр.
• Любое конечное или счетный союз застенчивых наборов тоже стесняется.
• Любой застенчивый набор тоже местный застенчивый. Если V это отделяемое пространство, то каждое локально застенчивое подмножество V тоже застенчива.
• Подмножество S из п-размерный Евклидово пространство р^п застенчивый если и только если он имеет нулевую меру Лебега.
• Любое преобладающее подмножество S из V является плотный в V.
• Если V бесконечномерно, то каждое компактное подмножество V застенчивый.

В дальнейшем «почти каждый» будет означать, что указанное свойство выполняется для преобладающего подмножества рассматриваемого пространства.

• Почти каждый непрерывная функция от интервал [0, 1] в реальная линия р является нигде не дифференцируемый; здесь пространство V является C([0, 1]; р) с топологией, индуцированной верхняя норма.
• Практически каждая функция ж в L^п Космос L¹([0, 1]; р) обладает тем свойством, что

${displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x), mathrm {d} xeq 0.}$

Ясно, что то же свойство имеет место для пространств k-раз дифференцируемые функции C^k([0, 1]; р).

• Для 1 <п ≤ + ∞, почти каждая последовательность а = (а_п)_п∈N в ℓ^п обладает тем свойством, что ряд

${displaystyle sum _ {nin mathbb {N}} a_ {n}}$

расходится.

• Распространенная версия Теорема вложения Уитни: Позволять M быть компактным многообразие класса C¹ и размер d содержалась в р^п. Для 1 ≤k ≤ + ∞, почти каждый C^k функция ж : р^п → р^2d+1 является встраивание из M.
• Если А компактное подмножество р^п с Измерение Хаусдорфа d, м ≥ d, и 1 ≤k ≤ + ∞, то почти для каждого C^k функция ж : р^п → р^м, ж(А) также имеет размерность Хаусдорфа d.
• Для 1 ≤k ≤ + ∞, почти каждый C^k функция ж : р^п → р^п обладает тем свойством, что все его периодические точки гиперболические. В частности, это справедливо для всего периода п очков, для любого целого числа п.

Рекомендации

• Хант, Брайан Р. (1994). «Преобладание непрерывных нигде не дифференцируемых функций». Proc. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 122 (3): 711–717. Дои:10.2307/2160745. JSTOR  2160745.
• Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный« почти каждый »на бесконечномерных пространствах». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 27 (2): 217–238. arXiv:математика / 9210220. Дои:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)