Метрическая производная - Metric derivative

В математика, то метрическая производная это понятие производная подходит для параметризованный пути в метрические пространства. Он обобщает понятие «скорость» или «абсолютная скорость» на пространства, которые имеют понятие расстояния (т. Е. Метрические пространства), но не направления (например, векторные пространства ).

Определение

Позволять ${displaystyle (M, d)}$ - метрическое пространство. Позволять ${displaystyle Esubseteq mathbb {R}}$ есть предельная точка в ${displaystyle tin mathbb {R}}$. Позволять ${displaystyle gamma: E o M}$ быть путем. Затем метрическая производная из ${displaystyle gamma}$ в ${displaystyle t}$, обозначенный ${displaystyle | gamma '| (t)}$, определяется

${displaystyle | gamma '| (t): = lim _ {s o 0} {frac {d (gamma (t + s), gamma (t))} {| s |}},}$

если это предел существуют.

Характеристики

Напомним, что AC^п(я; Икс) это пространство кривых γ : я → Икс такой, что

${displaystyle dleft (gamma (s), gamma (t) ight) leq int _ {s} ^ {t} m (au), mathrm {d} au {mbox {for all}} [s, t] substteq I}$

для некоторых м в L^п Космос L^п(я; р). За γ ∈ AC^п(я; Икс), метрическая производная от γ существует для Лебег -почти все раз в я, а метрическая производная - наименьшее м ∈ L^п(я; р) такое, что выполняется указанное выше неравенство.

Если Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ снабжен своей обычной евклидовой нормой ${displaystyle | - |}$, и ${displaystyle {dot {gamma}}: E o V ^ {*}}$ это обычный Производная Фреше по времени, то

${displaystyle | gamma '| (t) = | {точка {gamma}} (t) |,}$

куда ${displaystyle d (x, y): = | x-y |}$ - евклидова метрика.

Рекомендации

• Амбросио, Л., Джильи, Н. и Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. п. 24. ISBN  3-7643-2428-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)