Неравенство Несбитца - Википедия - Nesbitts inequality

В математика, Несбитта неравенство утверждает, что для положительных действительных чисел а, б и c,

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}

Это элементарный частный случай (N = 3) сложной и много изученной Неравенство Шапиро, и был опубликован по крайней мере 50 лет назад.

Соответствующей верхней границы нет, так как любую из трех дробей в неравенстве можно сделать сколь угодно большой.

Доказательство

Первое доказательство: неравенство AM-HM

Посредством ЯВЛЯЮСЬ -HM неравенство на ${ Displaystyle (а + б), (б + с), (с + а)}$ ,

{ displaystyle { frac {(a + b) + (a + c) + (b + c)} {3}} geq { frac {3} { displaystyle { frac {1} {a + b }} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {b + c}}}}.}

Расчетные знаменатели дает

{ displaystyle ((a + b) + (a + c) + (b + c)) left ({ frac {1} {a + b}} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {b + c}} right) geq 9,}

откуда получаем

{ displaystyle 2 { frac {a + b + c} {b + c}} + 2 { frac {a + b + c} {a + c}} + 2 { frac {a + b + c} {a + b}} geq 9}

путем расширения продукта и сбора подобных знаменателей. Затем это упрощается до конечного результата.

Второе доказательство: перестановка

Предполагать ${ Displaystyle а geq b geq c}$ у нас есть это

{ displaystyle { frac {1} {b + c}} geq { frac {1} {a + c}} geq { frac {1} {a + b}}}

определять

{ Displaystyle { vec {x}} = (а, б, в)}

{ displaystyle { vec {y}} = left ({ frac {1} {b + c}}, { frac {1} {a + c}}, { frac {1} {a + b }}верно)}

Скалярное произведение двух последовательностей максимально из-за перестановочное неравенство если они устроены одинаково, звоните ${ displaystyle { vec {y}} _ {1}}$ и ${ displaystyle { vec {y}} _ {2}}$ вектор ${ displaystyle { vec {y}}}$ сдвинутые на один и два, имеем:

{ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}} geq { vec {x}} cdot { vec {y}} _ {1}}

{ displaystyle { vec {x}} cdot { vec {y}} geq { vec {x}} cdot { vec {y}} _ {2}}

Сложение дает желаемое неравенство Несбитта.

Третье доказательство: сумма квадратов

Следующая идентичность верна для всех ${ displaystyle a, b, c:}$

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} = { frac {3} {2 }} + { frac {1} {2}} left ({ frac {(ab) ^ {2}} {(a + c) (b + c)}} + { frac {(ac) ^ {2}} {(a + b) (b + c)}} + { frac {(bc) ^ {2}} {(a + b) (a + c)}} right)}

Это наглядно доказывает, что левая сторона не меньше ${ displaystyle { frac {3} {2}}}$ для положительных a, b и c.

Примечание: каждое рациональное неравенство может быть продемонстрировано преобразованием его в соответствующее тождество суммы квадратов, см. Семнадцатая проблема Гильберта.

Четвертое доказательство: Коши – Шварца.

Обращение к Неравенство Коши – Шварца на векторах ${ displaystyle displaystyle left langle { sqrt {a + b}}, { sqrt {b + c}}, { sqrt {c + a}} right rangle, left langle { frac {1} { sqrt {a + b}}}, { frac {1} { sqrt {b + c}}}, { frac {1} { sqrt {c + a}}} right rangle}$ дает

{ displaystyle ((b + c) + (a + c) + (a + b)) ​​left ({ frac {1} {b + c}} + { frac {1} {a + c}} + { frac {1} {a + b}} right) geq 9,}

который можно преобразовать в конечный результат, как мы это делали в доказательство AM-HM.

Пятое доказательство: AM-GM

Позволять ${ displaystyle x = a + b, y = b + c, z = c + a}$ . Затем мы применяем AM-GM неравенство получить следующие

{ displaystyle { frac {x + z} {y}} + { frac {y + z} {x}} + { frac {x + y} {z}} geq 6.}

потому что ${ displaystyle { frac {x} {y}} + { frac {z} {y}} + { frac {y} {x}} + { frac {z} {x}} + { frac {x} {z}} + { frac {y} {z}} geq 6 { sqrt [{6}] {{ frac {x} {y}} cdot { frac {z} {y }} cdot { frac {y} {x}} cdot { frac {z} {x}} cdot { frac {x} {z}} cdot { frac {y} {z}} }} = 6.}$

Подставляя ${ displaystyle x, y, z}$ в пользу ${ displaystyle a, b, c}$ дает

{ displaystyle { frac {2a + b + c} {b + c}} + { frac {a + b + 2c} {a + b}} + { frac {a + 2b + c} {c + а}} geq 6}

{ displaystyle { frac {2a} {b + c}} + { frac {2c} {a + b}} + { frac {2b} {a + c}} + 3 geq 6}

который затем упрощается до конечного результата.

Шестое доказательство: лемма Титу

Лемма Титу, прямое следствие Неравенство Коши – Шварца, утверждает, что для любой последовательности ${ displaystyle n}$ действительные числа ${ displaystyle (x_ {k})}$ и любая последовательность ${ displaystyle n}$ положительные числа ${ displaystyle (a_ {k})}$ , ${ displaystyle displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {x_ {k} ^ {2}} {a_ {k}}} geq { frac {( sum _ {k = 1} ^ {n} x_ {k}) ^ {2}} { sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}}}$ . Мы используем его трехчленный экземпляр с ${ displaystyle x}$ -последовательность ${ displaystyle a, b, c}$ и ${ displaystyle a}$ -последовательность ${ Displaystyle а (Ь + с), Ь (с + а), с (а + Ь)}$ :

{ displaystyle { frac {a ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (c + a)}} + { frac {c ^ { 2}} {c (a + b)}} geq { frac {(a + b + c) ^ {2}} {a (b + c) + b (c + a) + c (a + b )}}}

Умножая все произведения на меньшую сторону и собирая одинаковые слагаемые, мы получаем

{ displaystyle { frac {a ^ {2}} {a (b + c)}} + { frac {b ^ {2}} {b (c + a)}} + { frac {c ^ { 2}} {c (a + b)}} geq { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} +2 (ab + bc + ca)} {2 (ab + bc + ca)}},}

что упрощает

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {a ^ { 2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {2 (ab + bc + ca)}} + 1.}

Посредством перестановочное неравенство, у нас есть ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq ab + bc + ca}$ , поэтому дробь в меньшей части должна быть не менее ${ displaystyle displaystyle { frac {1} {2}}}$ . Таким образом,

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}

Седьмое доказательство: однородность

Поскольку левая часть неравенства однородна, можно считать ${ displaystyle a + b + c = 1}$ . Теперь определим ${ displaystyle x = a + b}$ , ${ displaystyle y = b + c}$ , и ${ Displaystyle г = с + а}$ . Искомое неравенство превращается в ${ displaystyle { frac {1-x} {x}} + { frac {1-y} {y}} + { frac {1-z} {z}} geq { frac {3} { 2}}}$ , или, что то же самое, ${ displaystyle { frac {1} {x}} + { frac {1} {y}} + { frac {1} {z}} geq 9/2}$ . Это явно верно по лемме Титу.

Восьмое доказательство: неравенство Дженсена

Определять ${ Displaystyle S = а + Ь + с}$ и рассмотрим функцию ${ displaystyle f (x) = { frac {x} {S-x}}}$ . Можно показать, что эта функция является выпуклой в ${ displaystyle [0, S]}$ и, ссылаясь на Неравенство Дженсена, мы получили

{ displaystyle displaystyle { frac {{ frac {a} {Sa}} + { frac {b} {Sb}} + { frac {c} {Sc}}} {3}} geq { гидроразрыв {S / 3} {SS / 3}}.}

Прямое вычисление дает

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {c + a}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}}.}

Девятое доказательство: сведение к неравенству с двумя переменными

Очистив знаменатели,

{ displaystyle { frac {a} {b + c}} + { frac {b} {a + c}} + { frac {c} {a + b}} geq { frac {3} { 2}} iff 2 (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}) geq ab ^ {2} + a ^ {2} b + ac ^ {2} + a ^ {2 } c + bc ^ {2} + b ^ {2} c.}

Теперь достаточно доказать, что ${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} geq xy ^ {2} + x ^ {2} y}$ за ${ Displaystyle (х, у) в mathbb {R} _ {+} ^ {2}}$ , суммируя это три раза для ${ Displaystyle (х, у) = (а, Ь), (а, с),}$ и ${ displaystyle (b, c)}$ завершает доказательство.