Теорема Бернсайдса - Википедия - Burnsides theorem

Уильям Бернсайд.

В математика, Теорема Бернсайда в теория групп заявляет, что если грамм это конечная группа из порядок ${ displaystyle p ^ {a} q ^ {b}}$ куда п и q находятся простые числа, и а и б находятся неотрицательный целые числа, тогда грамм является разрешимый. Следовательно, каждый неабелев конечная простая группа имеет порядок, делящийся как минимум на три различных простых числа.

История

Теорема была доказана Уильям Бернсайд (1904 ) с использованием теория представлений конечных групп. Несколько частных случаев этого ранее было доказано Бернсайдом, Джорданом и Фробениусом. Джон Томпсон указал, что доказательство, избегающее использования теории представлений, может быть извлечено из его работы по теореме о N-группах, и это было сделано явно с помощью Гольдшмидт (1970) для групп нечетного порядка и по Бендер (1972) для групп четного порядка. Мацуяма (1973) упростил доказательства.

Доказательство

Это доказательство противоречие. Позволять п^аq^б - наименьшее произведение двух степеней простого числа, такое что существует неразрешимая группа грамм чей порядок равен этому числу.

грамм это простая группа с тривиальным центр и а не равно нулю.

Если грамм имел нетривиальный правильный нормальная подгруппа ЧАС, то (в силу минимальности грамм), ЧАС и грамм/ЧАС было бы разрешимо, поэтому грамм также, что противоречило бы нашему предположению. Так грамм это просто.

Если а были нулевыми, грамм было бы конечным q-группа, следовательно нильпотентный, а значит, и разрешима.

По аналогии, грамм не может быть абелевым, иначе он был бы нильпотентным. В качестве грамм прост, поэтому его центр должен быть тривиальным.

Есть элемент грамм из грамм у которого есть q^d конъюгирует, для некоторых d > 0.

По первому утверждению Теорема Силова, грамм имеет подгруппа S порядка п^а. Потому что S нетривиальный п-группа, ее центр Z(S) нетривиально. Исправить нетривиальный элемент ${ Displaystyle г в Z (S)}$ . Количество конъюгатов грамм равен индексу своего подгруппа стабилизатора грамм_грамм, который разделяет индекс q^б из S (потому что S является подгруппой грамм_грамм). Следовательно, это число имеет вид q^d. Кроме того, целое число d строго положительно, так как грамм нетривиален и, следовательно, не является центральным в грамм.

Существует нетривиальная неприводимое представление ρ с персонаж χ, такая, что его размерность п не делится на q и комплексное число χ(грамм) не равно нулю.

Позволять (χ_я)_{1 ≤ я ≤ час} - семейство неприводимых характеров грамм над ℂ (здесь χ₁ обозначает тривиальный характер). Потому что грамм не принадлежит к тому же классу сопряженности, что и 1, то отношение ортогональности для столбцов группы таблица символов дает:

{ displaystyle 0 = sum _ {i = 1} ^ {h} chi _ {i} (1) chi _ {i} (g) = 1 + sum _ {i = 2} ^ {h} chi _ {i} (1) chi _ {i} (g).}

Теперь χ_я(грамм) находятся алгебраические целые числа, потому что они представляют собой суммы корни единства. Если все нетривиальные неприводимые характеры, не исчезающие при грамм принять значение, кратное q в 1, мы заключаем, что

{ displaystyle - { frac {1} {q}} = sum _ {i geq 2, ~ chi _ {i} (g) neq 0} { frac { chi _ {i} (1 )} {q}} chi _ {i} (g)}

является целым алгебраическим числом (поскольку представляет собой сумму кратных целых алгебраических чисел), что абсурдно. Это доказывает утверждение.

Комплексное число q^dχ(грамм)/п является целым алгебраическим числом.

Множество целочисленных функции класса на грамм, Z(ℤ [грамм]), это коммутативное кольцо, конечно порожденный над ℤ. Таким образом, все его элементы целы над, в частности отображение ты который принимает значение 1 в классе сопряженности g и 0 в другом месте.

Отображение ${ Displaystyle A: Z ( mathbb {Z} [G]) rightarrow OperatorName {End} ( mathbb {C} ^ {n})}$ который отправляет функцию класса ж к

{ Displaystyle сумма _ {s in G} f (s) rho (s)}

является гомоморфизмом колец. Потому что ρ(s)⁻¹А(ты)ρ(s) = А(ты) для всех s, Из леммы Шура следует, что А(ты) это гомотетия λI_п. Его след nλ равно

{ Displaystyle sum _ {s in G} е (ы) чи (ы) = q ^ {d} чи (г).}

Потому что гомотетия λI_п - гомоморфный образ целого элемента, это доказывает, что комплексное число λ = q^dχ(грамм)/п является целым алгебраическим числом.

Комплексное число χ(грамм)/п является целым алгебраическим числом.

С q относительно проста с п, к Личность Безу есть два целых числа Икс и у такой, что:

{ displaystyle xq ^ {d} + yn = 1 quad { text {следовательно}} quad { frac { chi (g)} {n}} = x { frac {q ^ {d} chi (g)} {n}} + y chi (g).}

Поскольку линейная комбинация с целыми коэффициентами алгебраических целых чисел снова является алгебраическим целым числом, это доказывает утверждение.

Образ грамм, по представлению ρ, является гомотетией.

Позволять ζ быть комплексным числом χ(грамм)/п. Это целое алгебраическое число, поэтому его норма N(ζ) (то есть продукт его конъюгирует, то есть корни его минимальный многочлен над ℚ) - ненулевое целое. Сейчас же ζ - среднее значение корней из единицы (собственные значения ρ(грамм)), следовательно, и его сопряженные элементы, поэтому все они имеют абсолютное значение, меньшее или равное 1. Поскольку абсолютное значение их произведения N(ζ) больше или равно 1, их абсолютное значение должно быть 1, в частности ζ, что означает, что собственные значения ρ(грамм) все равны, поэтому ρ(грамм) является гомотетией.

Вывод

Позволять N быть ядром ρ. Гомотетия ρ(грамм) является центральным в Im (ρ) (который канонически изоморфен грамм/N), в то время как грамм не является центральным в грамм. Следовательно, нормальная подгруппа N простой группы грамм нетривиально, поэтому он равен грамм, что противоречит тому, что ρ - нетривиальное представление.

Это противоречие доказывает теорему.

Теорема Бернсайдса - Википедия - Burnsides theorem

История

Доказательство

Рекомендации