Проблема Бернсайда - Burnside problem

Алгебраическая структура → Теория групп
Теория групп
Циклическая группа.svg

В Проблема Бернсайда, поставленный Уильям Бернсайд в 1902 году и один из старейших и самых влиятельных вопросов в теория групп, спрашивает, есть ли конечно порожденная группа в котором каждый элемент имеет конечное порядок обязательно должен быть конечная группа. Евгений Голод и Игорь Шафаревич привел контрпример в 1964 году. У проблемы много вариантов (см. ограниченный и ограниченный ниже), которые отличаются дополнительными условиями, накладываемыми на порядки элементов группы.

Краткая история

Первоначальная работа указала на утвердительный ответ. Например, если группа грамм конечно порождена и порядок каждого элемента грамм делитель 4, то грамм конечно. Более того, Кострикин А.И. смог доказать в 1958 г., что среди конечных групп с данным числом образующих и данным простым показателем существует наибольшая. Это дает решение для ограниченная проблема Бернсайда для случая простого показателя. (Позже, в 1989 г., Ефим Зельманов смог решить ограниченную проблему Бернсайда для произвольного показателя степени.) Иссай Шур в 1911 г. показал, что любая конечно порожденная периодическая группа, являющаяся подгруппой группы обратимых п × п комплексные матрицы были конечными; он использовал эту теорему, чтобы доказать Теорема Жордана – Шура.[1]

Тем не менее общий ответ на проблему Бернсайда оказался отрицательным. В 1964 году Голод и Шафаревич построили бесконечную группу типа Бернсайда, не предполагая, что все элементы имеют равномерно ограниченный порядок. В 1968 г. Петр Новиков и Сергей Адян предоставил отрицательное решение проблемы ограниченного показателя для всех нечетных показателей больше 4381. В 1982 г. А.Ю. Ольшанский нашли поразительные контрпримеры для достаточно больших нечетных показателей (больше 1010) и дал значительно более простое доказательство, основанное на геометрических идеях.

Дело даже с показателями оказалось сложнее уладить. В 1992 г. С. В. Иванов объявил отрицательное решение для достаточно больших четных показателей, кратных большой степени двойки (подробные доказательства были опубликованы в 1994 г. и заняли около 300 страниц). Позднее совместная работа Ольшанского и Иванова установила отрицательное решение аналога проблемы Бернсайда для гиперболические группы, если показатель достаточно большой. Напротив, когда показатель небольшой и отличается от 2, 3, 4 и 6, известно очень мало.

Общая проблема Бернсайда

Группа грамм называется периодический если каждый элемент имеет конечный порядок; другими словами, для каждого грамм в грамм, существует некоторое положительное целое число п такой, что граммп = 1. Ясно, что каждая конечная группа периодична. Существуют легко определяемые группы, такие как п∞-группа которые являются бесконечными периодическими группами; но последняя группа не может быть конечно порожденной.

Общая проблема Бернсайда. Если грамм конечно порожденная периодическая группа, то грамм обязательно конечно?

На этот вопрос в 1964 г. ответил отрицательно. Евгений Голод и Игорь Шафаревич, который привел пример бесконечного п-группа конечно порожденный (см. Теорема Голода – Шафаревича. ). Однако порядки элементов этой группы не априори ограниченный единственной константой.

Ограниченная проблема Бернсайда

В Граф Кэли 27-элементной свободной группы Бернсайда ранга 2 и экспоненты 3.

Отчасти сложность общей проблемы Бернсайда состоит в том, что требования конечной порождаемости и периодичности дают очень мало информации о возможной структуре группы. Поэтому мы предъявляем больше требований к грамм. Рассмотрим периодическую группу грамм с дополнительным свойством, что существует наименьшее целое число п такой, что для всех грамм в грамм, граммп = 1. Группа с этим свойством называется периодическая с ограниченным показателем п, или просто группа с показателем п. Задача Бернсайда для групп с ограниченным показателем:

Проблема Бернсайда. Если грамм конечно порожденная группа с показателем п, является грамм обязательно конечно?

Оказывается, эту проблему можно переформулировать как вопрос о конечности групп в конкретной семье. В бесплатно Burnside group ранга м и экспонента п, обозначим B (м, п), является группой с м выдающиеся генераторы Икс1, ..., Иксм в котором личность Иксп = 1 выполняется для всех элементов Икс, и которая является «самой большой» группой, удовлетворяющей этим требованиям. Точнее, характеристическое свойство B (м, п) состоит в том, что для любой группы грамм с м генераторы грамм1, ..., граммм и экспоненты п, существует единственный гомоморфизм из B (м, п) к грамм что отображает яй генератор Икся из B (м, п) в яй генератор граммя из грамм. На языке групповые презентации, свободная группа Бернсайда B (м, п) имеет м генераторы Икс1, ..., Иксм и отношения Иксп = 1 для каждого слова Икс в Икс1, ..., Иксм, и любая группа грамм с м генераторы экспоненты п получается из него наложением дополнительных соотношений. Существование свободной бернсайдовой группы и ее единственность с точностью до изоморфизма устанавливаются стандартными методами теории групп. Таким образом, если грамм - любая конечно порожденная группа экспоненты п, тогда грамм это гомоморфный образ из B (м, п), куда м количество генераторов грамм. Теперь проблему Бернсайда можно сформулировать следующим образом:

Проблема Бернсайда II. Для каких положительных целых чисел м, п свободная бернсайдовская группа B (м, п) конечно?

Полное решение проблемы Бернсайда в таком виде неизвестно. Бернсайд рассмотрел несколько простых случаев в своей оригинальной статье:

Известны следующие дополнительные результаты (Бернсайд, Санов, М. Холл ):

  • B (м, 3), В (м, 4) и B (м, 6) конечны для всех м.

Частный случай B (2, 5) остается открытым: по состоянию на 2005 г. не было известно, конечна ли эта группа.

Прорыв в решении проблемы Бернсайда был достигнут благодаря Петр Новиков и Сергей Адян в 1968 году. Используя сложный комбинаторный аргумент, они показали, что для каждого странный номер п с п > 4381, существуют бесконечные конечно порожденные группы экспоненты п. Позже Адиан улучшил оценку нечетной экспоненты до 665.[2] Случай четной экспоненты оказался значительно сложнее. И только в 1994 году Сергею Васильевичу Иванову удалось доказать аналог теоремы Новикова – Адяна: для любого м > 1 и даже п ≥ 248, п делится на 29, группа B (м, п) бесконечно; вместе с теоремой Новикова – Адяна это влечет бесконечность для всех м > 1 и п ≥ 248. Это было улучшено в 1996 г. И. Г. Лысёнком до м > 1 и п ≥ 8000. Новиков – Адян, Иванов и Лысенок получили значительно более точные результаты о строении свободных бернсайдовских групп. В случае нечетной экспоненты все конечные подгруппы свободных бернсайдовских групп оказались циклическими группами. В случае четной экспоненты каждая конечная подгруппа содержится в произведении двух диэдральные группы, и существуют нециклические конечные подгруппы. Более того, слово и спаривание показано, что задачи эффективно разрешимы в B (м, п) как для нечетных, так и для четных показателей п.

Знаменитый класс контрпримеров к проблеме Бернсайда составляют конечно порожденные нециклические бесконечные группы, в которых каждая нетривиальная собственная подгруппа является конечной циклическая группа, так называемой Тарские монстры. Первые примеры таких групп были построены А.Ю. Ольшанский в 1979 году геометрическими методами, положительно решив О.Ю. Проблема Шмидта. В 1982 г. Ольшанский смог усилить свои результаты и установить существование для любого достаточно большого простое число п (можно взять п > 1075) конечно порожденной бесконечной группы, в которой каждая нетривиальная собственная подгруппа является циклическая группа порядка п. В статье, опубликованной в 1996 г., Иванов и Ольшанский решили аналог проблемы Бернсайда в произвольной гиперболическая группа для достаточно больших показателей.

Ограниченная проблема Бернсайда

Сформулированный в 1930-х годах, он задает другой, связанный с этим вопрос:

Ограниченная проблема Бернсайда. Если известно, что группа грамм с м генераторы и экспонента п конечно, можно заключить, что порядок грамм ограничено некоторой константой, зависящей только от м и п? Эквивалентно, есть только конечное число конечный группы с м генераторы экспоненты п, вплоть до изоморфизм ?

Этот вариант проблемы Бернсайда можно также сформулировать в терминах некоторых универсальных групп с м генераторы и экспонента п. По основным результатам теории групп пересечение двух подгрупп конечных индекс в любой группе сама является подгруппой конечного индекса. Позволять M - пересечение всех подгрупп свободной бернсайдовской группы B (м, п) с конечным индексом, то M это нормальная подгруппа из B (м, п) (иначе существует подгруппа грамм−1Mg с конечным индексом, содержащим элементы, не входящие в M). Таким образом, можно определить группу B0(м, п) как фактор-группу B (м, п)/M. Каждая конечная группа экспоненты п с м генераторы - гомоморфный образ B0(м, пЗатем ограниченная проблема Бернсайда спрашивает, действительно ли B0(м, п) - конечная группа.

В случае простого показателя п, эта проблема была подробно изучена Кострикин А.И. в 1950-е годы, до отрицательного решения общей проблемы Бернсайда. Его решение, устанавливающее конечность B0(м, п), использовал отношение с глубокими вопросами об идентичности в Алгебры Ли в конечной характеристике. Случай произвольной экспоненты был полностью разрешен положительно. Ефим Зельманов, который был награжден Медаль Филдса в 1994 году за его работу.

Примечания

  1. ^ Ключевой шаг - убедиться, что личности а2 = б2 = (ab)2 = 1 вместе означают, что ab = ба, так что свободная бернсайдовская группа экспоненты два обязательно абелевский.

Рекомендации

  1. ^ Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962). Теория представлений конечных групп и ассоциированных алгебр. Джон Вили и сыновья. С. 256–262.
  2. ^ Джон Бриттон предложил почти 300-страничное альтернативное доказательство проблемы Бернсайда в 1973 году; однако Адян в конечном итоге указал на недостаток в этом доказательстве.

Библиография

внешняя ссылка