Бесконечное целое число - Profinite integer

В математика, а проконечное целое число является элементом звенеть (иногда произносится как zee-hat или zed-hat)

${ displaystyle { widehat { mathbb {Z}}} = varprojlim mathbb {Z} / n mathbb {Z} = prod _ {p} mathbb {Z} _ {p}}$

куда

${ Displaystyle varprojlim mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$

указывает на бесконечное завершение из ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ , индекс ${ displaystyle p}$ проходит через все простые числа, и ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ кольцо п-адические целые числа. Эта группа важна из-за ее отношения к Теория Галуа, Этальная теория гомотопии, и кольцо Адель. Кроме того, он представляет собой простой послушный пример проконечной группы.

Строительство и отношения

Конкретно проконечные целые числа будут набором последовательностей ${ displaystyle upsilon}$ такой, что ${ Displaystyle upsilon (п) в mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ и ${ Displaystyle м | п подразумевает ипсилон (м) эквив ипсилон (п) { bmod {м}}}$ . Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом. Если последовательность целых чисел сходится по модулю п для каждого п тогда предел будет существовать как бесконечное целое число. Есть вложение целые числа в кольцо проконечных целых чисел, так как существует каноническая инъекция

{ Displaystyle mathbb {Z} hookrightarrow { widehat { mathbb {Z}}}}

куда

{ displaystyle n mapsto (n { bmod {1}}, n { bmod {2}}, dots).}

Топологические свойства

Множество проконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой это компактный Пространство Хаусдорфа, исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного произведения

${ displaystyle { hat { mathbb {Z}}} subset prod _ {n} mathbb {Z} / n mathbb {Z}}$

который компактен с топологией продукта Теорема Тихонова. Обратите внимание на топологию каждой конечной группы ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ дается как дискретная топология. Поскольку сложение проконечных целых чисел непрерывно, ${ displaystyle { widehat { mathbb {Z}}}}$ является компактной хаусдорфовой абелевой группой, поэтому ее Понтрягин дуальный должна быть дискретной абелевой группой. Фактически двойственный по Понтрягину ${ displaystyle { widehat { mathbb {Z}}}}$ дискретная абелева группа ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z}}$ . Этот факт демонстрирует спаривание

${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z} times { widehat { mathbb {Z}}} к U (1), , (q, a) mapsto chi (qa)}$ ^[1]

куда ${ displaystyle chi}$ это персонаж ${ displaystyle mathbf {A} _ { mathbb {Q}, f}}$ индуцированный ${ Displaystyle mathbb {Q} / mathbb {Z} к U (1), , alpha mapsto e ^ {2 pi i alpha}}$ .^[2]

Отношения с аделями

Тензорное произведение ${ displaystyle { widehat { mathbb {Z}}} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {Q}}$ это кольцо конечных аделей

${ displaystyle mathbf {A} _ { mathbb {Q}, f} = prod _ {p} {} ^ {'} mathbb {Q} _ {p}}$

из ${ displaystyle mathbb {Q}}$ где символ ${ displaystyle '}$ средства ограниченный продукт^[3]. Есть изоморфизм

${ displaystyle mathbf {A} _ { mathbb {Q}} cong mathbb {R} times ({ hat { mathbb {Z}}} otimes _ { mathbb {Z}} mathbb { Q})}$

Приложения в теории Галуа и этальной теории гомотопий

Для алгебраическое замыкание ${ displaystyle { overline { mathbf {F}}} _ {q}}$ из конечное поле ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ порядка q, группу Галуа можно вычислить явно. От факта ${ displaystyle { text {Gal}} ( mathbf {F} _ {q ^ {n}} / mathbf {F} _ {q}) cong mathbb {Z} / n mathbb {Z}}$ где автоморфизмы задаются Эндоморфизм Фробениуса, группа Галуа алгебраического замыкания ${ displaystyle mathbf {F} _ {q}}$ дается обратным пределом групп ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$ , поэтому ее группа Галуа изоморфна группе проконечных целых чисел^[4]

${ displaystyle operatorname {Gal} ({ overline { mathbf {F}}} _ {q} / mathbf {F} _ {q}) cong { widehat { mathbb {Z}}}}$

что дает вычисление абсолютная группа Галуа конечного поля.

Связь с фундаментальными группами Этале алгебраических торов

Эту конструкцию можно по-разному интерпретировать. Один из них из Etale теория гомотопии который определяет Фундаментальная группа Etale ${ displaystyle pi _ {1} ^ {et} (X)}$ как проконечное пополнение автоморфизмов

${ displaystyle pi _ {1} ^ {et} (X) = lim _ {i in I} { text {Aut}} (X_ {i} / X)}$

куда ${ displaystyle X_ {i} to X}$ является Обложка Etale. Тогда проконечные целые числа изоморфны группе

${ displaystyle pi _ {1} ^ {et} ({ text {Spec}} ( mathbf {F} _ {q})) cong { hat { mathbb {Z}}}}$

из более раннего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, существует вложение проконечных целых чисел в фундаментальную группу Этале алгебраический тор

${ displaystyle { hat { mathbb {Z}}} hookrightarrow pi _ {1} ^ {et} ( mathbb {G} _ {m})}$

так как покрывающие карты происходят из полиномиальные отображения

${ displaystyle ( cdot) ^ {n}: mathbb {G} _ {m} to mathbb {G} _ {m}}$

с карты коммутативные кольца

${ displaystyle f: mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}] to mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}$ отправка ${ Displaystyle х mapsto х ^ {п}}$

поскольку ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} = { text {Spec}} ( mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}])}$ . Если рассматривать алгебраический тор над полем ${ displaystyle k}$ , то фундаментальная группа Этале ${ displaystyle pi _ {1} ^ {et} ( mathbb {G} _ {m} / { text {Spec (k)}})}$ содержит действие ${ displaystyle { text {Gal}} ({ overline {k}} / k)}$ а также из фундаментальная точная последовательность в этальной теории гомотопии.

Теория поля классов и проконечные целые числа

Теория поля классов это филиал алгебраическая теория чисел изучение абелевых расширений поля. Учитывая глобальное поле ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , то абелианизация своей абсолютной группы Галуа

${ displaystyle { text {Gal}} ({ overline { mathbb {Q}}} / mathbb {Q}) ^ {ab}}$

тесно связан с ассоциированным кольцом аделей ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {Q}}}$ и группа проконечных целых чисел. В частности, есть карта, называемая Карта Артина^[5]

${ displaystyle Psi _ { mathbb {Q}}: mathbb {A} _ { mathbb {Q}} ^ { times} / mathbb {Q} ^ { times} to { text {Gal }} ({ overline { mathbb {Q}}} / mathbb {Q}) ^ {ab}}$

который является изоморфизмом. Это частное можно явно определить как

${ displaystyle { begin {align} mathbb {A} _ { mathbb {Q}} ^ { times} / mathbb {Q} ^ { times} & cong ( mathbb {R} times { hat { mathbb {Z}}}) / mathbb {Z} & = { underset { leftarrow} { lim}} mathbb {(} { mathbb {R}} / m mathbb { Z}) & = { underset {x mapsto x ^ {m}} { lim}} S ^ {1} & = { hat { mathbb {Z}}} end {выровнено} }}$

давая желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение ${ displaystyle K / mathbb {Q} _ {p}}$ индуцируется из конечного расширения поля ${ Displaystyle mathbb {F} _ {p ^ {n}} / mathbb {F} _ {p}}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Конн и Консани 2015, § 2.4.
^ К. Конрад, Группа персонажей Q
^ Вопросы о некоторых отображениях, включающих кольца конечных аделей и их группы единиц.
^ Милн 2013, Гл. I Пример A. 5.
^ "Теория поля классов - lccs". www.math.columbia.edu. Получено 2020-09-25.

внешняя ссылка

Этот алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Конн и Консани 2015, § 2.4.

[2] К. Конрад, Группа персонажей Q

[3] Вопросы о некоторых отображениях, включающих кольца конечных аделей и их группы единиц.

[4] Милн 2013, Гл. I Пример A. 5.

[5] "Теория поля классов - lccs". www.math.columbia.edu. Получено 2020-09-25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]