Теорема о замкнутой подгруппе - Closed-subgroup theorem

В математика, то теорема о замкнутой подгруппе (иногда называют Теорема Картана) это теорема в теории Группы Ли. В нем говорится, что если ЧАС это закрытая подгруппа из Группа Ли грамм, тогда ЧАС является встроенный Группа Ли с гладкая структура (и, следовательно, групповая топология ) согласившись с вложением.^[1][2][3]Один из нескольких результатов, известных как Теорема Картана, он был впервые опубликован в 1930 г. Эли Картан,^[4] кто был вдохновлен Джон фон Нейман доказательство 1929 г. частного случая для групп линейные преобразования.^[5]

Обзор

Позволять ${ displaystyle G}$ - группа Ли с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Теперь позвольте ${ displaystyle H}$ - произвольная замкнутая подгруппа группы ${ displaystyle G}$. Наша цель показать, что ${ displaystyle H}$ является гладким вложенным подмногообразием в ${ displaystyle G}$. Наш первый шаг - определить что-то, что могло бы быть алгеброй Ли ${ displaystyle H}$, то есть касательное пространство ${ displaystyle H}$ при личности. Проблема в том, что ${ displaystyle H}$ не предполагается, что он имеет гладкость, и поэтому неясно, как можно определить его касательное пространство. Для продолжения определим «алгебру Ли» ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ из ${ displaystyle H}$ по формуле

${ displaystyle { mathfrak {h}} = {X mid e ^ {tX} in H, , , forall t in mathbb {R} }.}$

Нетрудно показать, что ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является подалгеброй Ли в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.^[6] Особенно, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является подпространством ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, которое, как мы можем надеяться, могло быть касательным пространством ${ displaystyle H}$ при личности. Однако для того, чтобы эта идея сработала, нам нужно знать, что ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ достаточно большой, чтобы собрать интересную информацию о ${ displaystyle H}$. Если, например, ${ displaystyle H}$ были большой подгруппой ${ displaystyle G}$ но ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ оказался нулевым, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ нам не поможет.

Таким образом, ключевой шаг - показать, что ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ на самом деле захватывает все элементы ${ displaystyle H}$ которые достаточно близки к идентичности. То есть нам нужно показать, что верна следующая критическая лемма:

Лемма: Возьмите небольшой район ${ displaystyle U}$ происхождения в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ так что экспоненциальная карта отправляет ${ displaystyle U}$ диффеоморфно на некоторую окрестность ${ displaystyle V}$ идентичности в ${ displaystyle G}$, и разреши ${ displaystyle log: V rightarrow U}$ быть обратным экспоненциальному отображению. Тогда есть небольшая окрестность ${ displaystyle W subset V}$ так что если ${ displaystyle h}$ принадлежит ${ Displaystyle W cap H}$, тогда ${ Displaystyle журнал (ч)}$ принадлежит ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$.^[7]

Как только это будет установлено, можно использовать экспоненциальные координаты на ${ displaystyle W}$, то есть написание каждого ${ displaystyle g in W}$ (не обязательно в ${ displaystyle H}$) в качестве ${ displaystyle g = e ^ {X}}$ за ${ Displaystyle X = журнал (г)}$. В этих координатах лемма говорит, что ${ displaystyle X}$ соответствует точке в ${ displaystyle H}$ именно если ${ displaystyle X}$ принадлежит ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$. То есть в экспоненциальных координатах около единицы ${ displaystyle H}$ похоже ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$. С ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ это просто подпространство ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, это означает, что ${ Displaystyle { mathfrak {h}} subset { mathfrak {g}}}$ просто как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {k} subset mathbb {R} ^ {n}}$, с ${ Displaystyle к = тусклый ({ mathfrak {h}})}$ и ${ Displaystyle п = тусклый ({ mathfrak {g}})}$. Таким образом, мы выставили "система координат среза " в котором ${ Displaystyle H подмножество G}$ выглядит локально как ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {k} subset mathbb {R} ^ {n}}$, что является условием вложенного подмногообразия.^[8]

Стоит отметить, что Россманн показывает, что для любой подгруппа ${ displaystyle H}$ из ${ displaystyle G}$ (не обязательно замкнутый) алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ из ${ displaystyle H}$ является подалгеброй Ли в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.^[9] Россманн затем вводит координаты^[10] на ${ displaystyle H}$ которые делают компонент идентичности ${ displaystyle H}$ в группу Ли. Однако важно отметить, что топология на ${ displaystyle H}$ исходящие из этих координат не являются топологией подмножества. Так сказать, идентичность компонента ${ displaystyle H}$ является погруженным подмногообразием в ${ displaystyle G}$ но не вложенное подмногообразие.

В частности, сформулированная выше лемма неверна, если ${ displaystyle H}$ не закрывается.

Пример незамкнутой подгруппы

Тор грамм. Представьте себе согнутую спираль выложен на поверхности, изображая ЧАС. Если а = ​^п⁄_q в самом низком смысле спираль закроется сама на себя на (1, 1) после п вращения в φ и q вращения в θ. Если а иррационально, спираль вьется бесконечно.

В качестве примера подгруппы, которая не является вложенной подгруппой Ли, рассмотрим тор и "иррациональная намотка тора ".

${ Displaystyle G = mathbb {T} ^ {2} = left { left. left ({ begin {matrix} e ^ {2 pi i theta} & 0 0 & e ^ {2 pi i phi} end {matrix}} right) right | theta, phi in mathbb {R} right },}$

и его подгруппа

${ Displaystyle H = left { left. left ({ begin {matrix} e ^ {2 pi i theta} & 0 0 & e ^ {2 pi ia theta} end {matrix}} right) right | theta in mathbb {R} right } { text {с алгеброй Ли}} { mathfrak {h}} = left { left. left ({ begin { matrix} i theta & 0 0 & ia theta end {matrix}} right) right | theta in mathbb {R} right },}$

с а иррационально. потом ЧАС является плотный в грамм а значит не закрытый.^[11] в относительная топология, небольшое открытое подмножество ЧАС состоит из бесконечного числа почти параллельных отрезков на поверхности тора. Это означает, что ЧАС не является локально путь подключен. В групповой топологии небольшие открытые множества Один отрезки на поверхности тора и ЧАС является локально путь подключен.

Пример показывает, что для некоторых групп ЧАС можно найти точки в сколь угодно малой окрестности U в относительной топологии τ_р тождества, которые являются экспонентами элементов час, но они не могут быть связаны с идентичностью путем, оставаясь в U.^[12] Группа (ЧАС, τ_р) не является группой Ли. Пока карта опыт:час → (ЧАС, τ_р) - аналитическая биекция, обратная к ней не непрерывна. То есть, если U ⊂ час соответствует небольшому открытому интервалу −ε < θ < ε, нет открытого V ⊂ (ЧАС, τ_р) с бревно(V) ⊂ U из-за внешнего вида наборов V. Однако с групповой топологией τ_грамм, (ЧАС, τ_грамм) группа Ли. При такой топологии инъекция ι :(ЧАС, τ_грамм) → грамм аналитический инъективный погружение, но не гомеоморфизм, следовательно, не вложение. Также есть примеры групп ЧАС для которых можно найти точки в сколь угодно малой окрестности (в относительной топологии) единицы, которые являются нет экспоненты элементов час.^[12] Для замкнутых подгрупп это не так, как показывает приведенное ниже доказательство теоремы.

Приложения

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В связи с выводом теоремы некоторые авторы предпочли определять линейные группы Ли или же матричные группы Ли как замкнутые подгруппы GL (п, ℝ) или же GL (п, ℂ).^[13] В этом случае доказывается, что каждый элемент группы, достаточно близкий к единице, является экспонентой элемента алгебры Ли.^[14] (Доказательство практически идентично доказательству теоремы о замкнутой подгруппе, представленной ниже.) Отсюда следует, что каждая замкнутая подгруппа является встроенный подмногообразие GL (п, ℂ)^[15]

В теорема о построении однородного пространства состояния

Если ЧАС ⊂ грамм это замкнутая подгруппа Ли, тогда грамм/ЧАС, левое пространство смежных классов, имеет единственное вещественно-аналитическое многообразие структура такая, что фактор-карта π:грамм → грамм/ЧАС аналитик погружение. Левое действие, данное грамм₁ ⋅ (грамм₂H) = (грамм₁грамм₂)ЧАС повороты грамм/ЧАС в однородный грамм-Космос.

Теорема о замкнутой подгруппе теперь значительно упрощает гипотезы, априори расширяя класс однородных пространств. Каждая замкнутая подгруппа дает однородное пространство.

Аналогичным образом теорема о замкнутой подгруппе упрощает гипотезу следующей теоремы.

Если Икс это набор с переходное групповое действие и группа изотропии или же стабилизатор точки Икс ∈ Икс замкнутая подгруппа Ли, то Икс имеет уникальную структуру гладкого многообразия, так что действие гладкое.

Условия закрытия

Несколько достаточных условий для ЧАС ⊂ грамм замкнутость, следовательно, вложенная группа Ли, приводится ниже.

• Все классические группы закрыты в GL (F, п), куда F = ℝ, ℂ, или же ℍ, то кватернионы.
• Подгруппа, которая локально закрыто закрыто.^[16] Подгруппа называется локально замкнутой, если каждая точка имеет окрестность в U ⊂грамм такой, что ЧАС ∩ U закрыт в U.
• Если ЧАС = AB = {ab | а ∈ А, б ∈ B}, куда А компактная группа и B замкнутое множество, то ЧАС закрыто.^[17]
• Если час ⊂ грамм подалгебра Ли такая, что ни при каких Икс ∈ грамм\час, [Икс, час] ∈ час, тогда Γ (час), группа, порожденная е^час, закрыто в грамм.^[18]
• Если Икс ∈ грамм, то однопараметрическая подгруппа создано Икс является не закрыто если и только если Икс похоже на ℂ к диагональной матрице с двумя элементами иррационального отношения.^[19]
• Позволять час ⊂ грамм - подалгебра Ли. Если есть односвязный компактная группа K с k изоморфен час, тогда Γ (час) закрыт в грамм. ^[20]
• Если грамм просто связано и час ⊂ грамм является идеальный, то связная подгруппа Ли с алгеброй Ли час закрыто. ^[21]

Converse

Вложенная подгруппа Ли ЧАС ⊂ грамм закрыто^[22] поэтому подгруппа является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда она замкнута. Эквивалентно ЧАС является вложенной подгруппой Ли тогда и только тогда, когда ее групповая топология равна ее относительной топологии.^[23]

Доказательство

Джон фон Нейман в 1929 г. доказал теорему в случае матричные группы как указано здесь. Он был известен во многих областях, в том числе квантовая механика, теория множеств и основы математики.

Доказательство дано для матричные группы с грамм = GL (п, ℝ) для конкретности и относительной простоты, поскольку матрицы и их экспоненциальное отображение - более легкие понятия, чем в общем случае. Исторически этот случай был впервые доказан Джоном фон Нейманом в 1929 году и вдохновил Картана на доказательство теоремы о полной замкнутой подгруппе в 1930 году.^[5] Доказательство общего грамм формально идентичен,^[24] за исключением того, что элементы алгебры Ли левый инвариант векторные поля на грамм а экспоненциальное отображение - это время поток векторного поля. Если ЧАС ⊂ грамм с грамм закрыт в GL (п, ℝ), тогда ЧАС закрыт в GL (п, ℝ), поэтому специализация на GL (п, ℝ) вместо произвольного грамм ⊂ GL (п, ℝ) не имеет значения.

Доказательство ключевой леммы

Начнем с установления ключевой леммы, сформулированной в разделе «Обзор» выше.

Endow грамм с внутренний продукт (например, Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта ), и разреши час быть алгеброй Ли ЧАС определяется как час = {Икс ∈ M_п(ℝ) = грамм|е^tX ∈ ЧАС ∀т ∈ ℝ}. Позволять s = {S ∈ грамм| (S, Т) = 0 ∀Т ∈ час}, ортогональное дополнение из час. потом грамм разлагается как прямая сумма грамм = s ⊕ час, поэтому каждый Икс ∈ грамм однозначно выражается как Икс = S + Т с S ∈ s, Т ∈ час.

Определить карту Φ: грамм → GL (п, ℝ) к (S, Т) ↦ е^Sе^Т. Разложите экспоненты,

${ Displaystyle Phi (S, T) = е ^ {tS} e ^ {tT} = I + tS + tT + O (t ^ {2}),}$

и продвигать или же дифференциал в 0, Φ_∗(S, Т) = ​^d⁄_dтΦ (tS, tT)|_{t = 0} видится S + Т, т.е. Φ_∗ = Id, личность. Гипотеза теорема об обратной функции доволен Φ аналитический, и, следовательно, есть открытые множества U₁ ⊂ грамм, V₁ ⊂ GL (п, ℝ) с 0 ∈ U₁ и я ∈ V₁ такой, что Φ это аналитический биекция от U₁ к V₁ с аналитическим обратным. Осталось показать, что U₁ и V₁ содержать открытые наборы U и V такое, что справедливо заключение теоремы.

Рассмотрим счетный основа соседства Β в 0 ∈ грамм, линейно упорядоченный обратным включением с B₁ ⊂ U₁.^[25] Предположим, с целью получения противоречия, что для всех я, Φ(B_я) ∩ ЧАС содержит элемент час_я то есть нет на форме час_я = е^Т_я,Т_я ∈ час. Тогда, поскольку Φ биекция на B_я, существует уникальная последовательность Икс_я = S_я + Т_я, с 0 ≠ S_я ∈ s и Т_я ∈ час такой, что Икс_я ∈ B_я сходится к 0 потому что Β является базисом соседства, причем е^S_яе^Т_я = час_я. С е^Т_я ∈ ЧАС и час_я ∈ ЧАС, е^S_я ∈ ЧАС также.

Нормализовать последовательность в s, Y_я = ​^S_я⁄_||Sя||. Он принимает свои значения в единичной сфере в s и так как это компактный, существует сходящаяся подпоследовательность, сходящаяся к Y ∈ s.^[26] Индекс я далее относится к этой подпоследовательности. Будет показано, что е^tY ∈ ЧАС, ∀т ∈ ℝ. Исправить т и выберите последовательность м_я целых чисел такие, что м_я||S_я|| → т в качестве я → ∞. Например, м_я такой, что м_я||S_я|| ≤ т ≤ (м_я + 1)||S_я|| будет делать, как S_я → 0. Тогда

${ Displaystyle (е ^ {S_ {i}}) ^ {m_ {i}} = e ^ {m_ {i} S_ {i}} = e ^ {m_ {i} | S_ {i} | Y_ {i}} rightarrow e ^ {tY}.}$

С ЧАС группа, левая часть в ЧАС для всех я. С ЧАС закрыто, е^tY ∈ ЧАС, ∀т,^[27] следовательно Y ∈ час. Получили противоречие. Следовательно, для некоторых я наборы U = Β_я и V = Φ (Β_я) удовлетворить е^{(U ∩ час)} = ЧАС ∩ V и экспонента, ограниченная открытым множеством (U ∩ час) ⊂ час находится в аналитической биекции с открытым множеством Φ (U) ∩ ЧАС ⊂ ЧАС. Это доказывает лемму.

Доказательство теоремы

За j ≥ я, изображение в ЧАС из B_j под Φ сформировать основу соседства в я. Это, кстати сказать, базис соседства как в групповой топологии, так и в относительная топология. Поскольку умножение в грамм аналитична, левый и правый сдвиги этого базиса окрестности на элемент группы грамм ∈ грамм дает базис соседства в грамм. Эти базы ограничены ЧАС дает базы соседства вообще час ∈ ЧАС. Топология, порожденная этими базами, является относительной топологией. Вывод состоит в том, что относительная топология совпадает с топологией группы.

Затем постройте карты координат на ЧАС. Сначала определите φ₁: e^(U) ⊂ грамм → грамм, грамм ↦ журнал (грамм). Это аналитическая биекция с аналитическим обратным. Кроме того, если час ∈ ЧАС, тогда φ₁(час) ∈ час. Закрепив основу для грамм = час ⊕ s и определение грамм с ℝ^п, то в этих координатах φ₁(час) = (х₁(час), …, Икс_м(час), 0, …, 0), куда м это размер час. Это показывает, что (е^U, φ₁) это диаграмма срезов. Путем перевода диаграмм, полученных из исчисляемого базиса соседства, использованного выше, можно получить диаграммы срезов вокруг каждой точки в ЧАС. Это показывает, что ЧАС является вложенным подмногообразием в грамм.

Кроме того, умножение м, и инверсия я в ЧАС аналитичны, поскольку эти операции аналитичны в грамм и ограничение на подмногообразие (вложенное или погруженное) с относительной топологией снова дает аналитические операции м:ЧАС × ЧАС → грамм и я:ЧАС × ЧАС → грамм.^[28] Но с тех пор ЧАС встроен, м:ЧАС × ЧАС → ЧАС и я:ЧАС × ЧАС → ЧАС также являются аналитическими.^[29]

Смотрите также

• Теорема об обратной функции
• Ложная переписка

Примечания

Рекомендации

• Бохнер, С. (1958), "Джон фон Нейман 1903–1957" (PDF), Биографические воспоминания Национальной академии наук: 438–456. См. В частности п. 441.
• Картан, Эли (1930), "Теория конечных групп и континентов и т. Д."Analysis Situs", Mémorial Sc. Математика., XLII, стр. 1–61
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Тексты для выпускников Springer по математике, 218, ISBN  0-387-95448-1
• фон Нейман, Джон (1929), "Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen", Mathematische Zeitschrift (на немецком), 30 (1): 3–42, Дои:10.1007 / BF01187749
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы, Оксфордские выпускные программы по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0 19 859683 9
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология, Dover Publications, ISBN  0-486-43479-6