Таннакианский формализм - Tannakian formalism

В математика, а Категория таннакиана это особый вид моноидальная категория C, снабженный некоторой дополнительной структурой относительно данного поле K. Роль таких категорий C в некотором смысле приближается к категории линейные представления из алгебраическая группа грамм определяется по K. Было сделано или могло быть сделано несколько основных приложений теории в погоне за некоторыми из центральных гипотез современного искусства. алгебраическая геометрия и теория чисел.

Название взято из Двойственность Таннаки – Крейна, теория о компактные группы грамм и их теория представлений. Теория впервые была разработана в школе Александр Гротендик. Позже он был пересмотрен Пьер Делинь, и внесены некоторые упрощения. Модель теории такова: Теория Галуа Гротендика, которая является теорией о конечных перестановочные представления групп грамм которые проконечные группы.

Суть теории, которая довольно подробно изложена в изложении Сааведры Ривано, состоит в том, что волоконный функтор Φ теории Галуа заменяется на тензорный функтор Т из C к K-Vect. Группа естественные преобразования группы Φ к себе, которая оказывается проконечной группой в теории Галуа, заменяется группой (априори только моноид ) из естественные преобразования из Т в себя, что уважает тензорную структуру. Это по своей природе не алгебраическая группа, а обратный предел алгебраических групп (проалгебраическая группа ).

Формальное определение

А нейтральная таннакианская категория жесткий абелевский тензорная категория, такое, что существует K-тензорный функтор категория конечномерных K-векторных пространств то есть точный и верный.^[1]

Приложения

Конструкция используется в тех случаях, когда Структура Ходжа или же l-адическое представление следует рассматривать в свете теории представлений групп. Например, Группа Мамфорда – Тейта и мотивационная группа Галуа потенциально могут быть восстановлены с одного группа когомологий или же Модуль Галуа, посредством порождаемой им таннакианской категории.

Эти области применения тесно связаны с теорией мотивы. Другое место, где использовались таннакианские категории, связано с Гипотеза Гротендика – Каца о p-кривизне; другими словами, в ограничении группы монодромии.

В Геометрическая эквивалентность Сатаке устанавливает эквивалентность представлений Лэнглендс двойной группа ${displaystyle {} ^ {L} G}$ из восстановительная группа грамм и некоторые эквивариантные извращенные снопы на аффинный грассманиан связано с грамм. Эта эквивалентность обеспечивает некомбинаторную конструкцию двойственной группы Ленглендса. Доказывается, показывая, что упомянутая категория извращенных пучков является категорией Таннаки, и отождествляя ее двойственную группу Таннака с ${displaystyle {} ^ {L} G}$.

Расширения

Ведхорн (2004) установил частичную двойственность Таннаки приводит к ситуации, когда категория р-линейный, где р больше не поле (как в классической таннакианской двойственности), а определенное оценочные кольца. Дуонг и Хай (2017) показал результат двойственности Таннаки, если р это Кольцо дедекинда.

Иванари (2014) инициировал изучение двойственности Таннаки в контексте бесконечные категории.

Рекомендации

• Делинь, Пьер (2007) [1990], "Категория таннакиенов", Гротендикский фестивальный сбор, II, Birkhauser, pp. 111–195, ISBN  9780817645755
• Делинь, Пьер; Милн, Джеймс (1982), «Таннаковские категории», в Делинье, Пьер; Милн, Джеймс; Огус, Артур; Ши, Куанг-янь (ред.), Циклы Ходжа, мотивы и разновидности симуры, Конспект лекций по математике, 900, Springer, стр. 101–228, ISBN  978-3-540-38955-2
• Дуонг, Нгуен Дай; Хай, Пхонг Хо (2017), Таннакианская двойственность над дедекиндовыми кольцами и приложениями, arXiv:1311.1134v3
• Иванари, Исаму (2014), Двойственность Таннаки и стабильные бесконечные категории, arXiv:1409.3321, Дои:10.1112 / topo.12057
• Сааведра Ривано, Неантро (1972), Категории Tannakiennes, Конспект лекций по математике, 265, Спрингер, ISBN  978-3-540-37477-0, МИСТЕР  0338002
• Ведхорн, Торстен (2004), "Таннакианская двойственность над оценочными кольцами", Журнал алгебры, 282 (2): 575–609, Дои:10.1016 / j.jalgebra.2004.07.024, МИСТЕР  2101076

дальнейшее чтение

• М. Ларсен и Р. Пинк. Определение представлений по неизменным размерам. Изобретать. математика, 102: 377–389, 1990.