Функтор волокна - Википедия - Fiber functor

В теория категорий, раздел математики, волоконный функтор верный k-линейный тензорный функтор из тензорная категория в категорию конечномерных k-векторные пространства.^[1]

Определение

А волоконный функтор (или же волоконный функтор) является свободным понятием, которое имеет несколько определений в зависимости от рассматриваемого формализма. Одна из основных исходных причин для создания волоконных функторов исходит из Теория топоса.^[2] Напомним, топос - это категория связок над сайтом. Если сайт - это всего лишь один объект, например точка, то топос точки эквивалентен категории множеств, ${ displaystyle { mathfrak {Set}}}$. Если у нас есть вершины пучков на топологическом пространстве ${ displaystyle X}$, обозначенный ${ Displaystyle { mathfrak {T}} (X)}$, затем поставить точку ${ displaystyle a}$ в ${ displaystyle X}$ эквивалентно определению присоединенных функторов

${ displaystyle a ^ {*}: { mathfrak {T}} (X) leftrightarrows { mathfrak {Set}}: a _ {*}}$

Функтор ${ displaystyle a ^ {*}}$ посылает пачку ${ Displaystyle { mathfrak {F}}}$ на ${ displaystyle X}$ к его волокну над точкой ${ displaystyle a}$; то есть его стебель.^[3]

Из закрывающих помещений

Рассмотрим категорию покрывающих пространств над топологическим пространством ${ displaystyle X}$, обозначенный ${ Displaystyle { mathfrak {Cov}} (X)}$. Затем с точки ${ displaystyle x in X}$ есть функтор волокна^[4]

${ displaystyle { text {Fib}} _ {x}: { mathfrak {Cov}} (X) to { mathfrak {Set}}}$

отправка покрытия ${ displaystyle pi: от Y до X}$ к волокну ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (х)}$. Этот функтор имеет автоморфизмы, происходящие из ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$ поскольку фундаментальная группа действует на накрывающих пространствах топологического пространства ${ displaystyle X}$. В частности, он действует на множестве ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (х) подмножество Y}$. Фактически, единственные автоморфизмы ${ displaystyle { text {Fib}} _ {x}}$ родом из ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$.

С этальными топологиями

Существует алгебраический аналог покрывающих пространств, исходящий из Этальная топология по подключенной схеме ${ displaystyle S}$. Базовый сайт состоит из конечных этальных покрытий, которые конечны^[5][6] плоский сюръективные морфизмы ${ displaystyle X to S}$ такой, что слой над каждой геометрической точкой ${ displaystyle s in S}$ спектр конечного этала ${ Displaystyle каппа (ы)}$-алгебра. Для фиксированной геометрической точки ${ displaystyle { overline {s}}: { text {Spec}} ( Omega) to S}$рассмотрим геометрическое волокно ${ Displaystyle X раз _ {S} { text {Spec}} ( Omega)}$ и разреши ${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}} (X)}$ быть базовым набором ${ displaystyle Omega}$-точки. Потом,

${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}}: { mathfrak {Fet}} _ {S} to { mathfrak {Sets}}}$

- слоистый функтор, где ${ displaystyle { mathfrak {Fet}} _ {S}}$ топос из конечной этальной топологии на ${ displaystyle S}$. По сути, это теорема Гротендика об автоморфизмах ${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}}}$ сформировать Проклятая группа, обозначенный ${ displaystyle pi _ {1} (S, { overline {s}})}$, и индуцируют непрерывное групповое действие на этих конечных расслоениях, давая эквивалентность между покрытиями и конечными множествами с такими действиями.

Из категорий таннакиана

Другой класс слоистых функторов происходит от когомологических реализаций мотивов в алгебраической геометрии. Например, Когомологии де Рама функтор ${ displaystyle H_ {dR}}$ посылает мотив ${ Displaystyle M (X)}$ к лежащим в основе группам когомологий де-Рама ${ displaystyle H_ {dR} ^ {*} (X)}$.^[7]

Рекомендации

Смотрите также

• Topos
• Этальная топология
• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Анабелева геометрия

внешняя ссылка

• SGA 4 и SGA 4 IV
• Мотивная группа Галуа - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf

Примечания

Этот теория категорий -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.