Представительное кольцо - Representation ring

В математика, особенно в районе алгебра известный как теория представлений, то представительное кольцо (или же Зеленое кольцо после Дж. А. Грин ) из группа это звенеть образованный из всех (классов изоморфизма) конечномерных линейных представления группы. Элементы кольца представлений иногда называют виртуальными представлениями.^[1] Для данной группы кольцо будет зависеть от базового поля представлений. Случай комплексных коэффициентов наиболее развит, но случай алгебраически замкнутые поля из характеристика п где Силовский п-подгруппы находятся циклический также теоретически достижима.

Формальное определение

Учитывая группу грамм и поле F, элементы его представительное кольцо р_F(грамм) - формальные разности классов изоморфизма конечномерных линейных F-представления грамм. Для кольцевой структуры сложение дается прямой суммой представлений, а умножение - их тензорное произведение над F. Когда F в обозначениях опущен, как в р(грамм), тогда F неявно считается полем комплексных чисел.

Вкратце, представительное кольцо грамм это Кольцо Grothendieck категории конечномерных представлений грамм.

Примеры

• Для сложных представлений циклическая группа порядка п, представительное кольцо р_C(C_п) изоморфна Z[Икс]/(Икс^п - 1), где Икс соответствует сложному представлению, отправляющему генератор группы примитиву пй корень единства.
• В более общем смысле, кольцо комплексного представления конечного абелева группа может быть отождествлен с групповое кольцо из группа персонажей.
• Для рациональных представлений циклической группы порядка 3 кольцо представлений р_Q(C₃) изоморфна Z[Икс]/(Икс² − Икс - 2), где Икс соответствует неприводимому рациональному представлению размерности 2.
• Для модульных представлений циклической группы порядка 3 над полем F характеристики 3 представительное кольцо р_F(C₃) изоморфна Z[Икс,Y]/(Икс² − Y − 1, XY − 2Y,Y² − 3Y).
• Кольцо непрерывного представления р(S¹) для группы окружности изоморфна Z[Икс, Икс ⁻¹]. Кольцо вещественных представлений - это подкольцо р(грамм) элементов, фиксируемых инволюцией на р(грамм) предоставлено Икс → Икс ⁻¹.
• Кольцо р_C(S₃) для симметричная группа по трем точкам изоморфен Z[Икс,Y]/(XY − Y,Икс² − 1,Y² − Икс − Y - 1), где Икс - одномерное альтернативное представление и Y 2-мерное неприводимое представление S₃.

Символы

Любое представление определяет персонаж χ:грамм → C. Такая функция постоянна на классах сопряженности грамм, так называемый функция класса; обозначим кольцо функций классов через C(грамм). Если грамм конечно, гомоморфизм р(грамм) → C(грамм) инъективно, так что р(грамм) можно отождествить с подкольцом C(грамм). Для полей F характеристика которой делит порядок группы грамм, гомоморфизм из р_F(грамм) → C(грамм) определяется Персонажи Брауэра больше не инъективен.

Для компактной связной группы р(грамм) изоморфно подкольцу кольца р(Т) (куда Т является максимальным тором), состоящим из тех функций классов, которые инвариантны относительно действия группы Вейля (Atiyah, Hirzebruch, 1961). По поводу общей компактной группы Ли см. Сигал (1968).

λ-кольцо и операции Адамса

Учитывая представление грамм и натуральное число п, мы можем сформировать п-й внешняя сила представления, которое снова является представлением грамм. Это индуцирует операцию λ^п : р(грамм) → р(грамм). С помощью этих операций р(грамм) становится λ-кольцо.

В Операции Адамса на представительском кольце р(грамм) являются отображениями Ψ^k характеризуются своим влиянием на характеры χ:

${ displaystyle Psi ^ {k} chi (g) = chi (g ^ {k}) .}$

Операции Ψ^k являются гомоморфизмами колец р(грамм) к себе, а на представлениях ρ размерности d

${ Displaystyle Psi ^ {k} ( rho) = N_ {k} ( Lambda ^ {1} rho, Lambda ^ {2} rho, ldots, Lambda ^ {d} rho) }$

где Λ^яρ - внешние силы ρ и N_k это k-й степени сумма, выраженная как функция d элементарные симметричные функции d переменные.

Рекомендации

• Атья, Майкл Ф.; Хирцебрух, Фридрих (1961), "Векторные расслоения и однородные пространства", Proc. Симпози. Чистая математика., Американское математическое общество, III: 7–38, МИСТЕР  0139181, Zbl  0108.17705.
• Бреккер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли, Тексты для выпускников по математике, 98, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, Токио: Springer-Verlag, ISBN  0-387-13678-9, МИСТЕР  1410059, OCLC  11210736, Zbl  0581.22009
• Сигал, Грэм (1968), "Кольцо представлений компактной группы Ли", Publ. Математика. IHES, 34: 113–128, МИСТЕР  0248277, Zbl  0209.06203.
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 40, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-46015-8, Zbl  0991.20005