Куспидальное представление - Википедия - Cuspidal representation

В теория чисел, куспидальные представления уверены представления из алгебраические группы которые происходят дискретно в ${ displaystyle L ^ {2}}$ пробелы. Период, термин куспидальный выводится на определенном расстоянии из бугорки классических модульная форма теория. В современной формулировке автоморфные представления, представления заменяют голоморфные функции; эти представления могут быть адельные алгебраические группы.

Когда группа - это общая линейная группа ${ displaystyle operatorname {GL} _ {2}}$, куспидальные представления напрямую связаны с куспид-формами и Формы Маасса. В случае куспид-форм каждая Собственная форма Гекке (новая форма ) соответствует каспидальному представлению.

Формулировка

Позволять грамм быть редуктивный алгебраическая группа над числовое поле K и разреши А обозначить Адель из K. Группа грамм(K) диагонально вкладывается в группу грамм(А) отправив грамм в грамм(K) в кортеж (грамм_п)_п в грамм(А) с грамм = грамм_п для всех (конечных и бесконечных) простых чисел п. Позволять Z обозначить центр из грамм и пусть ω - непрерывный унитарный характер из Z(K) Z (А)^× к C^×.Исправить Мера Хаара на грамм(А) и разреши L²₀(грамм(K) \ грамм(А), ω) обозначают Гильбертово пространство из сложный -значен измеримые функции, ж, на грамм(А) удовлетворение

1. ж(γграмм) = ж(грамм) для всех γ ∈ грамм(K)
2. ж(gz) = ж(грамм) ω (z) для всех z ∈ Z(А)
3. ${ Displaystyle int _ {Z ( mathbf {A}) G (K) , setminus , G ( mathbf {A})} | f (g) | ^ {2} , dg < infty }$
4. ${ Displaystyle Int _ {U (К) , setminus , U ( mathbf {A})} f (ug) , du = 0}$ для всех унипотентные радикалы, U, из всех надлежащих параболические подгруппы из грамм(А).

В векторное пространство L²₀(грамм(K) \ грамм(А), ω) называется пространство касп-форм с центральным характером ω на грамм(А). Функция, появляющаяся в таком пространстве, называется куспидальная функция.

Куспидальная функция порождает унитарное представительство группы грамм(А) на комплексном гильбертовом пространстве ${ displaystyle V_ {f}}$ порожденный правильными переводами ж. Здесь действие из грамм ∈ грамм(А) на ${ displaystyle V_ {f}}$ дан кем-то

${ Displaystyle (г CDOT U) (х) = и (хg), qquad и (х) = сумма _ {j} c_ {j} f (xg_ {j}) in V_ {f}}$.

Пространство касп-форм с центральным характером ω распадается на прямая сумма гильбертовых пространств

${ Displaystyle L_ {0} ^ {2} (G (K) setminus G ( mathbf {A}), omega) = { widehat { bigoplus}} _ {( pi, V _ { pi} )} m _ { pi} V _ { pi}}$

где сумма закончилась несводимый субпредставления из L²₀(грамм(K) \ грамм(А), ω) и м_π положительные целые числа (т.е. каждое неприводимое подпредставление происходит с конечный множественность). А куспидальное представление грамм(А) такое подпредставление (π, V_π) для некоторыхω.

Группы, для которых кратности м_π все равны, как говорят, имеют свойство множественности-единицы.

Смотрите также

• Модуль Жаке

Рекомендации

• Джеймс В. Когделл, Генри Хёнсин Ким, Марути Рам Мурти. Лекции по автоморфным L-функциям (2004), Глава 5.