Гомологии Хованова - Khovanov homology

В математика, Гомологии Хованова ориентированный инвариант связи это возникает как гомология из цепной комплекс. Это можно рассматривать как категоризация из Многочлен Джонса.

Он был разработан в конце 1990-х гг. Михаил Хованов, затем на Калифорнийский университет в Дэвисе, сейчас на Колумбийский университет.

Обзор

К любой схеме ссылок D представляющий связь L, мы назначаем Кронштейн Хованова [D], а цепной комплекс из градуированные векторные пространства. Это аналог Кронштейн Кауфмана в строительстве Многочлен Джонса. Далее мы нормализуем [D] серией градусных сдвигов (в градуированные векторные пространства ) и высотные сдвиги (в цепной комплекс ) для получения нового цепного комплекса C(D). В гомология этого цепного комплекса оказывается инвариантный из L, и его оценили Эйлерова характеристика является многочленом Джонса от L.

Определение

Это определение следует формализму, данному в Дрор Бар-Натан газета 2002 г.

Позволять {л} обозначают сдвиг на градус операция над градуированными векторными пространствами, то есть однородный компонент в размерности м сдвигается до измерениям + л.

Аналогично, пусть [s] обозначают смещение высоты работа на цепных комплексах, т. е. рth векторное пространство или же модуль в комплексе сдвинута вдоль (р + s) -е место, со всеми дифференциальные карты соответственно смещается.

Позволять V быть градуированным векторным пространством с одним образующим q степени 1, и один генератор q⁻¹ степени −1.

Теперь возьмем произвольную диаграмму D представляющий ссылку L. Аксиомы для Кронштейн Хованова являются следующими:

1. [ø] = 0 → Z → 0, где ø обозначает пустую ссылку.
2. [О D] = V ⊗ [D], где O обозначает несвязанный тривиальный компонент.
3. [D] = F(0 → [D₀] → [D₁]{1} → 0)

В третьем из них F обозначает операцию "сплющивания", когда единый комплекс образуется из двойной комплекс проводя прямые суммы по диагоналям. Также, D₀ обозначает "0-сглаживание" выбранного перекрестка в D, и D₁ обозначает "1-сглаживание" аналогично отношение мотков для скобки Кауфмана.

Далее строим "нормализованный" комплекс C(D) = [D][−п₋]{п₊ − 2п₋}, куда п₋ обозначает количество левых перекрестков на выбранной диаграмме для D, и п₊ количество правосторонних переходов.

В Гомологии Хованова из L тогда определяется как гомологии ЧАС(L) этого комплекса C(D). Оказывается, гомологии Хованова действительно инвариант L, и не зависит от выбора диаграммы. Градуированная эйлерова характеристика ЧАС(L) оказывается многочленом Джонса от L. Тем не мение, ЧАС(L) содержит больше информации о L чем Многочлен Джонса, но точные детали еще полностью не изучены.

В 2006 г. Дрор Бар-Натан разработал компьютерную программу для вычисления гомологии (или категории) Хованова для любого узла.^[1]

Связанные теории

Одним из наиболее интересных аспектов гомологии Хованова является то, что ее точные последовательности формально подобны последовательностям, возникающим в Гомология Флоера из 3-х коллектор. Более того, он был использован для получения другого доказательства результата, впервые продемонстрированного с использованием калибровочная теория и его кузенов: новое доказательство Якоба Расмуссена теоремы Питер Кронхаймер и Томаш Мровка, ранее известный как Гипотеза Милнора (Смотри ниже). Существует спектральная последовательность связывая гомологии Хованова с узел гомологии Флора из Питер Озсват и Золтан Сабо (Даулин 2018).^[2] Эта спектральная последовательность обосновала более раннюю гипотезу о связи между двумя теориями (Dunfield et al. 2005). Другая спектральная последовательность (Ozsváth-Szabó 2005) связывает вариант гомологий Хованова с гомологиями Хегора Флора разветвленных двойная крышка вдоль узла. Третья (Bloom 2009) сходится к варианту монопольной гомологии Флоера разветвленного двойного покрытия. В 2010 году Кронхеймер и Мровка ^[3] продемонстрировали спектральную последовательность, примыкающую к их группе гомологий Флоера инстантонного узла, и использовали это, чтобы показать, что гомология Хованова (как гомология Флоера инстантонного узла) обнаруживает неузел.

Гомологии Хованова связаны с теорией представлений Алгебра Ли сл₂. Михаил Хованов и Лев Розанский с тех пор определили когомология теории, связанные с SL_п для всех п. В 2003 г. Катарина Строппель расширенные гомологии Хованова до инварианта связок (категорированная версия инвариантов Решетихина-Тураева), которые также обобщаются на sl_п для всех п. Пол Зайдель и Иван Смит построили теорию гомологий одноуровневых узлов, используя лагранжевы пересечения Гомология Флоера, который, как они предполагают, изоморфен однократной градуированной версии гомологии Хованова. Чиприан Манолеску с тех пор упростил их конструкцию и показал, как восстановить многочлен Джонса из цепного комплекса, лежащего в основе его версии Инвариант Зейделя-Смита.

Связь с полиномами зацепления (узла)

В Международный конгресс математиков в 2006 году Михаил Хованов дал следующее объяснение связи с узловыми многочленами с точки зрения гомологии Хованова. В отношение мотков для трех ссылок ${ displaystyle L_ {1}, L_ {2}}$ и ${ displaystyle L_ {3}}$ описывается как

${ displaystyle lambda P (L_ {1}) - lambda ^ {- 1} P (L_ {2}) = (q-q ^ {- 1}) P (L_ {3}).}$

Подстановка ${ Displaystyle лямбда = д ^ {п}, п leq 0}$ приводит к полиномиальному инварианту зацепления ${ Displaystyle P_ {п} (L) in mathbb {Z} [q, q ^ {- 1}]}$, нормализованная так, чтобы

${ displaystyle { begin {align} P_ {n} (без узла) & = q ^ {n-1} + q ^ {n-3} + cdots + q ^ {1-n} && n> 0 P_ {0} (без узла) & = 1 end {выровнено}}}$

За ${ displaystyle n> 0}$ многочлен ${ Displaystyle P_ {п} (L)}$ можно интерпретировать через теория представлений из квантовая группа ${ Displaystyle sl (п)}$ и ${ Displaystyle P_ {0} (L)}$ через квантовую Ли супералгебра ${ Displaystyle U_ {q} (gl (1 | 1))}$.

• В Полином александра ${ Displaystyle P_ {0} (L)}$ это Эйлерова характеристика теории гомологий биградуированных узлов.
• ${ Displaystyle P_ {1} (L) = 1}$ тривиально.
• В Многочлен Джонса ${ Displaystyle P_ {2} (L)}$ является эйлеровой характеристикой теории гомологий биградуированных зацеплений.
• Целиком Полином ХОМФЛИ-ПТ - эйлерова характеристика теории гомологий тройного зацепления.

Приложения

Первое применение гомологии Хованова было предоставлено Якобом Расмуссеном, который определил s-инвариантный используя гомологии Хованова. Этот целочисленный инвариант узла дает оценку род срезов, и этого достаточно для доказательства Гипотеза Милнора.

В 2010, Kronheimer и Mrowka доказал, что гомологии Хованова обнаруживают развязанный. Категорифицированная теория содержит больше информации, чем некатегориальная теория. Хотя гомология Хованова обнаруживает узел, еще не известно, Многочлен Джонса делает.

Примечания

Рекомендации

• Бар-Натан, Дрор (2002), «О категоризации Хованова полинома Джонса», Алгебраическая и геометрическая топология, 2: 337–370, arXiv:math.QA/0201043, Bibcode:2002математика ...... 1043B, Дои:10.2140 / agt.2002.2.337, МИСТЕР  1917056, S2CID  11754112.
• Блум, Джонатан М. (2011), "Спектральная последовательность перестройки звена в монопольных гомологиях Флоера", Успехи в математике, 226 (4): 3216–3281, arXiv:0909.0816, Дои:10.1016 / j.aim.2010.10.014, МИСТЕР  2764887, S2CID  11791207.
• Данфилд, Натан М .; Гуков Сергей; Расмуссен, Джейкоб (2006), «Суперполином для гомологий узлов», Экспериментальная математика, 15 (2): 129–159, arXiv:math.GT/0505662, Дои:10.1080/10586458.2006.10128956, МИСТЕР  2253002, S2CID  3060662.
• Хованов Михаил (2000), "Категоризация полинома Джонса", Математический журнал герцога, 101 (3): 359–426, arXiv:math.QA/9908171, Дои:10.1215 / S0012-7094-00-10131-7, МИСТЕР  1740682, S2CID  119585149.
• Хованов Михаил (2006), «Гомология звеньев и категоризация», Международный конгресс математиков. Vol. II, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 989–999, arXiv:math.GT/0605339, МИСТЕР  2275632.
• Озсват, Питер; Сабо, Золтан (2005), «О гомологиях Хегора Флоера разветвленных двойных накрытий», Успехи в математике, 194 (1): 1–33, arXiv:math.GT/0309170, Дои:10.1016 / j.aim.2004.05.008, МИСТЕР  2141852, S2CID  17245314.
• Строппель, Катарина (2005), "Категоризация категории Темперли-Либа, связок и кобордизмов с помощью проективных функторов", Математический журнал герцога, 126 (3): 547–596, CiteSeerX  10.1.1.586.3553, Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12634-X, МИСТЕР  2120117.

внешняя ссылка

• Гомологии Хованова - детектор узлов. Kronheimer и Mrowka
• Рукописные слайды выступления М. Хованова
• "Хованов Гомологии ", Узел Атлас.