Идеальное свойство набора - Perfect set property

В описательная теория множеств, а подмножество из Польское пространство имеет идеальный набор собственности если это либо счетный или имеет непустой идеально подмножество (Kechris 1995, с. 150). Обратите внимание, что иметь свойство идеального набора - не то же самое, что быть идеальный набор.

Поскольку непустые совершенные множества в польском пространстве всегда имеют мощность континуума, а реалы образуют польское пространство, набор действительных чисел с идеальным свойством набора не может быть контрпример к гипотеза континуума, заявлено в том виде, что каждый бесчисленное множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

В Теорема Кантора – Бендиксона утверждает, что закрытые наборы польского пространства Икс иметь свойство идеального множества в особенно сильной форме: любое закрытое подмножество Икс можно записать однозначно как несвязный союз идеального множества и счетного множества. В частности, каждое несчетное польское пространство обладает свойством идеального множества и может быть записано как несвязное объединение совершенного множества и счетного открытого множества.

В аксиома выбора подразумевает существование наборов вещественных чисел, не обладающих свойством идеального набора, например Множества Бернштейна. Однако в Модель Соловая, который удовлетворяет всем аксиомам ZF, но не аксиоме выбора, каждый набор вещественных чисел имеет свойство совершенного множества, поэтому использование аксиомы выбора необходимо. Каждый аналитический набор обладает идеальным набором свойств. Из существования достаточно большие кардиналы что каждый проективный набор обладает идеальным набором свойств.

Рекомендации

• Кечрис, А. С. (1995), Классическая описательная теория множеств, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-1-4612-8692-9