Сфера Блоха - Bloch sphere

Сфера Блоха

В квантовой механика и вычисление, то Сфера Блоха является геометрическим представлением чистое состояние пространство двухуровневая квантово-механическая система (кубит ), названный в честь физика Феликс Блох.^[1]

Квантовая механика математически сформулирована в Гильбертово пространство или же проективное гильбертово пространство. Чистые состояния квантовой системы соответствуют одномерным подпространствам соответствующего гильбертова пространства (или «точкам» проективного гильбертова пространства). Для двумерного гильбертова пространства пространство всех таких состояний является сложная проективная линия ℂℙ¹. Это сфера Блоха, также известная математикам как Сфера Римана.

Сфера Блоха - это единица 2-сфера, с противоположные точки соответствующая паре взаимно ортогональных векторов состояния. Северный и южный полюсы сферы Блоха обычно выбираются в соответствии со стандартными базисными векторами. ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$ соответственно, которые, в свою очередь, могут соответствовать, например, к вращение -вверх и вращение -вниз состояния электрона. Однако этот выбор произвольный. Точки на поверхности сферы соответствуют чистые состояния системы, а внутренние точки соответствуют смешанные состояния.^[2]^[3] Сферу Блоха можно обобщить до п-уровневая квантовая система, но тогда визуализация менее полезна.

По историческим причинам в оптике сфера Блоха также известна как Сфера Пуанкаре и конкретно представляет различные типы поляризации. Существует шесть распространенных типов поляризации, которые называются Джонс векторов. В самом деле Анри Пуанкаре был первым, кто предложил использовать такого рода геометрическое изображение в конце 19 века,^[4] как трехмерное представление Параметры Стокса.

Естественный метрика на сфере Блоха Метрика Фубини – Этюд. Отображение единичной 3-сферы в двумерное пространство состояний ℂ² к сфере Блоха является Расслоение Хопфа, с каждым луч из спиноры отображение в одну точку на сфере Блоха.

Определение

Учитывая ортонормированный базис, любой чистое состояние ${ displaystyle | psi rangle}$ двухуровневой квантовой системы можно записать как суперпозицию базисных векторов ${ displaystyle | 0 rangle}$ и ${ displaystyle | 1 rangle}$ , где коэффициент или количество каждого из двух базисных векторов равно комплексное число. Это означает, что состояние описывается четырьмя действительными числами. Однако только относительная фаза между коэффициентами двух базисных векторов имеет какой-либо физический смысл, так что в этом описании есть избыточность. Мы можем взять коэффициент при ${ displaystyle | 0 rangle}$ быть реальным и неотрицательным. Это позволяет описать состояние только тремя действительными числами, что дает начало трем измерениям сферы Блоха.

Мы также знаем из квантовой механики, что полная вероятность системы должна быть равна единице:

{ Displaystyle langle psi | psi rangle = 1}

, или эквивалентно

{ Displaystyle { big |} | psi rangle { big |} ^ {2} = 1}

.

Учитывая это ограничение, мы можем написать ${ displaystyle | psi rangle}$ используя следующее представление:

{ displaystyle | psi rangle = cos left ( theta / 2 right) | 0 rangle , + , e ^ {i phi} sin left ( theta / 2 right) | 1 rangle = cos left ( theta / 2 right) | 0 rangle , + , ( cos phi + i sin phi) , sin left ( theta / 2 right ) | 1 rangle}

, куда

{ displaystyle 0 leq theta leq pi}

и

{ Displaystyle 0 Leq phi <2 pi}

.

Представление всегда уникально, потому что, даже если значение ${ displaystyle phi}$ не уникален, когда ${ displaystyle | psi rangle}$ является одним из кет-векторов (см. Обозначение бюстгальтера ) ${ displaystyle | 0 rangle}$ или же ${ displaystyle | 1 rangle}$ , точка, представленная ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ уникален.

Параметры ${ displaystyle theta ,}$ и ${ displaystyle phi ,}$ , переинтерпретированный в сферические координаты соответственно холодность с уважением к zось и долгота с уважением к Икс-axis укажите точку

{ Displaystyle { vec {a}} = ( грех тета соз фи, ; грех тета грех фи, ; соз тета) = (и, v, ш)}

на единичной сфере в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ .

За смешанные состояния, считается оператор плотности. Любой двумерный оператор плотности $ρ$ можно расширить с помощью идентификатора $я$ и Эрмитский, бесследный Матрицы Паули ${ displaystyle { vec { sigma}}}$ ,

{ displaystyle { begin {align} rho & = { frac {1} {2}} left (I + { vec {a}} cdot { vec { sigma}} right) & = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} + { frac {a_ {x}} {2}} { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} + { frac {a_ {y}} {2}} { begin {pmatrix} 0 & -i i & 0 end {pmatrix}} + { frac {a_ {z}} { 2}} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} & = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 + a_ {z} & a_ {x } -ia_ {y} a_ {x} + ia_ {y} & 1-a_ {z} end {pmatrix}} end {выровнено}}}

,

куда ${ displaystyle { vec {a}} in mathbb {R} ^ {3}}$ называется Вектор Блоха.

Именно этот вектор указывает точку внутри сферы, которая соответствует данному смешанному состоянию. В частности, как основная особенность Вектор Паули, собственные значения $ρ$ находятся ${ displaystyle { frac {1} {2}} left (1 pm | { vec {a}} | right)}$ . Операторы плотности должны быть положительно-полуопределенными, отсюда следует, что ${ displaystyle left | { vec {a}} right | leq 1}$ .

Для чистых состояний тогда

{ displaystyle operatorname {tr} left ( rho ^ {2} right) = { frac {1} {2}} left (1+ left | { vec {a}} right | ^ {2} right) = 1 quad Leftrightarrow quad left | { vec {a}} right | = 1 ~,}

в соответствии с вышеизложенным.^[5]

Как следствие, поверхность сферы Блоха представляет все чистые состояния двумерной квантовой системы, тогда как внутренняя часть соответствует всем смешанным состояниям.

ты, v, ш представление

Вектор Блоха ${ displaystyle { vec {a}} = (u, v, w)}$ можно представить в следующем базисе со ссылкой на оператор плотности ${ displaystyle rho}$ :^[6]

{ displaystyle u = rho _ {10} + rho _ {01} = 2 operatorname {Re} ( rho _ {01})}

{ Displaystyle v = я ( rho _ {01} - rho _ {10}) = 2 operatorname {Im} ( rho _ {10})}

{ displaystyle w = rho _ {00} - rho _ {11}}

куда

{ displaystyle rho = { begin {pmatrix} rho _ {00} & rho _ {01} rho _ {10} & rho _ {11} end {pmatrix}} = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 + w & u-iv u + iv & 1-w end {pmatrix}}.}

Эта основа часто используется в лазер теория, где ${ displaystyle w}$ известен как инверсия населения.^[7]

Чистые состояния

Рассмотрим п-уровневая квантово-механическая система. Эта система описывается п-размерный Гильбертово пространство ЧАС_п. Пространство чистых состояний по определению представляет собой набор одномерных лучей ЧАС_п.

Теорема. Позволять U (п) быть Группа Ли унитарных матриц размера п. Тогда чистое пространство состояний ЧАС_п можно отождествить с компактным смежным пространством

{ displaystyle operatorname {U} (n) / ( operatorname {U} (n-1) times operatorname {U} (1)).}

Чтобы доказать этот факт, заметим, что существует естественный групповое действие из U (п) на множестве состояний ЧАС_п. Это действие непрерывно и переходный на чистых состояниях. Для любого государства ${ displaystyle | psi rangle}$ , то группа изотропии из ${ displaystyle | psi rangle}$ , (определяется как набор элементов ${ displaystyle g}$ из U (п) такие, что ${ displaystyle g | psi rangle = | psi rangle}$ ) изоморфна группе продуктов

{ displaystyle operatorname {U} (n-1) times operatorname {U} (1).}

В терминах линейной алгебры это можно обосновать следующим образом. Любой ${ displaystyle g}$ из U (п) что оставляет ${ displaystyle | psi rangle}$ инвариант должен иметь ${ displaystyle | psi rangle}$ как собственный вектор. Поскольку соответствующее собственное значение должно быть комплексным числом по модулю 1, это дает фактор U (1) группы изотропии. Другая часть группы изотропии параметризуется унитарными матрицами на ортогональном дополнении к ${ displaystyle | psi rangle}$ , которая изоморфна U (п - 1). Отсюда утверждение теоремы следует из основных фактов о транзитивных групповых действиях компактных групп.

Выше следует отметить важный факт: унитарная группа действует транзитивно на чистых состояниях.

Теперь (настоящий) измерение из U (п) является п². Это легко увидеть, поскольку экспоненциальное отображение

{ displaystyle A mapsto e ^ {iA}}

является локальным гомеоморфизмом пространства самосопряженных комплексных матриц в U (п). Пространство самосопряженных комплексных матриц имеет вещественную размерность п².

Следствие. Реальное измерение чистого пространства состояний ЧАС_п 2п − 2.

Фактически,

{ displaystyle n ^ {2} - left ((n-1) ^ {2} +1 right) = 2n-2. quad}

Применим это, чтобы рассмотреть реальную размерность м квантовый регистр кубита. Соответствующее гильбертово пространство имеет размерность 2^м.

Следствие. Реальное измерение чистого пространства состояний м-кубит квантовый регистр 2^м+1 − 2.

Построение чистых двухспинорных состояний с помощью стереографической проекции

Сфера Блоха с центром в начале

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}

. Пара точек на нем,

{ displaystyle left | uparrow right rangle}

и

{ displaystyle left | downarrow right rangle}

были выбраны за основу. Математически они ортогональны, хотя графически угол между ними равен π. В

{ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}

эти точки имеют координаты (0,0,1) и (0,0, −1). Произвольный спинор

{ displaystyle left | nearrow right rangle}

на сфере Блоха можно представить как уникальную линейную комбинацию двух базисных спиноров с коэффициентами, являющимися парой комплексных чисел; позвони им α и β. Пусть их соотношение будет

{ displaystyle u = { beta over alpha}}

, которое также является комплексным числом

{ displaystyle u_ {x} + iu_ {y}}

. Рассмотрим самолет z = 0, экваториальная плоскость сферы как бы комплексная, а точка ты нанесен на него как

{ Displaystyle (и_ {х}, и_ {у}, 0)}

. Пункт проекта ты стереографически на сферу Блоха вдали от Южного полюса - как бы - (0,0, −1). Проекция ведется на точку, отмеченную на сфере как

{ displaystyle left | nearrow right rangle}

.

Учитывая чистое состояние

{ displaystyle alpha left | uparrow right rangle + beta left | downarrow right rangle = left | nearrow right rangle}

куда ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle beta}$ - комплексные числа, нормализованные так, что

{ displaystyle | alpha | ^ {2} + | beta | ^ {2} = alpha ^ {*} alpha + beta ^ {*} beta = 1}

и такой, что ${ Displaystyle langle downarrow | uparrow rangle = 0}$ и ${ Displaystyle langle downarrow | downarrow rangle = langle uparrow | uparrow rangle = 1}$ , т. е. такие, что ${ displaystyle left | uparrow right rangle}$ и ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ образуют основу и имеют диаметрально противоположные представления на сфере Блоха, то пусть

{ displaystyle u = { beta over alpha} = { alpha ^ {*} beta over alpha ^ {*} alpha} = { alpha ^ {*} beta over | alpha | ^ {2}} = u_ {x} + iu_ {y}}

быть их соотношением.

Если рассматривать сферу Блоха как встроенную в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ с центром в начале координат и с радиусом один, то плоскость z = 0 (который пересекает сферу Блоха по большому кругу; как бы экватор сферы) можно рассматривать как Диаграмма Аргана. Сюжетная точка ты в этой плоскости - так что в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ у него есть координаты ${ Displaystyle (и_ {х}, и_ {у}, 0)}$ .

Проведите прямую линию через ты и через точку на сфере, которая представляет ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ . (Пусть (0,0,1) представляет ${ displaystyle left | uparrow right rangle}$ и (0,0, −1) представляют ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ .) Эта линия пересекает сферу в другой точке, кроме ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$ . (Единственное исключение - когда ${ displaystyle u = infty}$ , т.е. когда ${ Displaystyle альфа = 0}$ и ${ displaystyle beta neq 0}$ .) Назовите эту точку п. Точка ты на самолете z = 0 - это стереографическая проекция точки п на сфере Блоха. Вектор с хвостом в начале и вершиной в п направление в трехмерном пространстве, соответствующее спинору ${ displaystyle left | nearrow right rangle}$ . Координаты п находятся

{ displaystyle P_ {x} = {2u_ {x} более 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}}

{ displaystyle P_ {y} = {2u_ {y} более 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}}}

{ displaystyle P_ {z} = {1-u_ {x} ^ {2} -u_ {y} ^ {2} over 1 + u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2}} }

.

Примечание: математически сферу Блоха для двухспинорного состояния можно рассматривать как Сфера Римана или сложный 2-х мерный проективное гильбертово пространство, обозначаемый как ${ Displaystyle mathbb {P} mathbf {H} ^ {2}}$ . Комплекс 2-х мерный Гильбертово пространство ${ displaystyle mathbf {H} ^ {2}}$ (из которых ${ Displaystyle mathbb {P} mathbf {H} ^ {2}}$ является проекцией) является пространством представления ТАК (3).^[8]

Операторы плотности

Формулировки квантовой механики в терминах чистых состояний подходят для изолированных систем; в общем, квантово-механические системы необходимо описывать в терминах операторы плотности. Сфера Блоха параметризует не только чистые состояния, но и смешанные состояния для двухуровневых систем. Оператор плотности, описывающий смешанное состояние двухуровневой квантовой системы (кубита), соответствует точке внутри сфера Блоха со следующими координатами:

{ displaystyle left ( sum p_ {i} x_ {i}, sum p_ {i} y_ {i}, sum p_ {i} z_ {i} right),}

куда ${ displaystyle p_ {i}}$ - вероятность отдельных состояний в ансамбле, а ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}}$ - координаты отдельных состояний (на поверхность сферы Блоха). Набор всех точек на сфере Блоха и внутри нее известен как Бал Блоха.

Для состояний более высоких измерений трудно распространить это на смешанные состояния. Топологическое описание осложняется тем, что унитарная группа не действует транзитивно на операторы плотности. Более того, орбиты чрезвычайно разнообразны, как следует из следующего наблюдения:

Теорема. Предполагать А - оператор плотности на п квантово-механическая система с различными собственными значениями μ₁, ..., μ_k с кратностями п₁, ..., п_k. Тогда группа унитарных операторов V такой, что V A V* = А изоморфна (как группа Ли) группе Ли

{ displaystyle operatorname {U} (n_ {1}) times cdots times operatorname {U} (n_ {k}).}

В частности, орбита А изоморфен

{ displaystyle operatorname {U} (n) / left ( operatorname {U} (n_ {1}) times cdots times operatorname {U} (n_ {k}) right).}

Можно обобщить конструкцию шара Блоха на размеры больше 2, но геометрия такого «тела Блоха» более сложна, чем у шара.^[9]

Вращения

Полезным преимуществом представления сферы Блоха является то, что эволюция состояния кубита описывается вращениями сферы Блоха. Наиболее краткое объяснение того, почему это так, состоит в том, что алгебра Ли для группы унитарных и эрмитовых матриц ${ displaystyle SU (2)}$ изоморфна алгебре Ли группы трехмерных вращений ${ displaystyle SO (3)}$ .^[10]

Операторы вращения относительно базиса Блоха

Вращения сферы Блоха вокруг декартовых осей в базисе Блоха задаются выражением^[11]

{ Displaystyle { begin {align} R_ {x} ( theta) & = e ^ {(- i theta X / 2)} = cos ( theta / 2) Ii sin ( theta / 2) X = { begin {bmatrix} cos theta / 2 & -i sin theta / 2 - i sin theta / 2 & cos theta / 2 end {bmatrix}} R_ {y} ( theta) & = e ^ {(- i theta Y / 2)} = cos ( theta / 2) Ii sin ( theta / 2) Y = { begin {bmatrix} cos theta / 2 & - sin theta / 2 sin theta / 2 & cos theta / 2 end {bmatrix}} R_ {z} ( theta) & = e ^ {(- i theta Z / 2)} = cos ( theta / 2) Ii sin ( theta / 2) Z = { begin {bmatrix} e ^ {- i theta / 2} & 0 0 & e ^ {i theta / 2 } end {bmatrix}} end {выравнивается}}}

Вращения вокруг общей оси

Если ${ displaystyle { hat {n}} = (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})}$ является вещественным единичным вектором в трех измерениях, вращение сферы Блоха вокруг этой оси определяется выражением:

{ Displaystyle R _ { шляпа {n}} ( theta) = exp left (-i theta { hat {n}} cdot { frac {1} {2}} { vec { sigma }}верно)}

Интересно отметить, что это выражение при переименовании идентично расширенной формуле Эйлера для кватернионы.

{ displaystyle mathbf {q} = e ^ {{ frac {1} {2}} theta (u_ {x} mathbf {i} + u_ {y} mathbf {j} + u_ {z} mathbf {k})} = cos { frac { theta} {2}} + (u_ {x} mathbf {i} + u_ {y} mathbf {j} + u_ {z} mathbf {k }) sin { frac { theta} {2}}}

Вывод генератора вращения Блоха

Баллентин^[12] представляет собой интуитивный вывод для инфинитезимального унитарного преобразования. Это важно для понимания того, почему вращения блоховских сфер являются экспонентами линейных комбинаций Матрицы Паули. Поэтому здесь дается краткое описание этого вопроса. Более полное описание в квантовомеханическом контексте можно найти здесь.

Рассмотрим семейство унитарных операторов ${ displaystyle U}$ представляющий вращение вокруг некоторой оси. Поскольку вращение имеет одну степень свободы, оператор действует на поле скаляров ${ displaystyle S}$ такой, что:

{ Displaystyle U (0) = I}

{ Displaystyle U (s_ {1} + s_ {2}) = U (s_ {1}) U (s_ {2})}

Где ${ displaystyle 0, s_ {1}, s_ {2}, in S}$

Мы определяем бесконечно малую унитарную как разложение Тейлора, усеченное во втором порядке.

{ Displaystyle U (s) = I + { frac {dU} {dS}} { Bigg |} _ {s = 0} s + O left (s ^ {2} right)}

По унитарному условию:

{ Displaystyle U ^ { dagger} U = I}

Следовательно

{ displaystyle U ^ { dagger} U = I + s left ({ frac {dU} {dS}} + { frac {dU ^ { dagger}} {ds}} right) + O left (s ^ {2} right) = I}

Для выполнения этого равенства (при условии, что ${ Displaystyle О влево (s ^ {2} вправо)}$ незначительно) мы требуем

{ displaystyle { frac {dU} {dS}} + { frac {dU ^ { dagger}} {ds}} = 0}

.

Это приводит к решению формы:

{ displaystyle { frac {dU} {ds}} = iK}

Где ${ displaystyle K}$ является унитарным эрмитовым преобразованием и называется генератором унитарного семейства.

Следовательно:

{ Displaystyle U (s) = е ^ {iKs}}

Поскольку матрицы Паули ${ displaystyle ( sigma _ {x}, sigma _ {y}, sigma _ {z})}$ являются унитарными эрмитовыми матрицами и имеют собственные векторы, соответствующие блоховскому базису, ${ displaystyle ({ hat {x}}, { hat {y}}, { hat {z}})}$ , естественно видеть, как вращение сферы Блоха вокруг произвольной оси ${ Displaystyle { шляпа {п}}}$ описывается