Параметры Стокса - Stokes parameters

В Параметры Стокса представляют собой набор значений, описывающих поляризация состояние электромагнитное излучение. Они были определены Джордж Габриэль Стоукс в 1852 г.,^[1]^[2] в качестве математически удобной альтернативы более распространенному описанию бессвязный или частично поляризованное излучение с точки зрения его полного интенсивность (я), (дробное) степень поляризации (п), а параметры формы эллипс поляризации. Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить, построив вектор Стокса для входящего света и применив Исчисление Мюллера, чтобы получить вектор Стокса света, покидающего систему. Оригинальная статья Стокса была открыта независимо Фрэнсис Перрин в 1942 г.^[3] и по Субрахаманян Чандрасекар в 1947 г.^[4]^[5], который назвал его параметрами Стокса.

Определения

Эллипс поляризации, показывающий связь с Сфера Пуанкаре параметры ψ и χ.

В Сфера Пуанкаре - параметризация трех последних параметров Стокса в сферические координаты.

Изображение состояний поляризации на сфере Пуанкаре

Связь параметров Стокса S₀, S₁, S₂, S₃ к параметрам эллипса интенсивности и поляризации показано в уравнениях ниже и на рисунке справа.

{ Displaystyle { begin {align} S_ {0} & = I S_ {1} & = Ip cos 2 psi cos 2 chi S_ {2} & = IP sin 2 psi cos 2 chi S_ {3} & = Ip sin 2 chi end {выровнено}}}

Здесь ${ displaystyle Ip}$ , ${ displaystyle 2 psi}$ и ${ displaystyle 2 chi}$ являются сферические координаты трехмерного вектора декартовы координаты ${ displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3})}$ . ${ displaystyle I}$ - полная интенсивность пучка, а ${ displaystyle p}$ степень поляризации, ограниченная ${ displaystyle 0 leq p leq 1}$ . Фактор два до ${ displaystyle psi}$ представляет собой тот факт, что любой эллипс поляризации неотличим от эллипса, повернутого на 180 °, в то время как множитель два перед ${ displaystyle chi}$ указывает на то, что эллипс неотличим от эллипса, длина полуосей которого поменяна местами, что сопровождается поворотом на 90 °. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначают я, Q, U и V, соответственно.

Учитывая параметры Стокса, можно решить для сферические координаты со следующими уравнениями:

{ displaystyle { begin {align} I & = S_ {0} p & = { frac { sqrt {S_ {1} ^ {2} + S_ {2} ^ {2} + S_ {3} ^ { 2}}} {S_ {0}}} 2 psi & = mathrm {arctan} { frac {S_ {2}} {S_ {1}}} 2 chi & = mathrm {arctan } { frac {S_ {3}} { sqrt {S_ {1} ^ {2} + S_ {2} ^ {2}}}} конец {выровнено}}}

Векторы Стокса

Параметры Стокса часто объединяются в вектор, известный как Вектор Стокса:

{ Displaystyle { vec {S}} = { begin {pmatrix} S_ {0} S_ {1} S_ {2} S_ {3} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} I Q U V end {pmatrix}}}

Вектор Стокса охватывает Космос неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения Вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с последовательный свет. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительными система координат площади, а были выбраны потому, что их легко измерить или рассчитать.

Обратите внимание на неоднозначный знак для ${ displaystyle V}$ компонент в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз по лучу в сторону источника (противоположное направлению распространения света), либо при взгляде вниз по лучу в сторону от источника (совпадающему с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам для ${ displaystyle V}$ , и конвенция должна быть выбрана и соблюдена.

Примеры

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для общих состояний поляризации света.

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 1 0 0 end {pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (горизонтальный)
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 - 1 0 0 end {pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (вертикальный)
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 1 0 end {pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (+ 45 °)
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 - 1 0 end {pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (-45 °)
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 1 end {pmatrix}}}$	Правая круговая поляризация
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 - 1 end {pmatrix}}}$	Левая круговая поляризация
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 0 0 0 end {pmatrix}}}$	Неполяризованный

Альтернативное объяснение

А монохромный плоская волна определяется его вектор распространения, ${ displaystyle { vec {k}}}$ , а комплексные амплитуды из электрическое поле, ${ displaystyle E_ {1}}$ и ${ displaystyle E_ {2}}$ , в основа ${ Displaystyle ({ шляпа { epsilon}} _ {1}, { шляпа { epsilon}} _ {2})}$ . Пара ${ displaystyle (E_ {1}, E_ {2})}$ называется Вектор Джонса. В качестве альтернативы можно указать вектор распространения, фаза, ${ displaystyle phi}$ , а состояние поляризации ${ displaystyle Psi}$ , где ${ displaystyle Psi}$ кривая электрического поля как функция времени в фиксированной плоскости. Наиболее известные состояния поляризации - линейное и круговое, которые выродиться случаи самого общего состояния, эллипс.

Один из способов описать поляризацию - дать полу-мажор и полу-минор оси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. рисунок выше). Параметры Стокса ${ displaystyle I}$ , ${ displaystyle Q}$ , ${ displaystyle U}$ , и ${ displaystyle V}$ , предоставляют альтернативное описание состояния поляризации, которое удобно с экспериментальной точки зрения, поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеряемых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях.

Определения

Параметры Стокса определяются^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle { begin {align} I & Equiv langle E_ {x} ^ {2} rangle + langle E_ {y} ^ {2} rangle & = langle E_ {a} ^ {2 } rangle + langle E_ {b} ^ {2} rangle & = langle E_ {r} ^ {2} rangle + langle E_ {l} ^ {2} rangle, Q & Equiv langle E_ {x} ^ {2} rangle - langle E_ {y} ^ {2} rangle, U & Equiv langle E_ {a} ^ {2} rangle - langle E_ {b } ^ {2} rangle, V & Equiv langle E_ {r} ^ {2} rangle - langle E_ {l} ^ {2} rangle. End {align}}}

где нижние индексы относятся к трем различным базам пространства Джонс векторов: стандарт Декартова основа ( ${ displaystyle { hat {x}}, { hat {y}}}$ ), декартов базис, повернутый на 45 ° ( ${ displaystyle { hat {a}}, { hat {b}}}$ ) и круговой основы ( ${ displaystyle { hat {l}}, { hat {r}}}$ ). Круговой базис определяется так, что ${ displaystyle { hat {l}} = ({ hat {x}} + я { hat {y}}) / { sqrt {2}}}$ .

Символы ⟨⋅⟩ обозначают ожидаемые значения. Свет можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в пространстве C² из Джонс векторов ${ displaystyle (E_ {1}, E_ {2})}$ . Любое данное измерение дает определенную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между разными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь я > 0 но Q = U = V = 0, что свидетельствует об отсутствии преобладающего типа поляризации. Убедительная форма волны изображена в статье на согласованность.

Противоположным ему будет идеально поляризованный свет, который, кроме того, имеет фиксированную неизменяющуюся амплитуду - чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной с единственным возможным значением, скажем ${ displaystyle (E_ {1}, E_ {2})}$ . В этом случае можно заменить скобки полосами абсолютных значений, получив четко определенную квадратичную карту.^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle { begin {matrix} I Equiv | E_ {x} | ^ {2} + | E_ {y} | ^ {2} = | E_ {a} | ^ {2} + | E_ {b} | ^ {2} = | E_ {r} | ^ {2} + | E_ {l} | ^ {2} Q Equiv | E_ {x} | ^ {2} - | E_ {y} | ^ {2}, U Equiv | E_ {a} | ^ {2} - | E_ {b} | ^ {2}, V Equiv | E_ {r} | ^ {2} - | E_ { l} | ^ {2}. end {matrix}}}

от векторов Джонса к соответствующим векторам Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта принимает свой образ в конусе, определяемом |я |² = |Q |² + |U |² + |V |², где чистота состояния удовлетворяет п = 1 (см. Ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

Представления в фиксированных базах

В фиксированной ( ${ displaystyle { hat {x}}, { hat {y}}}$ ), параметры Стокса при использовании возрастающее фазовое соглашение находятся

{ displaystyle { begin {align} I & = | E_ {x} | ^ {2} + | E_ {y} | ^ {2}, Q & = | E_ {x} | ^ {2} - | E_ {y} | ^ {2}, U & = 2 mathrm {Re} (E_ {x} E_ {y} ^ {*}), V & = - 2 mathrm {Im} (E_ {x} E_ {y} ^ {*}), конец {выровнено}}}

в то время как для ${ displaystyle ({ hat {a}}, { hat {b}})}$ , они есть

{ displaystyle { begin {align} I & = | E_ {a} | ^ {2} + | E_ {b} | ^ {2}, Q & = - 2 mathrm {Re} (E_ {a} ^ {*} E_ {b}), U & = | E_ {a} | ^ {2} - | E_ {b} | ^ {2}, V & = 2 mathrm {Im} (E_ {a} ^ {*} E_ {b}). конец {выровнено}}}

и для ${ displaystyle ({ hat {l}}, { hat {r}})}$ , они есть

{ displaystyle { begin {align} I & = | E_ {l} | ^ {2} + | E_ {r} | ^ {2}, Q & = 2 mathrm {Re} (E_ {l} ^ { *} E_ {r}), U & = - 2 mathrm {Im} (E_ {l} ^ {*} E_ {r}), V & = | E_ {r} | ^ {2} - | E_ {l} | ^ {2}. конец {выровнено}}}

Характеристики

Для чисто монохромный последовательный излучения, из приведенных выше уравнений следует, что

{ displaystyle Q ^ {2} + U ^ {2} + V ^ {2} = I ^ {2},}

тогда как для всего (некогерентного) излучения пучка параметры Стокса определяются как усредненные величины, а предыдущее уравнение становится неравенством:^[6]

{ displaystyle Q ^ {2} + U ^ {2} + V ^ {2} leq I ^ {2}.}

Однако мы можем определить полную интенсивность поляризации ${ displaystyle I_ {p}}$ , так что

{ displaystyle Q ^ {2} + U ^ {2} + V ^ {2} = I_ {p} ^ {2},}

где ${ displaystyle I_ {p} / I}$ - полная доля поляризации.

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

{ Displaystyle { begin {align} L & Equiv | L | e ^ {i2 theta} & Equiv Q + iU. конец {выровнено}}}

Под ротацией ${ displaystyle theta rightarrow theta + theta '}$ эллипса поляризации, можно показать, что ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle V}$ инвариантны, но

{ displaystyle { begin {align} L & rightarrow e ^ {i2 theta '} L, Q & rightarrow { mbox {Re}} left (e ^ {i2 theta'} L right), U & rightarrow { mbox {Im}} left (e ^ {i2 theta '} L right). конец {выровнено}}}

Обладая этими свойствами, параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенных интенсивности:

{ displaystyle { begin {align} I & geq 0, V & in mathbb {R}, L & in mathbb {C}, end {align}}}

где ${ displaystyle I}$ - общая интенсивность, ${ displaystyle | V |}$ - интенсивность круговой поляризации, а ${ displaystyle | L |}$ - интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна ${ displaystyle I_ {p} = { sqrt {| L | ^ {2} + | V | ^ {2}}}}$ , а ориентация и направление вращения задаются формулами

{ displaystyle { begin {align} theta & = { frac {1} {2}} arg (L), h & = operatorname {sgn} (V). end {align}} }

С ${ Displaystyle Q = { mbox {Re}} (L)}$ и ${ Displaystyle U = { mbox {Im}} (L)}$ , у нас есть

{ displaystyle { begin {align} | L | & = { sqrt {Q ^ {2} + U ^ {2}}}, theta & = { frac {1} {2}} tan ^ {- 1} (U / Q). конец {выровнен}}}

Связь с эллипсом поляризации

В терминах параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

{ displaystyle { begin {align} I_ {p} & = A ^ {2} + B ^ {2}, Q & = (A ^ {2} -B ^ {2}) cos (2 theta ), U & = (A ^ {2} -B ^ {2}) sin (2 theta), V & = 2ABh. конец {выровнено}}}

Обращение предыдущего уравнения дает

{ displaystyle { begin {align} A & = { sqrt {{ frac {1} {2}} (I_ {p} + | L |)}} B & = { sqrt {{ frac {1 } {2}} (I_ {p} - | L |)}} theta = & { frac {1} {2}} arg (L) h & = operatorname {sgn} (V) . конец {выровнен}}}

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями

С геометрической и алгебраической точек зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым выпуклым 4-вещественным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C². Параметр я служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора являются простыми линейными функциями четырех параметров я, Q, U, V, служащая коэффициентами в линейной комбинации Операторы Стокса. Собственные значения и собственные векторы оператора могут быть вычислены из параметров эллипса поляризации я, п, ψ, χ.

Параметры Стокса с я равным 1 (т.е.операторы следа 1) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным трехмерным шаром смешанные государства (или же операторы плотности ) квантового пространства C², границей которого является Сфера Блоха. В Джонс векторов соответствуют нижележащему пространству C², то есть (ненормализованный) чистые состояния той же системы. Обратите внимание, что фазовая информация теряется при переходе от чистого состояния | φ⟩ к соответствующему смешанному состоянию | φ⟩⟨φ |, точно так же, как она теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

Смотрите также

Примечания

^ Стокс, Г. Г. (1852). О составе и разрешении потоков поляризованного света от разных источников. Труды Кембриджского философского общества, 9, 399.
^ С. Чандрасекар 'Перенос излучения, Dover Publications, Нью-Йорк, 1960, ISBN 0-486-60590-6, стр.25
^ Перрин, Ф. (1942). Поляризация света, рассеянного изотропными опалесцирующими средами. Журнал химической физики, 10 (7), 415-427.
^ "С. Чандрасекар - Сессия II". Устные интервью по истории. AIP. 18 мая 1977 г.
^ Чандрасекхар, С. (1947). Перенос излучения в звездных атмосферах. Бюллетень Американского математического общества, 53 (7), 641-711.
^ Х. К. ван де Хюльст Рассеяние света мелкими частицами, Dover Publications, Нью-Йорк, 1981, ISBN 0-486-64228-3, стр. 42

внешняя ссылка

[1] Стокс, Г. Г. (1852). О составе и разрешении потоков поляризованного света от разных источников. Труды Кембриджского философского общества, 9, 399.

[2] С. Чандрасекар 'Перенос излучения, Dover Publications, Нью-Йорк, 1960, ISBN 0-486-60590-6, стр.25

[3] Перрин, Ф. (1942). Поляризация света, рассеянного изотропными опалесцирующими средами. Журнал химической физики, 10 (7), 415-427.

[4] "С. Чандрасекар - Сессия II". Устные интервью по истории. AIP. 18 мая 1977 г.

[5] Чандрасекхар, С. (1947). Перенос излучения в звездных атмосферах. Бюллетень Американского математического общества, 53 (7), 641-711.

[6] Х. К. ван де Хюльст Рассеяние света мелкими частицами, Dover Publications, Нью-Йорк, 1981, ISBN 0-486-64228-3, стр. 42

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Параметры Стокса - Stokes parameters

Содержание

Определения

Векторы Стокса

Примеры

Альтернативное объяснение

Определения

Представления в фиксированных базах

Характеристики

Связь с эллипсом поляризации

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка