Пересечение (евклидова геометрия) - Intersection (Euclidean geometry)

Эта статья должна быть кратко изложена в Пересечение (математика) и ссылку, предоставленную отсюда сюда, используя {{Главный}} }} шаблон. См. Руководство в Википедия: стиль резюме. (Ноябрь 2020)

В геометрия, пересечение - точка, линия или кривая, общая для двух или более объектов (таких как линии, кривые, плоскости и поверхности). Самый простой случай в Евклидова геометрия является пересечением двух различных линии, который либо один точка или не существует, если строки параллельно.

Красная точка представляет собой точку пересечения двух линий.

Определение пересечения квартиры - линейные геометрические объекты, встроенные в высшееразмерный пространство - простая задача линейная алгебра, а именно решение система линейных уравнений. Как правило, определение перекрестка приводит к нелинейные уравнения, который может быть решено численно, например, используя Итерация Ньютона. Проблемы с пересечением линии и коническая секция (круг, эллипс, парабола и т. д.) или квадрика (сфера, цилиндр, гиперболоид и т. д.) приводят к квадратные уравнения это можно легко решить. Пересечения квадрик приводят к уравнения четвертой степени это можно решить алгебраически.

На плоскости

Две строки

Для определения точки пересечения двух непараллельных прямых

${ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y = c_ {1}, a_ {2} x + b_ {2} y = c_ {2}}$

один получает, от Правило Крамера или подставив переменную, координаты точки пересечения ${ displaystyle (x_ {s}, y_ {s})}$ :

${ displaystyle x_ {s} = { frac {c_ {1} b_ {2} -c_ {2} b_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} , quad y_ {s} = { frac {a_ {1} c_ {2} -a_ {2} c_ {1}} {a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}}} . }$

(Если ${ displaystyle a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} = 0}$ линии параллельны, и эти формулы нельзя использовать, потому что они предполагают деление на 0.)

Два отрезка линии

Было предложено, чтобы этот раздел был расколоть в другую статью под названием Пересечение отрезка прямой. (Обсуждать) (Ноябрь 2020 г.)

Пересечение двух отрезков прямой

Для двух непараллельных отрезки линии ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ и ${ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}), (x_ {4}, y_ {4})}$ точка пересечения не обязательно должна быть (см. диаграмму), потому что точка пересечения ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ соответствующих линий не обязательно должны содержаться в сегментах линии. Для проверки ситуации используются параметрические представления линий:

${ displaystyle (x (s), y (s)) = (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}), y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1}) )),}$

${ displaystyle (x (t), y (t)) = (x_ {3} + t (x_ {4} -x_ {3}), y_ {3} + t (y_ {4} -y_ {3}) )).}$

Отрезки пересекаются только в общей точке ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ соответствующих строк, если соответствующие параметры ${ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ выполнить условие ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$. Параметры ${ displaystyle s_ {0}, t_ {0}}$ являются решением линейной системы

${ displaystyle s (x_ {2} -x_ {1}) - t (x_ {4} -x_ {3}) = x_ {3} -x_ {1},}$

${ displaystyle s (y_ {2} -y_ {1}) - t (y_ {4} -y_ {3}) = y_ {3} -y_ {1} .}$

Это можно решить за s и т используя правило Крамера (см. над ). Если условие ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$ выполняется одна вставка ${ displaystyle s_ {0}}$ или же ${ displaystyle t_ {0}}$ в соответствующее параметрическое представление и получает точку пересечения ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$.

Пример: Для отрезков линии ${ Displaystyle (1,1), (3,2)}$ и ${ Displaystyle (1,4), (2, -1)}$ получается линейная система

${ displaystyle 2s-t = 0}$

${ displaystyle s + 5t = 3}$

и ${ displaystyle s_ {0} = { tfrac {3} {11}}, t_ {0} = { tfrac {6} {11}}}$. Это означает: линии пересекаются в точке ${ displaystyle ({ tfrac {17} {11}}, { tfrac {14} {11}})}$.

Замечание: Рассматривая прямые, а не отрезки, определяемые парами точек, каждое условие ${ displaystyle 0 leq s_ {0}, t_ {0} leq 1}$ можно отбросить, и метод дает точку пересечения линий (см. над ).

Пересечение прямой и окружности

Линия и круг

Для пересечения

• линия ${ displaystyle ax + by = c}$ и круг ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$

один решает линейное уравнение для Икс или же у и заменители в уравнение окружности и попадает за решение (по формуле квадратного уравнения) ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ с

${ displaystyle x_ {1/2} = { frac {ac pm b { sqrt {r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}} { а ^ {2} + Ь ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle y_ {1/2} = { frac {bc mp a { sqrt {r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}} { а ^ {2} + Ь ^ {2}}} ,}$

если ${ displaystyle r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2} geq 0 .}$ Если это условие выполняется при строгом неравенстве, то есть две точки пересечения; в этом случае линия называется секущая линия круга, а отрезок, соединяющий точки пересечения, называется аккорд круга.

Если ${ displaystyle r ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2} = 0}$ существует только одна точка пересечения и прямая касается окружности. Если слабое неравенство не выполняется, линия не пересекает окружность.

Если середина круга не является началом координат, см.^[1] Аналогично можно рассматривать пересечение прямой и параболы или гиперболы.

Два круга

Определение точек пересечения двух окружностей

• ${ displaystyle (x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} = r_ {1} ^ {2}, quad (x-x_ {2}) ^ {2} + (г-г_ {2}) ^ {2} = г_ {2} ^ {2}}$

можно свести к предыдущему случаю пересечения прямой и окружности. Вычитанием двух данных уравнений получается линейное уравнение:

${ displaystyle 2 (x_ {2} -x_ {1}) x + 2 (y_ {2} -y_ {1}) y = r_ {1} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}.}$

Эта специальная строка радикальная линия из двух кругов.

Пересечение двух окружностей с центрами на оси абсцисс, их радикальная линия темно-красного цвета

Особый случай ${ displaystyle ; x_ {1} = y_ {1} = y_ {2} = 0}$ :
В этом случае начало координат - это центр первого круга, а второй центр лежит на оси x (см. Диаграмму). Уравнение радикальной прямой упрощается до ${ displaystyle ; 2x_ {2} x = r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} ;}$ а точки пересечения можно записать как ${ displaystyle (x_ {0}, pm y_ {0})}$ с

${ displaystyle x_ {0} = { frac {r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + x_ {2} ^ {2}} {2x_ {2}}}, quad y_ {0} = { sqrt {r_ {1} ^ {2} -x_ {0} ^ {2}}} .}$

В случае ${ displaystyle r_ {1} ^ {2}$ у кругов нет общих точек.
В случае ${ displaystyle r_ {1} ^ {2} = x_ {0} ^ {2}}$ окружности имеют одну общую точку, а коренная прямая является общей касательной.

Любой общий случай, описанный выше, можно превратить сдвигом и поворотом в частный.

Пересечение двух диски (внутренности двух кругов) образует форму, называемую линза.

пересечение круга и эллипса

Две конические секции

Проблема пересечения эллипса / гиперболы / параболы с другим коническая секция приводит к система квадратных уравнений, которая в частных случаях легко решается исключением одной координаты. Специальные свойства конических сечений могут быть использованы для получения решение. В общем, точки пересечения могут быть определены путем решения уравнения итерацией Ньютона. Если a) обе коники заданы неявно (посредством уравнения), необходима 2-мерная итерация Ньютона; b) одна неявно, а другая параметрически задана 1-мерной итерацией Ньютона. См. Следующий раздел.

Две плавные кривые

Трансверсальное пересечение двух кривых

касание перекрестка (слева), касание (справа)

Две кривые в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ (двумерное пространство), которые непрерывно дифференцируемы (т.е.нет резкого изгиба), имеют точку пересечения, если они имеют общую точку плоскости и имеют в этой точке

a: разные касательные (поперечный пересечение), или же

b: касательная общая, и они пересекают друг друга (касающийся перекресткасм. диаграмму).

Если обе кривые имеют точку S и касательная там общая, но не пересекаются, они просто трогательный в точке S.

Поскольку касание перекрестков возникает редко и с ними трудно справиться, следующие соображения не учитывают этот случай. В любом случае ниже предполагаются все необходимые дифференциальные условия. Определение точек пересечения всегда приводит к одному или двум нелинейным уравнениям, которые можно решить итерацией Ньютона. Список возникающих случаев следующий:

пересечение параметрической кривой и неявной кривой

пересечение двух неявных кривых

• Если обе кривые явно данный: ${ displaystyle y = f_ {1} (x), y = f_ {2} (x)}$, приравнивая их, получаем уравнение

${ displaystyle f_ {1} (x) = f_ {2} (x) .}$

• Если обе кривые параметрически данный: ${ Displaystyle C_ {1} :( x_ {1} (t), y_ {1} (t)), C_ {2} :( x_ {2} (s), y_ {2} (s)). }$

Приравнивая их, получаем два уравнения с двумя переменными:

${ displaystyle x_ {1} (t) = x_ {2} (s), y_ {1} (t) = y_ {2} (s) .}$

• Если одна кривая параметрически, а другая неявно данный: ${ Displaystyle C_ {1} :( x_ {1} (t), y_ {1} (t)), C_ {2}: f (x, y) = 0.}$

Это самый простой случай помимо явного. Нужно вставить параметрическое представление ${ displaystyle C_ {1}}$ в уравнение ${ displaystyle f (x, y) = 0}$ кривой ${ displaystyle C_ {2}}$ и получается уравнение:

${ Displaystyle е (х_ {1} (т), у_ {2} (т)) = 0 .}$

• Если обе кривые неявно данный: ${ displaystyle C_ {1}: f_ {1} (x, y) = 0, C_ {2}: f_ {2} (x, y) = 0.}$

Здесь точка пересечения - это решение системы

${ displaystyle f_ {1} (x, y) = 0, f_ {2} (x, y) = 0 .}$

Любая итерация Ньютона требует удобных начальных значений, которые можно получить путем визуализации обеих кривых. Параметрически или явно заданную кривую можно легко визуализировать, потому что для любого параметра т или же Икс соответственно легко вычислить соответствующую точку. Для неявно заданных кривых эта задача не так проста. В этом случае необходимо определить точку кривой с помощью начальных значений и итерации. Видеть.^[2]

Примеры:

1: ${ Displaystyle C_ {1} :( т, т ^ {3})}$ и круг ${ displaystyle C_ {2} :( x-1) ^ {2} + (y-1) ^ {2} -10 = 0}$ (см. диаграмму).

Итерация Ньютона ${ displaystyle t_ {n + 1}: = t_ {n} - { frac {f (t_ {n})} {f '(t_ {n})}}}$ для функции

${ Displaystyle е (т) = (т-1) ^ {2} + (т ^ {3} -1) ^ {2} -10}$ должно быть сделано. В качестве начальных значений можно выбрать -1 и 1,5.

Точки пересечения: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:${ displaystyle C_ {1}: f_ {1} (x, y) = x ^ {4} + y ^ {4} -1 = 0,}$

${ displaystyle C_ {2}: f_ {2} (x, y) = (x-0,5) ^ {2} + (y-0,5) ^ {2} -1 = 0}$ (см. диаграмму).

Итерация Ньютона

${ displaystyle {x_ {n + 1} choose y_ {n + 1}} = {x_ {n} + delta _ {x} choose y_ {n} + delta _ {y}}}$ должен быть выполнен, где ${ displaystyle { delta _ {x} choose delta _ {y}}}$ является решением линейной системы

${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac { partial f_ {1}} { partial x}} & { frac { partial f_ {1}} { partial y}} { frac { partial f_ {2}} { partial x}} & { frac { partial f_ {2}} { partial y}} end {pmatrix}} { delta _ {x} choose delta _ { y}} = {- f_ {1} choose -f_ {2}}}$ в точке ${ displaystyle (x_ {n}, y_ {n})}$. В качестве начальных значений можно выбрать (-0,5, 1) и (1, -0,5).

Линейная система может быть решена по правилу Крамера.

Точки пересечения: (-0,3686, 0,9953) и (0,9953, -0,3686).

Два полигона

пересечение двух полигонов: тест окна

Если кто-то хочет определить точки пересечения двух полигоны, можно проверить пересечение любой пары отрезков линий многоугольников (см. над ). Для многоугольников с большим количеством сегментов этот метод довольно трудоемкий. На практике алгоритм пересечения ускоряется с помощью оконные тесты. В этом случае можно разделить многоугольники на небольшие подполигоны и определить наименьшее окно (прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат) для любого подполигона. Перед тем как начать трудоемкое определение точки пересечения двух отрезков линии, любая пара окон проверяется на наличие общих точек. Видеть.^[3]

В космосе (три измерения)

В трехмерном пространстве есть точки пересечения (общие точки) между кривыми и поверхностями. В следующих разделах мы рассмотрим поперечный пересечение Только.

Линия и самолет

Пересечение прямой и плоскости

Пересечение прямой и плоскости в общая позиция в трех измерениях - это точка.

Обычно линия в пространстве представляется параметрически. ${ Displaystyle (х (т), у (т), z (т))}$ а самолет - уравнением ${ displaystyle ax + by + cz = d}$. Вставка представления параметра в уравнение приводит к линейному уравнению

${ Displaystyle топор (т) + по (т) + cz (т) = д ,}$

для параметра ${ displaystyle t_ {0}}$ точки пересечения ${ Displaystyle (х (t_ {0}), y (t_ {0}), z (t_ {0}))}$.

Если линейное уравнение не имеет решения, прямая либо лежит на плоскости, либо параллельна ей.

Три самолета

Если линия определяется двумя пересекающимися плоскостями ${ displaystyle varepsilon _ {i}: { vec {n}} _ {i} cdot { vec {x}} = d_ {i}, i = 1,2}$ и должен пересекаться третьей плоскостью ${ displaystyle varepsilon _ {3}: { vec {n}} _ {3} cdot { vec {x}} = d_ {3}}$необходимо оценить общую точку пересечения трех плоскостей.

Три самолета ${ displaystyle varepsilon _ {i}: { vec {n}} _ {i} cdot { vec {x}} = d_ {i}, i = 1,2,3}$ с линейно независимыми нормальными векторами ${ displaystyle { vec {n}} _ {1}, { vec {n}} _ {2}, { vec {n}} _ {3}}$ иметь точку пересечения

${ displaystyle { vec {p}} _ {0} = { frac {d_ {1} ({ vec {n}} _ {2} times { vec {n}} _ {3}) + d_ {2} ({ vec {n}} _ {3} times { vec {n}} _ {1}) + d_ {3} ({ vec {n}} _ {1} times { vec {n}} _ {2})} {{ vec {n}} _ {1} cdot ({ vec {n}} _ {2} times { vec {n}} _ {3 })}} .}$

Для доказательства следует установить ${ displaystyle { vec {n}} _ {i} cdot { vec {p}} _ {0} = d_ {i}, i = 1,2,3,}$ используя правила скалярное тройное произведение. Если скалярное тройное произведение равно 0, то плоскости либо не имеют тройного пересечения, либо это линия (или плоскость, если все три плоскости одинаковы).

Кривая и поверхность

пересечение кривой ${ Displaystyle (т, т ^ {2}, т ^ {3})}$ с поверхностью ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$

Аналогично плоскому случаю следующие случаи приводят к нелинейным системам, которые могут быть решены с использованием 1- или 3-мерной итерации Ньютона.^[4]

• параметрическая кривая ${ Displaystyle С: (х (т), у (т), z (т))}$ и

параметрическая поверхность ${ Displaystyle S: (Икс (и, v), Y (и, v), z (и, v)) ,}$

• параметрическая кривая ${ Displaystyle С: (х (т), у (т), z (т))}$ и

неявная поверхность ${ Displaystyle S: е (х, y, z) = 0 .}$

Пример:

параметрическая кривая ${ Displaystyle C: (т, т ^ {2}, т ^ {3})}$ и

неявная поверхность ${ displaystyle S: x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} -1 = 0}$ (s. изображение).

Точки пересечения: (-0,8587, 0,7374, -0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

А пересечение линии и сферы это простой частный случай.

Как и в случае линии и плоскости, пересечение кривой и поверхности в общая позиция состоит из дискретных точек, но кривая может частично или полностью содержаться на поверхности.

Линия и многогранник

Две поверхности

Две трансверсально пересекающиеся поверхности дают кривая пересечения. Самый простой случай - линия пересечения двух непараллельных плоскостей.

Смотрите также

• Вычислительная геометрия
• Уравнение линии

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Николас М. Патрикалакис и Такаши Маэкава, Опрос формы для автоматизированного проектирования и производства, Springer, 2002 г., ISBN  3540424547, 9783540424543, стр. 408. [1]