Комплексная дифференциальная форма - Complex differential form

В математика, а комплексная дифференциальная форма это дифференциальная форма на многообразие (обычно комплексное многообразие ), которому разрешено иметь сложный коэффициенты.

Сложные формы находят широкое применение в дифференциальная геометрия. На сложных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраическая геометрия, Кэлерова геометрия, и Теория Ходжа. Над некомплексными многообразиями они также играют роль в изучении почти сложные конструкции, теория спиноры, и Структуры CR.

Обычно сложные формы рассматриваются из-за некоторой желательной декомпозиции, которую они допускают. Например, на комплексном многообразии любой комплексный k-форму можно однозначно разложить на сумму так называемых (п,q) -формы: примерно, клинья п дифференциалы голоморфных координат с q дифференциалы их комплексно сопряженных. Ансамбль (п,q) -формы становятся примитивным объектом изучения и определяют более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k-форм. Даже более тонкие структуры существуют, например, в случаях, когда Теория Ходжа применяется.

Дифференциальные формы на комплексном многообразии

Предположим, что M это комплексное многообразие сложного измерения п. Тогда есть местный система координат состоящий из п комплексные функции z¹, ..., z^п такие, что переходы координат от одного патча к другому голоморфные функции этих переменных. Пространство сложных форм имеет богатую структуру, которая в основном зависит от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкий; плавный.

Единые формы

Начнем со случая одноформ. Сначала разложите комплексные координаты на их действительную и мнимую части: z^j=Икс^j+иу^j для каждого j. Сдача

${ displaystyle dz ^ {j} = dx ^ {j} + idy ^ {j}, quad d { bar {z}} ^ {j} = dx ^ {j} -idy ^ {j},}$

видно, что любую дифференциальную форму с комплексными коэффициентами можно однозначно записать в виде суммы

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} left (f_ {j} dz ^ {j} + g_ {j} d { bar {z}} ^ {j} right).}$

Пусть Ω^1,0 - пространство сложных дифференциальных форм, содержащее только ${ displaystyle dz}$s и Ω^0,1 быть пространством форм, содержащим только ${ displaystyle d { bar {z}}}$с. Можно показать по Уравнения Коши – Римана, что пространства Ω^1,0 и Ω^0,1 устойчивы относительно голоморфных замен координат. Другими словами, если сделать другой выбор ш_я голоморфной системы координат, то элементы Ω^1,0 преобразовать напряженно, как и элементы из Ω^0,1. Таким образом, пространства Ω^0,1 и Ω^1,0 определить сложный векторные пакеты на комплексном многообразии.

Формы высшей степени

Произведение клина сложных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Позволять п и q - пара неотрицательных целых чисел ≤ п. Пространство Ω^{р, д} из (п,q) -форм определяется взятием линейных комбинаций клиновидных произведений п элементы из Ω^1,0 и q элементы из Ω^0,1. Символично,

${ displaystyle Omega ^ {p, q} = underbrace { Omega ^ {1,0} wedge dotsb wedge Omega ^ {1,0}} _ {p { text {times}}} клин underbrace { Omega ^ {0,1} wedge dotsb wedge Omega ^ {0,1}} _ {q { text {times}}}}$

где есть п факторы Ω^1,0 и q факторы Ω^0,1. Так же, как и два пространства 1-форм, они устойчивы относительно голоморфных замен координат и, таким образом, определяют векторные расслоения.

Если E^k - пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент E^k однозначно выражается как линейная комбинация элементов из пространств Ω^{р, д} с п+q=k. Более лаконично, есть прямая сумма разложение

${ Displaystyle E ^ {k} = Omega ^ {k, 0} oplus Omega ^ {k-1,1} oplus dotsb oplus Omega ^ {1, k-1} oplus Omega ^ {0, k} = bigoplus _ {p + q = k} Omega ^ {p, q}.}$

Поскольку это разложение в прямую сумму устойчиво относительно голоморфных замен координат, оно также определяет разложение на векторное расслоение.

В частности, для каждого k и каждый п и q с п+q=k, существует каноническая проекция векторных расслоений

${ displaystyle pi ^ {p, q}: E ^ {k} rightarrow Omega ^ {p, q}.}$

Операторы Dolbeault

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений ${ displaystyle d: Omega ^ {r} to Omega ^ {r + 1}}$ через

${ displaystyle d ( Omega ^ {p, q}) substeq bigoplus _ {r + s = p + q + 1} Omega ^ {r, s}}$

Внешняя производная сама по себе не отражает более жесткую сложную структуру многообразия.

С помощью d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить Операторы Dolbeault:

${ Displaystyle partial = pi ^ {p + 1, q} circ d: Omega ^ {p, q} rightarrow Omega ^ {p + 1, q}, quad { bar { partial} } = pi ^ {p, q + 1} circ d: Omega ^ {p, q} rightarrow Omega ^ {p, q + 1}}$

Чтобы описать эти операторы в локальных координатах, пусть

${ displaystyle alpha = sum _ {| I | = p, | J | = q} f_ {IJ} , dz ^ {I} wedge d { bar {z}} ^ {J} in Omega ^ {p, q}}$

куда я и J находятся мультииндексы. потом

${ displaystyle partial alpha = sum _ {| I |, | J |} sum _ { ell} { frac { partial f_ {IJ}} { partial z ^ { ell}}} , dz ^ { ell} wedge dz ^ {I} wedge d { bar {z}} ^ {J}}$

${ displaystyle { bar { partial}} alpha = sum _ {| I |, | J |} sum _ { ell} { frac { partial f_ {IJ}} { partial { bar {z}} ^ { ell}}} d { bar {z}} ^ { ell} wedge dz ^ {I} wedge d { bar {z}} ^ {J}.}$

Видны следующие свойства:

${ displaystyle d = partial + { bar { partial}}}$

${ displaystyle partial ^ {2} = { bar { partial}} ^ {2} = partial { bar { partial}} + { bar { partial}} partial = 0.}$

Эти операторы и их свойства составляют основу Когомологии Дольбо и многие аспекты Теория Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого п, а голоморфный п-форма является голоморфным сечением расслоения Ω^{п, 0}. Тогда в локальных координатах голоморфный п-форму можно записать в виде

${ Displaystyle альфа = сумма _ {| I | = p} f_ {I} , dz ^ {I}}$

где ${ displaystyle f_ {I}}$ являются голоморфными функциями. Эквивалентно (п, 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

${ displaystyle { bar { partial}} alpha = 0.}$

В пучок голоморфных п-forms часто пишут Ω^п, хотя иногда это может приводить к путанице, поэтому многие авторы склонны принимать альтернативные обозначения.

Смотрите также

• Комплекс Дольбо
• Спектральная последовательность Фрелихера
• Дифференциал первого рода

Рекомендации

• П. Гриффитс; Дж. Харрис (1994). Принципы алгебраической геометрии. Библиотека Wiley Classics. Wiley Interscience. п. 23-25. ISBN  0-471-05059-8.
• Уэллс, Р. О. (1973). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90419-0.
• Вуазен, Клэр (2008). Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия I. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521718015.