Подпрямой продукт - Subdirect product

В математика, особенно в областях абстрактная алгебра известный как универсальная алгебра, теория групп, теория колец, и теория модулей, а подпрямой продукт это подалгебра из прямой продукт это полностью зависит от всех факторов, но не обязательно является прямым продуктом. Это понятие было введено Биркофф в 1944 году и оказался мощным обобщением понятия прямого продукта.^{[нужна цитата ]}

Определение

А подпрямой продукт это подалгебра (в смысле универсальная алгебра ) А из прямой продукт Π_яА_я такая, что каждая индуцированная проекция (составная п_js: А → А_j проекции п_j: Π_яА_я → А_j с включением подалгебры s: А → Π_яА_я) является сюръективный.

А непосредственный (подчиненный) представление алгебры А является прямым (подпрямым) произведением, изоморфным А.

Алгебра называется подпрямо неразложимый если он не может подпрямо представиться «более простыми» алгебрами. Подпрямые неприводимые являются подпрямым произведением алгебр примерно так, как простые числа относятся к умножению целых чисел.

Примеры

• Любой распределительная решетка L подпрямо представима в виде подалгебры прямой степени двухэлементной дистрибутивной решетки. Это можно рассматривать как алгебраическую формулировку представимости L как набор множеств, замкнутых относительно бинарных операций объединения и пересечения, посредством интерпретации самой прямой мощности как множества степеней. В конечном случае такое представление является прямым (т.е. всей прямой мощностью) тогда и только тогда, когда L это дополненная решетка, т.е. булева алгебра.
• То же самое верно для любого полурешетка когда "полурешетка" заменяется "распределительной решеткой" и "подполурешеткой" вместо "подрешетки" в предыдущем примере. То есть каждая полурешетка может быть представлена ​​как подпрямая степень двухэлементной полурешетки.
• Цепочка натуральных чисел вместе с бесконечностью, как Алгебра Гейтинга, подпрямо представима в виде подалгебры прямого произведения конечных линейно упорядоченных алгебр Гейтинга. Ситуация с другими гейтинговыми алгебрами более подробно рассматривается в статье о подпрямые неприводимые.
• В группа целых чисел при сложении подпрямо представима любым (обязательно бесконечным) семейством сколь угодно больших конечных циклические группы. В этом представлении 0 - это последовательность элементов идентичности представляющих групп, 1 - это последовательность генераторов, выбранных из соответствующей группы, а целочисленное сложение и отрицание - соответствующие групповые операции в каждой группе, применяемые по координатам. Представление является точным (никакие два целых числа не представлены одной и той же последовательностью) из-за требований к размеру, а проекции на, потому что каждая координата в конечном итоге исчерпывает свою группу.
• Каждый векторное пространство над данным полем подпрямо представляется одномерным пространством над этим полем, причем конечномерные пространства могут быть непосредственно представлены таким образом. (Для векторных пространств, как и для абелевы группы прямое произведение с конечным числом множителей синонимично прямой сумме с конечным числом множителей, поэтому подпрямое произведение и субпрямая сумма также являются синонимами для конечного числа множителей.)
• Подпрямые продукты используются для представления множества небольших идеальные группы в (Холт и Плескен 1989 ).

Смотрите также

• Полупрямой продукт
• Лемма Гурса

Рекомендации

• Биркофф, Гарретт (1944), "Подпрямые союзы в универсальной алгебре", Бюллетень Американского математического общества, 50 (10): 764–768, Дои:10.1090 / S0002-9904-1944-08235-9, ISSN  0002-9904, МИСТЕР  0010542
• Холт, Дерек Ф .; Плескен, В. (1989), Идеальные группы, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853559-1, МИСТЕР  1025760