Подпрямо неразложимая алгебра - Subdirectly irreducible algebra

В области математики, известной как универсальная алгебра (и в своих приложениях) подпрямо неразложимая алгебра является алгеброй, которую нельзя разложить на множители подпрямой продукт «более простых» алгебр. Непрямо неразложимые алгебры играют в алгебре в некоторой степени аналогичную роль простые числа в теория чисел.

Определение

А универсальная алгебра А называется подпрямо неразложимым, когда А имеет более одного элемента, и когда любой подпрямое представительство из А включает (как фактор) алгебру изоморфный к А, причем изоморфизм задается отображением проекции.

Примеры

  • Двухэлементная цепь, как Булева алгебра, а Алгебра Гейтинга, а решетка[1]:56, или полурешетка, подпрямо неразложима. Фактически, двухэлементная цепочка - единственная подпрямо неразложимая распределительная решетка.[1]:56
  • Любая конечная цепь из двух или более элементов, как Алгебра Гейтинга, подпрямо неразложима. (Это не относится к цепочкам из трех и более элементов как решеткам или полурешеткам, которые подпрямо сводятся к двухэлементной цепочке. Отличие от алгебр Гейтинга состоит в том, что а → б не обязательно сравнивать с а по порядку решетки, даже когда б является.)
  • Любой конечный циклическая группа порядка степени простого числа (т.е. любого конечного п-группа ) подпрямо неразложима.[1]:56 (Одним из слабых мест аналогии между подпрямыми неприводимыми и простыми числами является то, что целые числа подпрямо представлены любым бесконечным семейством неизоморфных циклических групп простой степени, например, только группами порядка простого числа Мерсенна, предполагая, что их бесконечно много.) абелева группа подпрямо неразложимо тогда и только тогда, когда оно изоморфно конечному п-группа или изоморфна Prüfer group (бесконечное, но счетное п-группа, которая является прямой предел своего конечного п-подгруппы).[1]:61
  • Векторное пространство подпрямо неразложимо тогда и только тогда, когда оно имеет размерность один.

Характеристики

В подпрямая теорема о представлении из универсальная алгебра утверждает, что каждая алгебра подпрямо представима своей подпрямой неразложимой частные. Таким образом, эквивалентное определение «подпрямой неприводимой» - любая алгебра А который не может быть косвенно представлен теми из его частных, которые не изоморфны А. (Это не совсем то же самое, что «его собственными частными», потому что правильное частное А может быть изоморфен А, например фактор полурешетки (Z, min), полученный путем идентификации только двух элементов 3 и 4.)

Непосредственное следствие состоит в том, что любой разнообразие как класс, замкнутый относительно гомоморфизмов, подалгебр и прямых произведений, определяется своими подпрямо неразложимыми членами, поскольку каждая алгебра А в многообразии может быть построена как подалгебра подходящего прямого произведения подпрямо неразложимых частных А, все из которых относятся к разновидности, потому что А делает. По этой причине часто изучают не само разнообразие, а только его подпрямые несводимые.

Алгебра А подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда он содержит два элемента, которые идентифицируются каждым собственным частным, что эквивалентно, если и только если его решетка Против А из совпадения имеет наименьший неидентичный элемент. То есть любая подпрямую неприводимость должна содержать определенную пару элементов, свидетельствующих о ее неприводимости таким образом. Учитывая такое свидетельство (а,б) к подпрямой неприводимости мы говорим, что подпрямая неприводимость есть (а,б) -неприводимый.

Учитывая любой класс C подобных алгебр, Лемма Йонссона (из-за Бьярни Йонссон ) утверждает, что если многообразие HSP (C) создано C является конгруэнтно-распределительный, его подпрямые неприводимые лежат в HSPU(C), т. е. являются факторами подалгебр в сверхпродукты членов C. (Если C конечное множество конечных алгебр, операция ультрапроизведения избыточна.)

Приложения

Необходимым и достаточным условием подпрямой неразложимости алгебры Гейтинга является наличие наибольшего элемента строго ниже 1. Свидетельствующей парой является этот элемент и 1, и она идентифицирует любую другую пару. а, б элементов идентифицирует оба а→б и б→а с 1, тем самым, сворачивая все, что выше этих двух импликаций, до 1. Следовательно, любая конечная цепочка из двух или более элементов как алгебра Гейтинга подпрямо неразложима.

К Лемма Йонссона, подпрямо неразложимые алгебры конгруэнтно-дистрибутивного многообразия, порожденные конечным множеством конечных алгебр, не больше порождающих алгебр, поскольку фактор-алгебры и подалгебры алгебры А никогда не превышают А сам. Например, подпрямые неприводимые в многообразии, порожденные конечной линейно упорядоченной алгеброй Гейтинга ЧАС должны быть просто невырожденными частными от ЧАС, а именно все меньшие линейно упорядоченные невырожденные алгебры Гейтинга. От условий нельзя отказаться вообще: например, многообразие всех гейтинговых алгебр порождается множеством своих конечных подпрямо неразложимых алгебр, но существуют подпрямо неразложимые гейтинговые алгебры произвольной (бесконечной) мощности. Также существует единственная конечная алгебра, порождающая (неконгруэнтно-дистрибутивное) многообразие со сколь угодно большими подпрямыми неприводимыми.[2]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. Чепмен и Холл / CRC. ISBN  978-1-4398-5129-6.
  2. ^ Р. Маккензи, Остаточные оценки конечных алгебр, Int. J. Algebra Comput. 6 (1996), 1–29.
  • Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра. Springer. ISBN  978-0-387-71567-4.