Теорема Сколема – Нётер - Skolem–Noether theorem

В теория колец, раздел математики, Теорема Сколема – Нётер характеризует автоморфизмы из простые кольца. Это фундаментальный результат теории центральные простые алгебры.

Теорема была впервые опубликована Торальф Сколем в 1927 г. в своей статье Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (Немецкий: К теории ассоциативных систем счисления), а позже заново открыл Эмми Нётер.

утверждение

В общей постановке пусть А и B - простые унитарные кольца, и пусть k быть центром B. Центр k это поле поскольку данный Икс ненулевой в k, простота B следует, что ненулевой двусторонний идеал BxB = (х) это весь B, а значит, Икс это единица измерения. Если измерение из B над k конечно, т.е. если B это центральная простая алгебра конечной размерности, и А также k-алгебра, то дано k-алгебр гомоморфизмы

ж, г : А → B,

существует единица б в B такой, что для всех а в А^[1][2]

г(а) = б · ж(а) · б⁻¹.

В частности, каждый автоморфизм центрального простого k-алгебра - это внутренний автоморфизм.^[3][4]

Доказательство

Сначала предположим ${ displaystyle B = operatorname {M} _ {n} (k) = operatorname {End} _ {k} (k ^ {n})}$. потом ж и г определить действия А на ${ Displaystyle к ^ {п}}$; позволять ${ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ обозначить А-модули, полученные таким образом. поскольку ${ Displaystyle f (1) = 1 neq 0}$ карта ж инъективен простотой А, так А также конечномерна. Отсюда два простых А-модули изоморфны и ${ displaystyle V_ {f}, V_ {g}}$ конечные прямые суммы простых А-модули. Поскольку они имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что существует изоморфизм А-модули ${ displaystyle b: V_ {g} to V_ {f}}$. Но такие б должен быть элементом ${ displaystyle operatorname {M} _ {n} (k) = B}$. В общем случае ${ displaystyle B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ матричная алгебра и что ${ displaystyle A otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ просто. По первой части применительно к картам ${ displaystyle f otimes 1, g otimes 1: A otimes _ {k} B ^ { text {op}} to B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$, Существует ${ displaystyle b in B otimes _ {k} B ^ { text {op}}}$ такой, что

${ Displaystyle (е otimes 1) (a otimes z) = b (g otimes 1) (a otimes z) b ^ {- 1}}$

для всех ${ displaystyle a in A}$ и ${ displaystyle z in B ^ { text {op}}}$. Принимая ${ displaystyle a = 1}$, мы нашли

${ Displaystyle 1 otimes z = b (1 otimes z) b ^ {- 1}}$

для всех z. То есть, б в ${ displaystyle Z_ {B otimes B ^ { text {op}}} (k otimes B ^ { text {op}}) = B otimes k}$ и поэтому мы можем написать ${ displaystyle b = b ' otimes 1}$. Принимая ${ displaystyle z = 1}$ на этот раз мы находим

${ Displaystyle е (а) = b'g (а) {b '^ {- 1}}}$,

что и искали.

Заметки

использованная литература

• Сколем, Торальф (1927). "Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme". Скрифтер Осло (на немецком языке) (12): 50. JFM  54.0154.02.
• Обсуждение в главе IV Milne, теория поля классов [1]
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.