Икозианское исчисление - Icosian calculus

В икозианское исчисление некоммутативный алгебраическая структура открыл ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон в 1856 г.^[1]^[2]Говоря современным языком, он дал групповая презентация из группа вращения икосаэдра к генераторы и отношения.

Открытие Гамильтона произошло из его попыток найти алгебру "тройки" или тройки который, как он считал, отражает три Декартовы оси. Символы икозианского исчисления можно приравнять к движениям между вершинами на додекаэдр. Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к Гамильтонова схема и Гамильтонов путь в теории графов.^[3] Он также изобрел икозианская игра как средство иллюстрации и популяризации его открытия.

Неформальное определение

Стереографическая проекция додекаэдра, используемого для Гамильтона икозианская игра

Алгебра основана на трех символах, каждый из которых корни единства, в том, что повторное применение любого из них дает значение 1 после определенного количества шагов. Они есть:

{ displaystyle { begin {align} iota ^ {2} & = 1, kappa ^ {3} & = 1, lambda ^ {5} & = 1. end {align}}}

Гамильтон также приводит еще одно соотношение между символами:

{ Displaystyle лямбда = йота каппа.}

(Говоря современным языком, это (2,3,5) группа треугольников.)

Операция ассоциативный но нет коммутативный. Они порождают группу порядка 60, изоморфную группе группа оборотов регулярного икосаэдр или же додекаэдр, а значит, и переменная группа степени пять.

Хотя алгебра существует как чисто абстрактная конструкция, ее легче всего визуализировать в терминах операций на ребрах и вершинах додекаэдра. Сам Гамильтон использовал уплощенный додекаэдр в качестве основы для своей обучающей игры.

Представьте себе насекомое, ползающее по определенному краю помеченного додекаэдра Гамильтона в определенном направлении, скажем, от ${ displaystyle B}$ к ${ displaystyle C}$ . Мы можем представить это направленный край к ${ displaystyle BC}$ .

Геометрическая иллюстрация операции йота в икозианском исчислении

Икозианский символ ${ displaystyle iota}$ приравнивается к изменению направления на любом краю, поэтому насекомое выползает из ${ displaystyle C}$ к ${ displaystyle B}$ (по направленному краю ${ displaystyle CB}$ ).
Икозианский символ ${ displaystyle kappa}$ приравнивается к вращению текущего пути насекомого против часовой стрелки вокруг конечной точки. В нашем примере это будет означать изменение начального направления. ${ displaystyle BC}$ стать ${ Displaystyle DC}$ .
Икозианский символ ${ displaystyle lambda}$ приравнивается к повороту направо в конечной точке, двигаясь из ${ displaystyle BC}$ к ${ displaystyle CD}$ .