Квазиконечное поле - Quasi-finite field

В математика, а квазиконечное поле^[1] является обобщением конечное поле. Стандарт теория поля локальных классов обычно имеет дело с полные значения полей чье поле вычетов конечный (т.е. неархимедовы локальные поля ), но теория одинаково хорошо применима, когда поле вычетов предполагается только квазиконечным.^[2]

Формальное определение

А квазиконечное поле это идеальное поле K вместе с изоморфизм из топологические группы

${displaystyle phi: {hat {mathbf {Z}}} o имя оператора {Gal} (K_ {s} / K),}$

куда K_s является алгебраическое замыкание из K (обязательно отделимы, потому что K идеально). В расширение поля K_s/K бесконечно, и Группа Галуа соответственно дается Топология Крулля. Группа ${displaystyle {widehat {mathbf {Z}}}}$ это бесконечное завершение из целые числа относительно своих подгрупп конечного индекса.

Это определение эквивалентно тому, что K имеет уникальный (обязательно циклический ) расширение K_п степени п для каждого целого числа п ≥ 1, и что объединение этих расширений равно K_s.^[3] Кроме того, в структуре квазиконечного поля присутствует генератор F_п за каждую гал (K_п/K), а генераторы должны быть последовательный, в том смысле, что если п разделяет м, ограничение F_м к K_п равно F_п.

Примеры

Самый простой пример, который мотивирует определение, - это конечное поле K = GF(q). Он имеет единственное циклическое расширение степени п, а именно K_п = GF(q^п). Союз K_п алгебраическое замыкание K_s. Мы принимаем F_п быть Элемент Фробениуса; то есть, F_п(Икс) = Икс^q.

Другой пример K = C((Т)) кольцо формальная серия Laurent в Т над полем C из сложные числа. (Это просто формальный степенной ряд в котором мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени.) Тогда K имеет уникальное циклическое расширение

${displaystyle K_ {n} = mathbf {C} ((T ^ {1 / n}))}$

степени п для каждого п ≥ 1, объединение которых является алгебраическим замыканием K назвал поле Серия Puiseux, и что генератор Gal (K_п/K) дан кем-то

${displaystyle F_ {n} (T ^ {1 / n}) = e ^ {2pi i / n} T ^ {1 / n}.}$

Эта конструкция работает, если C заменяется любым алгебраически замкнутым полем C характеристики ноль.^[4]

Примечания

Рекомендации

• Артин, Эмиль; Тейт, Джон (2009) [1967], Теория поля классов, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4426-7, МИСТЕР  2467155, Zbl  1179.11040
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля, Тексты для выпускников по математике, 67, переведено Гринберг, Марвин Джей, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90424-7, МИСТЕР  0554237, Zbl  0423.12016