Вращения и отражения в двух измерениях - Rotations and reflections in two dimensions

В геометрия, двумерный вращения и размышления два вида Изометрии евклидовой плоскости которые связаны друг с другом.

Вращение в плоскости можно сформировать, составив пару отражений. Сначала отразите точку п к его образу п′ На другой стороне линии L₁. Тогда размышляйте п′ К своему образу п′ ′ На другой стороне линии L₂. Если линии L₁ и L₂ сделать угол θ друг с другом, затем указывает п и п′ ′ Получится угол 2θ вокруг точки О, пересечение L₁ и L₂. То есть угол POP ′ ′ будет измерять 2θ.

Пара поворотов примерно в одной точке О будет эквивалентно другому вращению вокруг точки О. С другой стороны, композиция отражения и вращения или вращения и отражения (композиция не коммутативный ), будет эквивалентно отражению.

Приведенные выше утверждения можно выразить более математически. Пусть вращение вокруг источник О под углом θ обозначать Rot (θ). Пусть размышление о линии L через начало координат, что составляет угол θ с Икс-ось обозначим Ref (θ). Пусть эти вращения и отражения действуют во всех точках на плоскости, и пусть эти точки будут представлены положением векторов. Тогда поворот можно представить в виде матрицы,

{ displaystyle operatorname {Rot} ( theta) = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {bmatrix}},}

а также для отражения,

{ displaystyle operatorname {Ref} ( theta) = { begin {bmatrix} cos 2 theta & sin 2 theta sin 2 theta & - cos 2 theta end {bmatrix}} .}

С этими определениями вращения и отражения координат выполняются следующие четыре тождества:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Rot} ( theta) , operatorname {Rot} ( phi) & Equiv operatorname {Rot} ( theta + phi), operatorname { Ref} ( theta) , operatorname {Ref} ( phi) & Equiv operatorname {Rot} (2 [ theta - phi]), operatorname {Rot} ( theta) , OperatorName {Ref} ( phi) & Equiv operatorname {Ref} left ( phi + { frac {1} {2}} theta right), operatorname {Ref} ( phi) , operatorname {Rot} ( theta) & Equiv operatorname {Ref} left ( phi - { frac {1} {2}} theta right). end {align}}}

Эти уравнения могут быть доказаны простым матричное умножение и применение тригонометрические тождества, в частности, тождества суммы и разности.

Набор всех отражений в линиях через начало координат и поворотов вокруг начала координат вместе с операцией композиции отражений и вращений образует группа. У группы есть идентификатор: Rot (0). Каждый оборот Rot (φ) имеет обратную Rot (-φ). Каждое отражение Ref (θ) является своим собственным обратным. Композиция имеет замыкание и ассоциативна, поскольку матричное умножение ассоциативно.

Обратите внимание, что как Ref (θ) и Гниль (θ) были представлены ортогональные матрицы. Все эти матрицы имеют детерминант чей абсолютная величина это единство. Матрицы вращения имеют определитель +1, а матрицы отражения имеют определитель -1.

Набор всех ортогональных двумерных матриц вместе с матричным умножением образуют ортогональная группа: О(2).

В следующей таблице приведены примеры матрицы вращения и отражения:

Тип	угол θ	матрица
Вращение	0°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$
Вращение	${ displaystyle pm}$ 45°	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} 1 & mp 1 pm 1 & 1 end {pmatrix}}}$
Вращение	90°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
Вращение	180°	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$
Отражение	0°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}}}$
Отражение	45°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
Отражение	90°	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$
Отражение	-45°	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & -1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$

Вращения и отражения в двух измерениях - Rotations and reflections in two dimensions

Смотрите также