Сцепление конструкции - Clutching construction

В топология, раздел математики, сжимающая конструкция это способ построения расслоений, в частности векторных расслоений на сферах.

Определение

Рассмотрим сферу ${ Displaystyle S ^ {п}}$ как союз верхнего и нижнего полушарий ${ displaystyle D _ {+} ^ {n}}$ и ${ displaystyle D _ {-} ^ {n}}$ вдоль их пересечения, экватора, ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$ .

Учитывая упрощенный пучки волокон с волокном ${ displaystyle F}$ и структурная группа ${ displaystyle G}$ над двумя полушариями, затем дана карта ${ displaystyle f двоеточие S ^ {n-1} to G}$ (называется сжимая карту), склеиваем два тривиальных пучка с помощью ж.

Формально это коэквалайзер включений ${ displaystyle S ^ {n-1} times F to D _ {+} ^ {n} times F coprod D _ {-} ^ {n} times F}$ через ${ Displaystyle (х, v) mapsto (х, v) в D _ {+} ^ {n} раз F}$ и ${ displaystyle (x, v) mapsto (x, f (x) (v)) in D _ {-} ^ {n} times F}$ : склейте два пучка вместе на границе, с поворотом.

Таким образом, у нас есть карта ${ displaystyle pi _ {n-1} G to { text {Fib}} _ {F} (S ^ {n})}$ : сжатие информации на экваторе дает пучок волокон на всем пространстве.

В случае векторных расслоений это дает ${ displaystyle pi _ {n-1} O (k) to { text {Vect}} _ {k} (S ^ {n})}$ , и действительно это отображение является изоморфизмом (при соединении суммы сфер справа).

Обобщение

Сказанное выше можно обобщить, заменив ${ displaystyle D _ { pm} ^ {n}}$ и ${ Displaystyle S ^ {п}}$ с любой закрытой триадой ${ Displaystyle (Х; А, В)}$ , то есть пробел Иксвместе с двумя замкнутыми подмножествами А и B чей союз Икс. Затем сжимая карту на ${ displaystyle A cap B}$ дает векторное расслоение на Икс.

Построение классификационной карты

Позволять ${ Displaystyle p двоеточие M to N}$ быть пучком с волокном ${ displaystyle F}$ . Позволять ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ быть набором пар ${ displaystyle (U_ {i}, q_ {i})}$ такой, что ${ displaystyle q_ {i} двоеточие p ^ {- 1} (U_ {i}) to N times F}$ является локальной тривиализацией ${ displaystyle p}$ над ${ displaystyle U_ {i} subset N}$ . Более того, мы требуем, чтобы объединение всех множеств ${ displaystyle U_ {i}}$ является ${ displaystyle N}$ (т.е. коллекция представляет собой атлас тривиализаций ${ Displaystyle coprod _ {я} U_ {я} = N}$ ).

Рассмотрим пространство ${ Displaystyle coprod _ {я} U_ {я} раз F}$ по модулю отношения эквивалентности ${ displaystyle (u_ {i}, f_ {i}) in U_ {i} times F}$ эквивалентно ${ displaystyle (u_ {j}, f_ {j}) in U_ {j} times F}$ если и только если ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j} neq phi}$ и ${ displaystyle q_ {i} circ q_ {j} ^ {- 1} (u_ {j}, f_ {j}) = (u_ {i}, f_ {i})}$ . По замыслу локальные тривиализации ${ displaystyle q_ {i}}$ дают послойную эквивалентность между этим фактор-пространством и расслоением ${ displaystyle p}$ .

Рассмотрим пространство ${ displaystyle coprod _ {i} U_ {i} times operatorname {Homeo} (F)}$ по модулю отношения эквивалентности ${ displaystyle (u_ {i}, h_ {i}) in U_ {i} times operatorname {Homeo} (F)}$ эквивалентно ${ displaystyle (u_ {j}, h_ {j}) in U_ {j} times operatorname {Homeo} (F)}$ если и только если ${ displaystyle U_ {i} cap U_ {j} neq phi}$ и рассмотреть ${ displaystyle q_ {i} circ q_ {j} ^ {- 1}}$ быть картой ${ displaystyle q_ {i} circ q_ {j} ^ {- 1}: U_ {i} cap U_ {j} to operatorname {Homeo} (F)}$ тогда мы требуем, чтобы ${ displaystyle q_ {i} circ q_ {j} ^ {- 1} (u_ {j}) (h_ {j}) = h_ {i}}$ . То есть в нашей реконструкции ${ displaystyle p}$ мы заменяем волокно ${ displaystyle F}$ топологической группой гомеоморфизмов слоя, ${ displaystyle operatorname {Homeo} (F)}$ . Если известно, что структурная группа пакета сокращается, вы можете заменить ${ displaystyle operatorname {Homeo} (F)}$ с сокращенной структурной группой. Это связка над ${ displaystyle N}$ с волокном ${ displaystyle operatorname {Homeo} (F)}$ и является основным пучком. Обозначим это как ${ displaystyle p двоеточие M_ {p} to N}$ . Связь с предыдущим расслоением индуцируется из основного расслоения: ${ displaystyle (M_ {p} times F) / operatorname {Homeo} (F) = M}$ .

Итак, у нас есть основной комплект ${ displaystyle operatorname {Homeo} (F) to M_ {p} to N}$ . Теория классификации пространств дает нам индуцированный продвигать расслоение ${ displaystyle M_ {p} to N to B ( operatorname {Homeo} (F))}$ куда ${ displaystyle B (Homeo (F))}$ классифицирующее пространство ${ displaystyle operatorname {Homeo} (F)}$ . Вот схема:

Учитывая ${ displaystyle G}$ -principal bundle $от { displaystyle G до M_ {p} до N}$ рассмотрите пространство ${ displaystyle M_ {p} times _ {G} EG}$ . Это пространство представляет собой расслоение двумя способами:

1) Ориентируйтесь на первый фактор: ${ displaystyle M_ {p} times _ {G} EG to M_ {p} / G = N}$ . Волокно в этом случае ${ displaystyle EG}$ , которое является стягиваемым пространством по определению классифицирующего пространства.

2) Ориентируйтесь на второй фактор: ${ displaystyle M_ {p} times _ {G} EG to EG / G = BG}$ . Волокно в этом случае ${ displaystyle M_ {p}}$ .

Таким образом, мы имеем расслоение ${ displaystyle M_ {p} to N simeq M_ {p} times _ {G} EG to BG}$ . Эта карта называется классифицирующая карта пучка волокон ${ Displaystyle p двоеточие M to N}$ так как 1) главный пучок $от { displaystyle G до M_ {p} до N}$ обратная сторона пучка ${ Displaystyle G в EG в BG}$ вдоль классифицирующей карты и 2) расслоение ${ displaystyle p}$ индуцируется из главного расслоения, как указано выше.

Контраст с закрученными сферами

Скрученные сферы иногда называют конструкцией "сцепляющего типа", но это вводит в заблуждение: конструкция сцепления правильно связана с пучками волокон.

В скрученных сферах вы склеиваете две половинки по их границе. Половинки априори идентифицированы (с стандартный мяч ), а точки на граничной сфере, как правило, не переходят в соответствующие точки на другой граничной сфере. Это карта ${ Displaystyle S ^ {n-1} к S ^ {n-1}}$ : склейка в базе нетривиальна.
В конструкции сцепления вы приклеиваете два связки вместе над границей своих основных полушарий. Граничные сферы склеиваются посредством стандартной идентификации: каждая точка переходит в соответствующую, но каждое волокно имеет изгиб. Это карта ${ Displaystyle S ^ {п-1} к G}$ : склейка в основе тривиальна, но не в волокнах.

Примеры

Конструкция сцепления используется для формирования хиральная аномалия, склеив пару форм самодуальной кривизны. Такие формы локально точны на каждом полушарии, так как являются дифференциалами Черна-Симонса 3-форма; склеивая их вместе, форма кривизны больше не является глобально точной (как и нетривиальная гомотопическая группа ${ displaystyle pi _ {3}.}$ )

Подобные конструкции можно найти для разных инстантоны, в том числе Модель Весса – Зумино – Виттена..

Смотрите также

Александр трюк