Связать карту - Bundle map

В математика, а карта пакета (или же морфизм пучка) это морфизм в категория из пучки волокон. Существует два различных, но тесно связанных понятия карты расслоения, в зависимости от того, имеют ли рассматриваемые расслоения общие базовое пространство. Есть также несколько вариантов основной темы, в зависимости от того, какая именно категория пучков волокон рассматривается. В первых трех разделах мы будем рассматривать общие расслоения слоев в категория топологических пространств. Затем в четвертом разделе будут приведены некоторые другие примеры.

Объединяйте карты по общей базе

Позволять π_E:E→ M и π_F:F→ M быть расслоениями над пространством M. Затем связать карту из E к F над M это непрерывное отображение ${displaystyle varphi: E o F}$ такой, что ${displaystyle pi _ {F} circ varphi = pi _ {E}}$ . То есть диаграмма

должен ездить. Равнозначно для любой точки Икс в M, ${displaystyle varphi}$ отображает волокно E_Икс = π_E⁻¹({Икс}) из E над Икс к волокну F_Икс = π_F⁻¹({Икс}) из F над Икс.

Общие морфизмы расслоений

Пусть π_E:E→ M и π_F:F→ N быть расслоениями над пространствами M и N соответственно. Тогда непрерывное отображение ${displaystyle varphi: E o F}$ называется карта пакета из E к F если есть непрерывная карта ж:M→ N так что диаграмма

коммутирует, то есть ${displaystyle pi _ {F} circ varphi = fcirc pi _ {E}}$ . Другими словами, ${displaystyle varphi}$ является сохраняющий клетчатку, и ж индуцированное отображение на пространстве слоев E: поскольку π_E сюръективно, ж однозначно определяется ${displaystyle varphi}$ . Для данного жтакая карта расслоения ${displaystyle varphi}$ считается карта пакета покрытие f.

Связь между двумя понятиями

Непосредственно из определений следует, что отображение расслоения над M (в первом смысле) - это то же самое, что и карта расслоения, покрывающая тождественное отображение M.

И наоборот, общие отображения расслоений можно свести к отображениям расслоений над фиксированным базовым пространством, используя понятие обратный пакет. Если π_F:F→ N расслоение над N и ж:M→ N - непрерывное отображение, то откат из F к ж это пучок волокон ж^*F над M чье волокно над Икс дан кем-то (ж^*F)_Икс = F_ж(Икс). Отсюда следует, что отображение расслоения из E к F покрытие ж это то же самое, что и карта пакета из E к ж^*F над M.

Варианты и обобщения

Есть два вида вариаций общего понятия карты расслоения.

Во-первых, можно рассматривать расслоения в другой категории пространств. Это приводит, например, к понятию гладкая карта расслоения между гладкими пучками волокон над гладкое многообразие.

Во-вторых, можно рассматривать расслоения с дополнительной структурой в своих слоях и ограничиваться отображениями расслоений, которые сохраняют эту структуру. Это приводит, например, к понятию (векторный) гомоморфизм расслоения между векторные пучки, в котором слои являются векторными пространствами, а отображение расслоения φ требуется, чтобы на каждом слое была линейная карта. В этом случае такая связка φ (покрытие ж) также можно рассматривать как раздел векторного расслоения Hom (E,ж^*F) над M, волокно которого над Икс - векторное пространство Hom (E_Икс,F_ж(Икс)) (также обозначается L(E_Икс,F_ж(Икс))) из линейные карты из E_Икс к F_ж(Икс).