Список карт координат - List of coordinate charts

В этой статье делается попытка удобно перечислить статьи о некоторых из наиболее полезных карт координат в некоторых из наиболее полезных примеров Римановы многообразия.

Понятие о карта координат лежит в основе различных представлений о многообразие которые используются в математике. В порядке увеличения уровень структуры:

Для наших целей ключевой особенностью последних двух примеров является то, что мы определили метрический тензор который мы можем использовать для интегрирования по кривой, например геодезический изгиб. Ключевое различие между римановыми метриками и полуримановыми метриками состоит в том, что первые возникают из комплектация положительно определенный квадратичные формы, тогда как последние возникают в результате объединения неопределенные квадратичные формы.

Четырехмерное полуриманово многообразие часто называют Лоренцево многообразие, потому что они обеспечивают математическую настройку для метрические теории гравитации Такие как общая теория относительности.

По многим темам в Прикладная математика, математическая физика, и инженерное дело, важно уметь писать самые важные уравнения в частных производных математической физики

(а также варианты этой базовой триады) в различных системах координат, которые адаптированный к любой симметрии, которая может присутствовать. Хотя это может быть то, как многие студенты впервые сталкиваются с не декартовой координатной картой, такой как цилиндрическая диаграмма на E3 (трехмерное евклидово пространство), оказалось, что эти диаграммы полезны для многих других целей, таких как запись интересных векторных полей, конгруэнций кривых или полей фрейма удобным способом.

Перечисление часто встречающихся координатных диаграмм неизбежно влечет за собой некоторое реальное и очевидное совпадение по крайней мере по двум причинам:

  • многие карты существуют во всех (достаточно больших) измерениях, но, возможно, только для определенных семейств многообразий, таких как сферы,
  • многие диаграммы, наиболее часто встречающиеся для конкретных многообразий, таких как сферы, на самом деле могут быть использованы (с соответствующим метрическим тензором) для более общих многообразий, таких как сферически-симметричные многообразия.

Следовательно, похоже, что любая попытка организовать их в список включает в себя множественные совпадения, которые мы приняли в этом списке, чтобы иметь возможность предложить удобную, хотя и беспорядочную ссылку.

Подчеркнем, что этот список далеко не исчерпывающий.

Любимые поверхности

Вот некоторые карты, которые (с соответствующими метрическими тензорами) могут использоваться в указанных классах римановых и полуримановых поверхностей:

Вот несколько диаграмм на некоторых из наиболее полезных римановых поверхностей (обратите внимание, что есть некоторое перекрытие, поскольку многие карты S2 иметь аналогичные диаграммы на ЧАС2; в таких случаях оба обсуждаются в одной статье):

Любимая полуриманова поверхность:

  • Объявления2 (или S1,1) и dS2 (или H1,1):
    • центральная проекция
    • экваториальный триггер

Примечание: различие между этими двумя поверхностями является в некотором смысле просто вопросом соглашения, согласно тому, считаем ли мы циклическую или нециклическую координату времениподобной; в более высоких измерениях различие менее тривиально.

Любимые римановы трехмерные многообразия

Вот некоторые карты, которые (с соответствующими метрическими тензорами) могут быть использованы в указанных классах трехмерных римановых многообразий:

(Примечание: не каждое трехмногообразие допускает изотермическую карту.)

Вот несколько диаграмм, которые можно использовать на некоторых из наиболее полезных римановых трехмерных многообразий:

Несколько многомерных примеров

Опущенные примеры

Конечно, есть много важных и интересных примеров римановых и полуримановых многообразий, которые здесь даже не упоминаются, в том числе:

  • Группы Бьянки: есть краткий список (до локальная изометрия ) трехмерных вещественных групп Ли, которые, если их рассматривать как три римановы многообразия, дают однородные, но (обычно) неизотропные геометрии.
  • другой заслуживающий внимания настоящий Группы Ли,
  • Лоренцевы многообразия которые (возможно, с некоторой добавленной структурой, такой как скалярное поле) служат решениями уравнений поля различных метрических теорий гравитации, в частности общая теория относительности. Здесь есть некоторое совпадение; особенно:
  • осесимметричное пространство-время Такие как Пылесосы Weyl владеть различными диаграммами, обсуждаемыми здесь; вытянутая сфероидальная диаграмма оказывается особенно полезной,
  • модели де Ситтера в космологии представляют собой как многообразия не что иное, как H1,3 и как таковые обладают множеством интересных и полезных диаграмм, смоделированных по образцам перечисленных здесь.

Кроме того, безусловно, можно рассматривать координатные карты на комплексных многообразиях, возможно, с метриками, возникающими в результате объединения эрмитовых форм. Действительно, это естественное обобщение - лишь верхушка айсберга. Однако с этими обобщениями лучше всего обращаться в более специализированных списках.

Смотрите также