Идентичность лагранжа - Википедия - Lagranges identity

В алгебра, Личность Лагранжа, названный в честь Жозеф Луи Лагранж, является:[1][2]

который применяется к любым двум наборам {а1, а2, . . ., ап} и {б1, б2, . . ., бп} из настоящий или же сложные числа (или, в более общем смысле, элементы коммутативное кольцо ). Это тождество является обобщением Тождество Брахмагупты – Фибоначчи и особая форма Тождество Бине – Коши.

В более компактных векторных обозначениях личность Лагранжа выражается как:[3]

куда а и б находятся п-мерные векторы, компоненты которых являются действительными числами. Расширение комплексных чисел требует интерпретации скалярное произведение как внутренний продукт или эрмитово скалярное произведение. В явном виде для комплексных чисел личность Лагранжа может быть записана в виде:[4]

с участием абсолютная величина.[5]

Поскольку правая часть тождества явно неотрицательна, отсюда следует Неравенство Коши в конечномерный реальное координатное пространствоп и его сложный аналог ℂп.

Геометрически тождество утверждает, что квадрат объема параллелепипеда, натянутого на набор векторов, равен Определитель грамма векторов.

Тождество Лагранжа и внешняя алгебра

Что касается клин, Тождество Лагранжа можно записать

Следовательно, это можно рассматривать как формулу, которая дает длину произведения клина двух векторов, которая является площадью параллелограмма, который они определяют, в терминах скалярных произведений двух векторов, как

Тождество Лагранжа и векторное исчисление

В трех измерениях личность Лагранжа утверждает, что если а и б - векторы из ℝ3 с длинами |а| и |б|, то тождество Лагранжа можно записать в терминах перекрестное произведение и скалярное произведение:[6][7]

Используя определение угла на основе скалярное произведение (смотрите также Неравенство Коши – Шварца ) левая часть равна

где θ - угол, образованный векторами а и б. Площадь параллелограмма со сторонами |а| и |б| а угол θ известен в элементарной геометрии как

поэтому левая часть тождества Лагранжа - это квадрат площади параллелограмма. Перекрестное произведение справа определяется выражением

представляющий собой вектор, компоненты которого равны по величине площадям проекций параллелограмма на yz, zx, и ху самолеты соответственно.

Семь измерений

За а и б как векторы в ℝ7, Тождество Лагранжа принимает тот же вид, что и в случае ℝ3 [8]

Однако перекрестное произведение в 7 измерениях не обладает всеми свойствами перекрестного произведения в 3 измерениях. Например, направление а × б в 7-мерном может быть таким же, как c × d хотя c и d линейно независимы от а и б. Так же семимерное кросс-произведение не совместим с Личность Якоби.[8]

Кватернионы

А кватернион п определяется как сумма скаляров т и вектор v:

Произведение двух кватернионов п = т + v и q = s + ш определяется

Кватернионный конъюгат q определяется

а квадрат нормы равен

Мультипликативность нормы в алгебре кватернионов обеспечивает для кватернионов п и q:[9]

Кватернионы п и q называются мнимыми, если их скалярная часть равна нулю; эквивалентно, если

Тождество Лагранжа - это просто мультипликативность нормы мнимых кватернионов,

поскольку по определению

Доказательство алгебраической формы

Векторная форма следует из тождества Бине-Коши, полагая cя = ая и dя = бя. Вторая версия следует из того, что cя и dя обозначить комплексные конъюгаты из ая и бя, соответственно,

Вот и прямое доказательство.[10] Расширение первого члена в левой части:

(1)   

что означает, что произведение столбца аs и ряд бs дает (сумму элементов) квадрат abs, который можно разбить на диагональ и пару треугольников по обе стороны от диагонали.

Второй член в левой части личности Лагранжа может быть расширен как:

(2)   

Это означает, что симметричный квадрат можно разбить на диагональ и пару равных треугольников по обе стороны от диагонали.

Чтобы развернуть суммирование в правой части тождества Лагранжа, сначала разверните квадрат в сумме:

Распределите сумму по правой части,

Теперь обменяйте индексы я и j второго члена в правой части и переставляем б факторы третьего члена, дающие:

(3)   

Вернемся к левой части идентичности Лагранжа: в ней есть два члена, представленные в развернутой форме уравнениями ('1 ') и ('2 '). Первый член в правой части уравнения ('2 ') заканчивает тем, что исключает первый член в правой части уравнения ('1 '), уступая

('1 ') - ('2 ') =

что совпадает с уравнением ('3 '), так что личность Лагранжа действительно идентична, Q.E.D..

Доказательство тождества Лагранжа для комплексных чисел

Нормированные алгебры с делением требуют, чтобы норма продукта была равна произведению норм. Это равенство демонстрирует тождество Лагранжа. Тождество произведения, используемое здесь в качестве отправной точки, является следствием нормы равенства произведения с произведением нормы для алгебр скаторов. Это предложение, первоначально представленное в контексте деформированной метрики Лоренца, основано на преобразовании, вытекающем из операции произведения и определения величины в гиперболической алгебре скаторов.[11]Доказать личность Лагранжа можно разными способами.[4]Большинство выводов используют идентичность в качестве отправной точки и тем или иным образом доказывают, что равенство истинно. В настоящем подходе личность Лагранжа фактически выводится без ее допущения. априори.[нужна цитата ]

Позволять быть комплексными числами, а черта сверху представляет комплексное сопряжение.

Фирменный стиль продукта сводится к комплексному тождеству Лагранжа, когда рассматриваются члены четвертого порядка в разложении ряда.

Чтобы доказать это, разверните продукт на левой стороне идентичности продукта с точки зрения серии до четвертого порядка. С этой целью напомним, что продукты вида могут быть расширены в суммах каккуда означает термины третьего порядка и выше .

Два фактора на правой стороне также записаны в виде серий

Произведение этого выражения до четвертого порядка равно

Замена этих двух результатов в идентичности продукта дает

Произведение двух серий конъюгатов может быть выражено как серия, включающая произведение конъюгированных членов. Продукт сопряженного ряда , таким образом

Члены двух последних серий на LHS сгруппированы как для получения сложной идентичности Лагранжа:

По модулям

Тождество Лагранжа для комплексных чисел было получено из простого тождества произведения. Очевидно, что вывод действительных чисел еще более сжат. Поскольку неравенство Коши – Шварца является частным случаем тождества Лагранжа,[4] это доказательство - еще один способ получить неравенство CS. Члены высшего порядка в серии создают новые идентичности.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). CRC Press. ISBN  1-58488-347-2.
  2. ^ Роберт Э. Грин; Стивен Кранц (2006). «Упражнение 16». Теория функций одного комплексного переменного (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 22. ISBN  0-8218-3962-4.
  3. ^ Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений. Vieweg + Teubner Verlag. п. 26. ISBN  3-519-00437-2.
  4. ^ а б c Дж. Майкл Стил (2004). «Упражнение 4.4. Тождество Лагранжа для комплексных чисел». Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств. Издательство Кембриджского университета. С. 68–69. ISBN  0-521-54677-X.
  5. ^ Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 22, упражнение 16. ISBN  978-0-8218-2905-9.;
    Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию сложных функций. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.27, Упражнение 4.22. ISBN  978-0-387-97427-9..
  6. ^ Говард Антон; Крис Роррес (2010). «Отношения между скалярными и кросс-продуктами». Элементарная линейная алгебра: прикладная версия (10-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 162. ISBN  0-470-43205-5.
  7. ^ Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 94. ISBN  0-521-00551-5.
  8. ^ а б Дверь Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00551-5. Смотрите особенно § 7.4 Перекрестные произведения в ℝ7, п. 96.
  9. ^ Джек Б. Кейперс (2002). «§5.6 Норма». Кватернионы и последовательности вращения: учебник по орбитам. Издательство Принстонского университета. п. 111. ISBN  0-691-10298-8.
  10. ^ См., Например, Фрэнк Джонс, Университет Райса, стр. 4 в главе 7 книга еще не опубликована.
  11. ^ М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация для композиции релятивистских скоростей, Оптика и фотоника 2011, т. 8121 г. Природа света: что такое фотоны? IV, стр. 812108–1–11. SPIE, 2011.

внешняя ссылка