Цилиндр - Cylinder

Пример: олово имеет форму цилиндра.

А цилиндр (из Греческий κύλινδρος - Кулиндрос, "ролик", "неваляшка"^[1]) традиционно представлял собой трехмерное твердое тело, одно из самых основных криволинейный геометрические фигуры. Это идеализированная версия прочного физического консервная банка с крышками сверху и снизу.

Этот традиционный взгляд все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но передовая математическая точка зрения сместилась в сторону бесконечный криволинейный поверхность Именно так сегодня определяется цилиндр в различных современных областях геометрии и топологии.

Изменение основного значения (твердое тело по сравнению с поверхностью) создало некоторую двусмысленность в терминологии. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются ссылкой на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности, но в литературе неприкрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или к даже более специализированному объекту, правый круговой цилиндр.

Типы

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста 1913 г., Плоская и твердотельная геометрия Джорджем Вентвортом и Дэвидом Юджином Смитом (Вентворт и Смит 1913 ).

А цилиндрическая поверхность это поверхность состоящий из всех точек на всех прямых параллельно к заданной линии и которые проходят через фиксированный плоская кривая в плоскости, не параллельной данной линии. Любая прямая из этого семейства параллельных прямых называется элемент цилиндрической поверхности. Из кинематика точки зрения, заданной плоской кривой, называемой директриса, цилиндрическая поверхность - это поверхность, очерченная линией, называемой образующая, не в плоскости директрисы, движется параллельно себе и всегда проходит через директрису. Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Правый и наклонный круговой цилиндр

А твердый ограничен цилиндрической поверхностью и двумя параллельные плоскости называется (твердым) цилиндр. Сегменты линии, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются отрезками. элемент цилиндра. Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основание цилиндра. Два основания цилиндра конгруэнтный цифры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр представляет собой правый цилиндр, иначе он называется наклонный цилиндр. Если базы диски (области, граница которых круг ) цилиндр называется круговой цилиндр. В некоторых элементарных обработках цилиндр всегда означает круговой цилиндр.^[2]

В высота (или высота) цилиндра - это перпендикуляр расстояние между его основаниями.

Цилиндр, полученный вращением отрезок о фиксированной линии, которой она параллельна, является цилиндр вращения. Цилиндр вращения - это правильный круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения - это длина сегмента образующей. Линия, вокруг которой вращается сегмент, называется ось цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Правый круговой цилиндр с радиусом

р

и высота

час

Правые круговые цилиндры

Голый срок цилиндр часто относится к сплошному цилиндру с круговыми концами, перпендикулярным оси, то есть к правильному круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытый цилиндр. Формулы для площадь поверхности и объем правильного кругового цилиндра были известны с глубокой древности.

Правый круговой цилиндр также можно рассматривать как твердый революционный генерируется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интегрирования («дисковый метод») для получения объемов тел вращения.^[3]

Характеристики

Цилиндрические секции

Цилиндрическая секция

Цилиндрическое сечение - это пересечение поверхности цилиндра с самолет. Это, в общем, кривые и особые типы плоские сечения. Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, есть параллелограмм.^[4] Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра является прямоугольник.^[4]

Цилиндрическое сечение, в котором пересекающаяся плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется правый раздел.^[5] Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр - это круговой цилиндр. В более общем смысле, если правая часть цилиндра представляет собой коническая секция (парабола, эллипс, гипербола), то твердый цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Цилиндрические части правого кругового цилиндра

Для правильного кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой окружности, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипс.^[6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае правого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, представляющим собой эллипс, эксцентриситет $е$ цилиндрического сечения и большая полуось $а$ цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра $р$ и угол $α$ между секущей плоскостью и осью цилиндра следующим образом:

{ Displaystyle е = соз альфа,}

{ displaystyle a = { frac {r} { sin alpha}}.}

Объем

Если основание кругового цилиндра имеет радиус $р$ а цилиндр имеет высоту $час$ , то его объем дан кем-то

V = π р 2 час

.

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным.^[7]

Эта формула может быть установлена с помощью Принцип Кавальери.

Сплошной эллиптический цилиндр с полуосями

а

и

б

для базового эллипса и высоты

час

В более общем смысле, по тому же принципу объем любого цилиндра - это произведение площади основания и высоты. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большая полуось $а$ , малая полуось $б$ и высота $час$ имеет объем $V = Ах$ , куда $А$ - площадь базового эллипса (= $π ab$ ). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также может быть получен интегрированием, когда ось цилиндра принимается за положительную $Икс$ ось и $А (Икс) = А$ площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:

{ Displaystyle V = int _ {0} ^ {h} A (x) dx = int _ {0} ^ {h} pi abdx = pi ab int _ {0} ^ {h} dx = pi abh.}

С помощью цилиндрические координаты объем правого кругового цилиндра можно вычислить интегрированием по

{ displaystyle = int _ {0} ^ {h} int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} s , , ds , d phi , dz }

{ displaystyle = pi , r ^ {2} , h.}

Площадь поверхности

Имея радиус $р$ и высота (высота) $час$ , то площадь поверхности Правый круговой цилиндр, ориентированный так, чтобы его ось была вертикальной, состоит из трех частей:

площадь верхней базы: $π р 2$
площадь нижней базы: $π р 2$
площадь стороны: $2π rh$

Площадь верхнего и нижнего оснований одинакова и называется базовая площадь, $B$ . Площадь стороны известна как боковая область, $L$ .

An открытый цилиндр не включает ни верхних, ни нижних элементов и, следовательно, имеет площадь поверхности (боковую площадь)

L = 2π rh

.

Площадь поверхности твердого правого кругового цилиндра складывается из всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности составляет

А = L + 2 B = 2π rh + 2π р 2 = 2π р (час + р) = π d (р + час)

,

куда $d = 2 р$ это диаметр круглого верха или низа.

Для данного объема правильный круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет $час = 2 р$ . Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет $час = 2 р$ , то есть цилиндр плотно прилегает к кубу со стороной, равной высоте (= диаметру основной окружности).^[8]

Боковая область, $L$ , кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым, в более общем случае определяется следующим образом:

L = е \times п

,

куда $е$ - длина элемента и $п$ - периметр правого сечения цилиндра.^[9] Это дает предыдущую формулу для поперечной площади, когда цилиндр является правильным круговым цилиндром.

Полый цилиндр

Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка)

А правый круговой полый цилиндр (или же цилиндрическая оболочка) представляет собой трехмерную область, ограниченную двумя правильными круговыми цилиндрами с одной осью и двумя параллельными кольцевой основания перпендикулярны общей оси цилиндров, как на схеме.

Пусть высота будет $час$ , внутренний радиус $р$ , и внешний радиус $р$ . Объем определяется как

{ Displaystyle V = pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 pi left ({ frac {R + r} {2}} right) h (R-r).}

.

Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2 $π$ (средний радиус) (высота) (толщина).^[10]

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется как

{ displaystyle A = 2 pi (R + r) h + 2 pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}

.

Цилиндрические оболочки используются в общей технике интеграции для определения объемов тел вращения.^[11]

На сфере и цилиндре

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности описывающего цилиндра, включая его основания.

В трактате под этим названием написано ок. 225 г. до н. Э., Архимед получил результат, которым он больше всего гордился, а именно получение формул для объема и площади поверхности сфера используя отношения между сферой и ее ограниченный правый круговой цилиндр такой же высоты и диаметр. Сфера имеет объем две третьих описанного цилиндра и площадь поверхности две третьих цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем шара радиуса $р$ является $4 / 3 π р 3 = 2 / 3 (2 π р 3)$ . Площадь поверхности этой сферы равна $4 π р 2 = 2 / 3 (6 π р 2)$ . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Цилиндрические поверхности

В некоторых областях геометрии и топологии термин цилиндр относится к тому, что было названо цилиндрическая поверхность. Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой.^[12] Такие цилиндры иногда называют обобщенные цилиндры. Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная линия, содержащаяся в цилиндре.^[13] Таким образом, это определение можно перефразировать, чтобы сказать, что цилиндр - это любое линейчатая поверхность охватывается однопараметрическим семейством параллельных линий.

Цилиндр, имеющий правое сечение, эллипс, парабола, или же гипербола называется эллиптический цилиндр, параболический цилиндр и гиперболический цилиндр, соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности.^[14]

Параболический цилиндр

Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается следующим образом:

{ displaystyle f (x, y, z) = Ax ^ {2} + By ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}

с коэффициентами действительные числа и не все $А$ , $B$ и $C$ равно 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика вырождена. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить соответствующим вращение осей что переменная $z$ не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как^[15]

{ displaystyle A left (x + { frac {D} {2A}} right) ^ {2} + B left (y + { frac {E} {2B}} right) ^ {2} = ро,}

куда

{ displaystyle rho = -H + { frac {D ^ {2}} {4A}} + { frac {E ^ {2}} {4B}}.}

Эллиптический цилиндр

Если $AB > 0$ это уравнение эллиптический цилиндр.^[15] Дальнейшее упрощение может быть получено с помощью перевод осей и скалярное умножение. Если ${ displaystyle rho}$ имеет тот же знак, что и коэффициенты $А$ и $B$ , то уравнение эллиптического цилиндра можно переписать в виде Декартовы координаты в качестве:

{ displaystyle left ({ frac {x} {a}} right) ^ {2} + left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} = 1.}

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обыкновенного, круговой цилиндр ( $а = б$ ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды, но это имя неоднозначно, так как оно также может относиться к Коноид Плюккера.

Если ${ displaystyle rho}$ имеет другой знак, чем коэффициенты, получаем воображаемые эллиптические цилиндры:

{ displaystyle left ({ frac {x} {a}} right) ^ {2} + left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} = - 1,}

на которых нет настоящих очков. ( ${ displaystyle rho = 0}$ дает единственную реальную точку.)

Гиперболический цилиндр

Если $А$ и $B$ иметь разные знаки и ${ displaystyle rho neq 0}$ , получаем гиперболические цилиндры, уравнения которого можно переписать как:

{ displaystyle left ({ frac {x} {a}} right) ^ {2} - left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} = 1.}

Параболический цилиндр

Наконец, если $AB = 0$ предполагать, не теряя общий смысл, который $B = 0$ и $А = 1$ получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как:^[16]

{ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}

В проективная геометрия, цилиндр - это просто конус, вершина находится на бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус к небу.

Проективная геометрия

В проективная геометрия, цилиндр - это просто конус чей вершина (вершина) лежит на самолет в бесконечности. Если конус является квадратичным конусом, бесконечно удаленная плоскость (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным прямым, одной действительной прямой (фактически совпадающая пара прямых) или только в вершине. Эти случаи приводят к появлению гиперболического, параболического или эллиптического цилиндра соответственно.^[17]

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденные коники, которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы

Планетарий Тихо Браге здание, Копенгаген, представляет собой пример усеченного цилиндра

А сплошной круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай $п$ -гональный призма куда $п$ подходы бесконечность. Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм и последующего неограниченного увеличения количества сторон призмы.^[18] Одна из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров заключается в том, что круговое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более сложной математике). Терминология относительно призм и цилиндров идентична. Так, например, поскольку усеченная призма - призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, твердый цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, можно было бы назвать усеченный цилиндр.

С многогранной точки зрения цилиндр также можно рассматривать как двойной из биконус как безграничный бипирамида.