Полу-большие и полу-малые оси - Semi-major and semi-minor axes

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: "Полу-большие и полу-малые оси"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Полу-мажор (а) и малая полуось (б) эллипса

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Параметры орбиты Апсис Аргумент периапсиса Азимут Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Виды двухчастичные орбиты, к эксцентриситет Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита (Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки (Гало-орбиты ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта

В геометрия, большая ось эллипс самый длинный диаметр: а отрезок что проходит через центр и оба фокусы, с концами в самых широких точках периметр.

В большая полуось составляет половину большой оси и, таким образом, проходит от центра через фокус, и по периметру. В малая полуось эллипса или гиперболы - это отрезок прямой, прямые углы с большой полуосью и имеет один конец в центре конического сечения. Для особого случая круга длины полуосей равны радиус круга.

Длина большой полуоси а эллипса связана с длиной малой полуоси б сквозь эксцентриситет е и полу-латусная прямая кишка ${ displaystyle ell}$, следующее:

${ displaystyle { begin {align} b & = a { sqrt {1-e ^ {2}}}, ell & = a left (1-e ^ {2} right), , a ell & = b ^ {2}. end {align}}}$

Большая полуось гипербола это, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любого вершина гиперболы.

А парабола может быть получен как предел последовательности эллипсов, где один фокус фиксируется, а другому разрешено перемещаться произвольно далеко в одном направлении, сохраняя ${ displaystyle ell}$ фиксированный. Таким образом а и б стремятся к бесконечности, а быстрее, чем б.

Большая и малая оси - это оси симметрии для кривой: в эллипсе малая ось короче; в гиперболе это тот, который не пересекает гиперболу.

Эллипс

Уравнение эллипса:

${ displaystyle { frac { left (xh right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (yk right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}$

где (h, k) - центр эллипса в Декартовы координаты, в котором произвольная точка задается как (x, y).

Большая полуось - это среднее значение максимального и минимального расстояний. ${ displaystyle r _ { max}}$ и ${ displaystyle r _ { min}}$ эллипса от фокуса - то есть расстояний от фокуса до концов большой оси.^{[нужна цитата ]} В астрономии эти крайние точки называют апсиды.^[1]

${ displaystyle a = { frac {r _ { max} + r _ { min}} {2}}.}$

Малая полуось эллипса - это среднее геометрическое этих расстояний:

${ displaystyle b = { sqrt {r _ { max} r _ { min}}}.}$

В эксцентриситет эллипса определяется как

${ displaystyle e = { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$ так ${ Displaystyle г _ { мин} = а (1-е), г _ { макс} = а (1 + е)}$.

Теперь рассмотрим уравнение в полярные координаты, с одним фокусом в начале, а другой на ${ Displaystyle ( тета = пи) -}$направление,

${ Displaystyle г (1 + е соз тета) = ell. ,}$

Среднее значение ${ Displaystyle г = ell / (1-е)}$ и ${ Displaystyle г = ell / (1 + е)}$, за ${ displaystyle theta = pi}$ и ${ displaystyle theta = 0}$ является

${ displaystyle a = { ell over 1-e ^ {2}}. ,}$

В эллипсе большая полуось - это среднее геометрическое расстояния от центра до любого фокуса и расстояния от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между и на линии, проходящей между фокусы ) к краю эллипса. Малая полуось - это половина малой оси. Малая ось - это самый длинный отрезок прямой, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось б относится к большой полуоси а через эксцентричность е и полу-латусная прямая кишка ${ displaystyle ell}$, следующее:

${ displaystyle { begin {align} b & = a { sqrt {1-e ^ {2}}} , ! a ell & = b ^ {2}. , ! end {выровнено }}}$

А парабола может быть получен как предел последовательности эллипсов, в которой один фокус фиксируется, а другой может перемещаться произвольно далеко в одном направлении, сохраняя ${ displaystyle ell}$ фиксированный. Таким образом а и б стремятся к бесконечности, а быстрее, чем б.

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле:^[2]

${ displaystyle 2b = { sqrt {(p + q) ^ {2} -f ^ {2}}}}$

куда ж расстояние между фокусами, п и q - расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гипербола составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это а в x-направлении уравнение:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle { frac { left (xh right) ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac { left (yk right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}$

С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

${ displaystyle a = { ell over e ^ {2} -1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью.^[3]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины ${ displaystyle 2b}$, соответствующие малой оси эллипса, могут быть нарисованы перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы, причем две оси пересекаются в центре гиперболы. Конечные точки ${ displaystyle (0, pm b)}$ малой оси лежат на высоте асимптот над / под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длины б. Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как а, длины малой и большой полуосей фигурируют в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}$

Малая полуось - это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называют прицельный параметр, это важно в физике и астрономии и позволяет измерить расстояние, на которое частица не попадет в фокус, если ее путешествие не будет нарушено телом в фокусе.^{[нужна цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:

${ displaystyle b = a { sqrt {e ^ {2} -1}}.}$^[4]

Обратите внимание, что в гиперболе б может быть больше, чем а.^[5]

Астрономия

Орбитальный период

В астродинамика в орбитальный период Т маленького тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, составляет:^[1]

${ displaystyle T = 2 pi { sqrt {a ^ {3} over mu}}}$

куда:

${ displaystyle mu}$ это стандартный гравитационный параметр центрального органа

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью период обращения один и тот же, без учета их эксцентриситета.

В удельный угловой момент час маленького тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, составляет:^[1]

${ displaystyle h = { sqrt {a mu left (1-e ^ {2} right)}}}$

куда:

а и ${ displaystyle mu}$ определены выше

В астрономия, большая полуось - одна из самых важных орбитальные элементы из орбита вместе с его орбитальный период. За Солнечная система объекты, большая полуось связана с периодом орбиты соотношением Третий закон Кеплера (первоначально эмпирически полученный),^[1]

${ Displaystyle Т ^ {2} propto ^ {3} ,}$

куда Т это период и а - большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы для проблема двух тел, как определено Ньютон:^[1]

${ displaystyle T ^ {2} = { frac {4 pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3} ,}$

куда грамм это гравитационная постоянная, M это масса центрального тела, и м - масса вращающегося тела. Как правило, масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что м можно игнорировать. Это предположение и использование типичных астрономических единиц приводит к более простой форме, которую открыл Кеплер.

Путь движущегося по орбите тела вокруг барицентр и его путь относительно его главного элемента - оба эллипса.^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние между первичными частями и вторичными частями, когда отношение масс первичной и вторичной обмоток значительно (${ displaystyle M gg m}$); таким образом, параметры орбит планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрической и «абсолютной» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля – Луна. Отношение масс в этом случае равно 81.30059. Характерное расстояние Земля – Луна, большая полуось геоцентрический орбита Луны составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e = 0,0549, ее малая полуось составляет 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) барицентрический Лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, а обратная орбита Земли занимает разницу в 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км / с, а у Земли - 0,012 км / с. Сумма этих скоростей дает геоцентрическую среднюю орбитальную скорость Луны 1,022 км / с; такое же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси.^{[нужна цитата ]}

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось - это «среднее» расстояние между основным фокусом эллипса и движущимся по орбите телом. Это не совсем точно, потому что это зависит от того, какое среднее значение берется за основу.

• усреднение расстояния по эксцентрическая аномалия действительно приводит к большой полуоси.
• усреднение по истинная аномалия (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) дает малую полуось ${ displaystyle b = a { sqrt {1-e ^ {2}}}}$.
• усреднение по средняя аномалия (доля орбитального периода, прошедшего с момента перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее по времени ${ displaystyle a left (1 + { frac {e ^ {2}} {2}} right) ,}$.

Среднее по времени значение обратной величины радиуса, ${ displaystyle r ^ {- 1}}$, является ${ displaystyle a ^ {- 1}}$.

Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния

В астродинамика, большая полуось а можно рассчитать из орбитальные векторы состояния:

${ displaystyle a = - { mu over {2 varepsilon}} ,}$

для эллиптическая орбита и, в зависимости от соглашения, то же или

${ Displaystyle а = { му над {2 varepsilon}} ,}$

для гиперболическая траектория, и

${ displaystyle varepsilon = {v ^ {2} over {2}} - { mu over left | mathbf {r} right |}}$

(удельная орбитальная энергия ) и

${ displaystyle mu = GM ,}$

(стандартный гравитационный параметр ), куда:

• v орбитальная скорость от вектор скорости орбитального объекта,
• р это декартов вектор положения орбитального объекта в координатах система отсчета относительно которых должны быть рассчитаны элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),
• грамм это гравитационная постоянная,
• M - масса гравитирующего тела, а
• ${ displaystyle varepsilon}$ - удельная энергия движущегося по орбите тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной общей массы и большой полуоси общая удельная орбитальная энергия всегда одно и то же. Это утверждение всегда будет верным при любых условиях.^{[нужна цитата ]}

Большая и полу-малая оси планет

Орбиты планет всегда приводятся в качестве ярких примеров эллипсов (Первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или отношение) основывается на эксцентриситете и рассчитывается как ${ displaystyle {{a} over {b}} = {1 over { sqrt {1-e ^ {2}}}}}$ что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты.

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также зависит от эксцентриситета и рассчитывается как ${ displaystyle {{r _ { text {a}}} over {r _ { text {p}}}} = {{1 + e} over {1-e}}}$ . Из-за большой разницы между афелием и перигелием Второй закон Кеплера легко визуализируется.

Смотрите также

• Полудиаметр

Рекомендации

внешняя ссылка

• Большая и полу-малая оси эллипса С интерактивной анимацией