Поверхность мальчиков - Википедия - Boys surface

Анимация поверхности мальчика

В геометрия, Поверхность мальчика является погружение из реальная проективная плоскость в трехмерном пространстве, найденном Вернер Бой в 1901 году. Он обнаружил его по заданию Дэвид Гильберт доказать, что проективная плоскость не могла быть погруженным в 3-х местный.

Поверхность мальчика была первой параметризованный явно Бернар Морен в 1978 г.^[1] Другая параметризация была открыта Робом Куснером и Роберт Брайант.^[2] Поверхность Мальчика - одно из двух возможных погружений реальной проективной плоскости, которые имеют только одну тройную точку.^[3]

в отличие от Римская поверхность и кросс-кепка нет другого особенности чем самопересечения (то есть в нем нет точки защемления ).

Строительство

Чтобы сделать поверхность Мальчика:

Начнем со сферы. Снимите колпачок.
Прикрепите один конец каждой из трех полосок к шестым частям левого края, сняв колпачок.
Согните каждую полоску и прикрепите другой конец каждой полоски к шестому, противоположному первому концу, так, чтобы внутренняя часть сферы на одном конце была соединена с внешней стороной на другом. Сделайте так, чтобы полосы не проходили сквозь середину, а огибали ее.
Соедините свободные края полосок. Стыки пересекают полосы.

бумага Поверхность мальчика

Симметрия поверхности Мальчика

Поверхность мальчика имеет 3-х кратную симметрия. Это означает, что у него есть ось дискретной симметрии вращения: любой поворот на 120 ° вокруг этой оси оставит поверхность в точности такой же. Поверхность Мальчика можно разрезать на три части. конгруэнтный шт.

Модель в Обервольфахе

Модель поверхности Мальчика в Обервольфах

В Математический научно-исследовательский институт Обервольфаха есть большая модель поверхности Мальчика у входа, построенная и подаренная Мерседес Бенц в январе 1991 года. Эта модель имеет 3-кратное вращательная симметрия и сводит к минимуму Уиллмор энергия поверхности. Он состоит из стальных полос, которые представляют собой изображение сетка полярных координат при параметризации, данной Робертом Брайантом и Робом Куснером. Меридианы (лучи) становятся обычными Ленты Мебиуса, т.е. закручен на 180 градусов. Все полосы, кроме одной, соответствующие окружностям широты (радиальные круги вокруг начала координат), раскручены, а полоса, соответствующая границе единичного круга, представляет собой ленту Мёбиуса, повернутую на три раза на 180 градусов - как и эмблема института. (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).

Приложения

Поверхность мальчика можно использовать в выворот сферы, как модель на полпути. Модель на полпути - это погружение сферы с тем свойством, что вращение меняет местами внутри и снаружи, и поэтому может использоваться для выворачивания (выворачивания наизнанку) сферы. Мальчика (случай p = 3) и Морена (случай p = 2) поверхности начинают последовательность промежуточных моделей с более высокой симметрией, впервые предложенных Джорджем Фрэнсисом, индексированных четными целыми числами 2p (для p нечетных эти погружения можно разложить на проективную плоскость). Все это дает параметризация Куснера.

Параметризация поверхности Мальчика

Вид описанной здесь параметризации

Поверхность мальчика можно параметризовать несколькими способами. Одна параметризация, открытая Робом Куснером и Роберт Брайант,^[4] следующее: задано комплексное число ш чей величина меньше или равно единице ( ${ Displaystyle | ш | leq 1}$ ), позволять

{ displaystyle { begin {align} g_ {1} & = - {3 over 2} operatorname {Im} left [{w left (1-w ^ {4} right) over w ^ { 6} + { sqrt {5}} w ^ {3} -1} right] [4pt] g_ {2} & = - {3 over 2} operatorname {Re} left [{w left (1 + w ^ {4} right) over w ^ {6} + { sqrt {5}} w ^ {3} -1} right] [4pt] g_ {3} & = имя оператора {Im} left [{1 + w ^ {6} over w ^ {6} + { sqrt {5}} w ^ {3} -1} right] - {1 over 2} конец {выровнено}}}

так что

{ displaystyle { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = { frac {1} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2} ^ {2} + g_ { 3} ^ {2}}} { begin {pmatrix} g_ {1} g_ {2} g_ {3} end {pmatrix}}}

куда Икс, у, и z желаемые Декартовы координаты точки на поверхности Мальчика.

Если выполнить обращение этой параметризации с центром в тройной точке, то получится полная минимальная поверхность с тремя заканчивается (так естественным образом была обнаружена эта параметризация). Отсюда следует, что параметризация Брайанта – Куснера поверхностей Боя является «оптимальной» в том смысле, что она является «наименее изогнутым» погружением проективная плоскость в трёхмерный.

Свойство параметризации Брайанта – Куснера.

Если ш заменяется отрицательной обратной величиной его комплексно сопряженный, ${ textstyle - {1 над w ^ { star}},}$ тогда функции грамм₁, грамм₂, и грамм₃ из ш остаются без изменений.

Заменив $ш$ с точки зрения его реальной и мнимой частей $ш = s + Это$ , и расширяя результирующую параметризацию, можно получить параметризацию поверхности Боя в терминах рациональные функции из $s$ и $т$ . Это показывает, что поверхность Мальчика - это не только алгебраическая поверхность, но даже рациональная поверхность. Замечание к предыдущему абзацу показывает, что обычное волокно данной параметризации состоит из двух точек (то есть почти каждая точка поверхности Боя может быть получена двумя значениями параметров).

Связь поверхности Мальчика с реальной проективной плоскостью

Позволять ${ Displaystyle P (вес) = (х (вес), y (вес), z (вес))}$ - параметризация Брайанта – Куснера поверхности Боя. потом

{ Displaystyle P (w) = P left (- {1 over w ^ { star}} right).}

Это объясняет состояние ${ Displaystyle влево | ш вправо | Leq 1}$ по параметру: если ${ Displaystyle влево | ш вправо | <1,}$ тогда ${ textstyle left | - {1 over w ^ { star}} right |> 1.}$ Однако для ${ Displaystyle влево | ш вправо | = 1.}$ В этом случае ${ textstyle - {1 over w ^ { star}} = - w.}$ Это означает, что если ${ Displaystyle влево | ш вправо | = 1,}$ точка поверхности Мальчика получается из двух значений параметров: ${ Displaystyle P (w) = P (-w).}$ Другими словами, поверхность Мальчика параметризована таким диском, что пары диаметрально противоположных точек на поверхности периметр диска эквивалентны. Это показывает, что поверхность Мальчика является изображением реальная проективная плоскость, RP² по гладкая карта. То есть параметризация поверхности Мальчика - это погружение реальной проективной плоскости в Евклидово пространство.