Величина (математика) - Википедия - Magnitude (mathematics)

В математике величина или же размер из математический объект - это свойство, которое определяет, больше или меньше объект по сравнению с другими объектами того же типа. Более формально величина объекта - это отображаемый результат заказ (или ранжирование) - учебный класс объектов, которым он принадлежит.

В физике сила силы обычно выражается ее величиной.

История

Греки различали несколько типов величин:^[1] включая:

Положительный фракции
Сегменты линии (заказан длина )
Фигуры самолета (заказан площадь )
Твердые тела (заказан объем )
Углы (упорядочено по угловой величине)

Они доказали, что первые два не могут быть одинаковыми или даже изоморфный системы величин.^[2] Они не считали отрицательные величины значимыми, и величина по-прежнему в основном используется в контекстах, в которых ноль является либо наименьшим размером, либо меньшим, чем все возможные размеры.

Числа

Величина любого номер ${ displaystyle x}$ обычно называют его "абсолютная величина "или" модуль ", обозначаемый ${ displaystyle | x |}$ .^[3]^[4]

Действительные числа

Абсолютное значение a настоящий номер р определяется:^[5]

{ Displaystyle влево | г вправо | = г, { текст {если}} г { текст {≥}} 0}

{ displaystyle left | r right | = -r, { text {if}} r <0.}

Абсолютное значение также можно рассматривать как число расстояние из нуль на самом деле числовая строка. Например, абсолютное значение 70 и -70 равно 70.

Сложные числа

А комплексное число z можно рассматривать как положение точки п в 2-мерное пространство, называется комплексная плоскость. Абсолютное значение (или модуль) z можно рассматривать как расстояние п от истока этого пространства. Формула абсолютного значения z = а + би аналогичен таковому для Евклидова норма вектора в двумерном евклидовом пространстве:^[6]

{ displaystyle left | z right | = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

где реальные числа а и б являются реальная часть и мнимая часть из z, соответственно. Например, модуль −3 + 4я является ${ Displaystyle { sqrt {(-3) ^ {2} + 4 ^ {2}}} = 5}$ . В качестве альтернативы величина комплексного числа z можно определить как квадратный корень из произведения самого себя и его комплексно сопряженный, ${ displaystyle { bar {z}}}$ ,^[3] где для любого комплексного числа z = а + би, его комплексное сопряжение есть z^∗ = а − би.

{ displaystyle left | z right | = { sqrt {z { bar {z}}}} = { sqrt {(a + bi) (a-bi)}} = { sqrt {a ^ { 2} -abi + abi-b ^ {2} i ^ {2}}} = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

(куда ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ )

Векторные пространства

Евклидово векторное пространство

А Евклидов вектор представляет положение точки п в Евклидово пространство. Геометрически это можно описать как стрелку от начала пространства (векторный хвост) к этой точке (вектор кончик). Математически вектор Икс в п-мерное евклидово пространство можно определить как упорядоченный список п действительные числа (в Декартовы координаты из п): Икс = [Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п]. Его величина или же длина, обозначаемый ${ Displaystyle | х |}$ ,^[3]^[7] чаще всего определяется как его Евклидова норма (или евклидова длина):^[8]

{ displaystyle | mathbf {x} |: = { sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}}}. }

Например, в трехмерном пространстве величина [3, 4, 12] равна 13, потому что ${ displaystyle { sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 12 ^ {2}}} = { sqrt {169}} = 13.}$ Это эквивалентно квадратный корень из скалярное произведение самого вектора:

{ displaystyle | mathbf {x} |: = { sqrt { mathbf {x} cdot mathbf {x}}}.}

Евклидова норма вектора - это просто частный случай Евклидово расстояние: расстояние между его хвостом и его кончиком. Два аналогичных обозначения используются для евклидовой нормы вектора Икс:

${ Displaystyle влево | mathbf {х} вправо |,}$
${ displaystyle left | mathbf {x} right |.}$

Недостатком второго обозначения является то, что его также можно использовать для обозначения абсолютная величина из скаляры и детерминанты матриц, что вносит элемент неоднозначности.

Нормированные векторные пространства

По определению, все евклидовы векторы имеют величину (см. Выше). Однако понятие величины нельзя применять ко всем видам векторов.

Функция, которая сопоставляет объекты с их величинами, называется норма. А векторное пространство снабженный нормой, такой как евклидово пространство, называется нормированное векторное пространство.^[9] Не все векторные пространства нормированы.

Псевдоевклидово пространство

В псевдоевклидово пространство, величина вектора - это значение квадратичная форма для этого вектора.

Логарифмические величины

При сравнении звездных величин логарифмический шкала часто используется. Примеры включают громкость из звук (измеряется в децибелы ), яркость из звезда, а шкала Рихтера интенсивности землетрясения. Логарифмические величины могут быть отрицательными и не могут быть осмысленно добавлены или вычтены (поскольку соотношение нелинейное).

Порядок величины

Порядки величины обозначают разницу в числовых величинах, обычно измерениях, в 10 раз, то есть разницу в одну цифру в расположении десятичной точки.