Рациональная поверхность - Википедия - Rational surface

В алгебраическая геометрия, филиал математика, а рациональная поверхность это поверхность бирационально эквивалентный к проективная плоскость, или другими словами рациональное разнообразие измерения два. Рациональные поверхности являются простейшими из 10 или около того классов поверхностей в Классификация Энриквеса-Кодаира сложных поверхностей, и были первыми поверхностями, которые были исследованы.

Структура

Каждую неособую рациональную поверхность можно получить многократно взрыв а минимальная рациональная поверхность. Минимальные рациональные поверхности - это проективная плоскость и Поверхности Хирцебруха Σ_р за р = 0 или р ≥ 2.

Инварианты: В Plurigenera все 0 и фундаментальная группа тривиально.

Ходжа алмаз:

куда п равен 0 для проективной плоскости и 1 для Поверхности Хирцебруха и больше единицы для других рациональных поверхностей.

В Группа Пикард это странно унимодулярная решетка я_1,п, за исключением Поверхности Хирцебруха Σ_2м когда это четная унимодулярная решетка II_1,1.

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность такая, что q и п₂ (иррегулярность и второе множественное число) оба равны нулю, это рационально. Это используется в классификации Энриквеса – Кодаира для определения рациональных поверхностей. Зарисский (1958) доказал, что теорема Кастельнуово верна и над полями положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово также следует, что любой унирациональный комплексная поверхность рациональна, потому что если комплексная поверхность унирациональна, то ее нерегулярность и плюрироды ограничены таковыми из рациональной поверхности и, следовательно, все равны 0, поэтому поверхность рациональна. Большинство унирациональных сложных разновидностей размерности 3 или больше не рациональны. В характеристике п > 0 Зарисский (1958) нашли примеры унирациональных поверхностей (Поверхности Зарисского ), которые не рациональны.

Одно время было неясно, может ли сложная поверхность такая, что q и п₁ оба исчезают рационально, но контрпример ( Поверхность Энриквеса ) был найден Федериго Энрикес.

Примеры рациональных поверхностей

• Поверхности Бордиги: Вложение проективной плоскости в п⁴ определяется квартикой через 10 баллов в общем положении.
• Поверхности Шатле
• Брусчатка
• Кубические поверхности Неособые кубические поверхности изоморфны проективной плоскости, раздуваемой в 6 точках, и являются поверхностями Фано. Именованные примеры включают Ферма кубический, то Кубическая поверхность Кэли, а Диагональная поверхность Клебша.
• поверхности дель Пеццо (Поверхности Фано)
• Эннепер поверхность
• Поверхности Хирцебруха Σ_п
• п¹×п¹ Произведение двух проективных прямых - это поверхность Хирцебруха Σ₀. Это единственная поверхность с двумя разными линейками.
• В проективная плоскость
• Сегре поверхность Пересечение двух квадрик, изоморфных проективной плоскости, раздуваемой в 5 точках.
• Поверхность Штейнера Поверхность в п⁴ с особенностями, бирациональными к проективной плоскости.
• Белые поверхности, обобщение поверхностей Бордиги.
• Веронезе поверхность Вложение проективной плоскости в п⁵.

Смотрите также

• Список алгебраических поверхностей

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3, МИСТЕР  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-49510-3, МИСТЕР  1406314
• Зариски, Оскар (1958), "О критерии рациональности Кастельнуово стр._а = P₂ = 0 алгебраической поверхности », Иллинойсский журнал математики, 2: 303–315, ISSN  0019-2082, МИСТЕР  0099990

внешняя ссылка

• Le Superficie Algebriche: Инструмент для визуального изучения географии (минимальных) сложных алгебраических гладких поверхностей.