Набор симметрии - Википедия - Symmetry set

An эллипс (красный), это эволюционировать (синий) и его набор симметрии (зеленый и желтый). то медиальная ось это просто зеленая часть набора симметрии. Показана одна двуугольная окружность.

В геометрия, то набор симметрии является методом представления локальной симметрии кривой и может использоваться как метод представления форма объектов путем нахождения топологический каркас. В медиальная ось, подмножество набора симметрии - это набор кривых, которые примерно проходят по середине объекта.

В 2-х измерениях

Позволять ${ Displaystyle I substeq mathbb {R}}$ быть открытым интервалом, и ${ displaystyle gamma: I to mathbb {R} ^ {2}}$ - параметризация гладкой плоской кривой.

Набор симметрии ${ Displaystyle гамма (I) подмножество mathbb {R} ^ {2}}$ определяется как замыкание множества центров окружностей, касающихся кривой хотя бы в двух различных точках (битангентный круги).

У набора симметрии будут конечные точки, соответствующие вершины кривой. Такие точки будут лежать в куспид из эволюционировать. В таких точках кривая будет иметь 4-точечный контакт с кругом.

В п размеры

Для гладкого многообразия размерности ${ displaystyle m}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (явно нам нужно ${ Displaystyle м <п}$). Множество симметрии многообразия - это замыкание центров гиперсфер, касающихся многообразия как минимум в двух различных местах.

Как бифуркационный набор

Позволять ${ Displaystyle U substeq mathbb {R} ^ {m}}$ быть открытым односвязным доменом и ${ displaystyle (u_ {1} ldots, u_ {m}): = { underline {u}} in U}$. Позволять ${ displaystyle { underline {X}}: U to mathbb {R} ^ {n}}$ - параметризация гладкого участка многообразия. ${ displaystyle n}$ параметрическое семейство функций на кривой, а именно

${ displaystyle F: mathbb {R} ^ {n} times U to mathbb {R} , quad { mbox {where}} quad F ({ underline {x}}, { underline {u}}) = ({ underline {x}} - { underline {X}}) cdot ({ underline {x}} - { underline {X}}) .}$

Это семейство называется семейством функций в квадрате расстояния. Это потому, что для фиксированного ${ displaystyle { underline {x}} _ {0} in mathbb {R} ^ {n}}$ значение ${ Displaystyle F ({ underline {x}} _ {0}, { underline {u}})}$ это квадрат расстояния от ${ displaystyle { underline {x}} _ {0}}$ к ${ displaystyle { underline {X}}}$ в ${ displaystyle { underline {X}} (u_ {1} ldots, u_ {m}).}$

Таким образом, набор симметрии является бифуркационным набором семейства функций в квадрате расстояния. Т.е. это набор ${ displaystyle { underline {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ такой, что ${ displaystyle F ({ underline {x}}, -)}$ имеет повторяющуюся особенность для некоторых ${ displaystyle { underline {u}} in U.}$

Под повторяющейся особенностью мы подразумеваем сингулярность матрицы якобиана. Поскольку у нас есть семейство функций, это эквивалентно ${ displaystyle { mathcal {r}} F = { underline {0}}}$.

Тогда набор симметрии - это набор ${ displaystyle { underline {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$ такие, что существуют ${ displaystyle ({ underline {u}} _ {1}, { underline {u}} _ {2}) в U times U}$ с ${ displaystyle { underline {u}} _ {1} neq { underline {u}} _ {2}}$, и

${ displaystyle { mathcal {r}} F ({ underline {x}}, { underline {u}} _ {1}) = { mathcal {r}} F ({ underline {x}}, { underline {u}} _ {2}) = { underline {0}}}$

вместе с предельными точками этого множества.

Рекомендации

• Дж. У. Брюс, П. Дж. Гиблин, К. Г. Гибсон, Наборы симметрии. Proc. Королевского общества Эдинбурга 101A (1985), 163-186.
• Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, Кривые и сингулярности, издательство Кембриджского университета (1993).