Теорема о четырех вершинах - Four-vertex theorem

Эллипс (красный) и его эволюционировать (синий), показывая четыре вершины кривой, каждая вершина соответствует куспиду на эволюции.

Классический теорема о четырех вершинах заявляет, что кривизна функция простой, замкнутой, гладкой плоская кривая имеет как минимум четыре местных экстремумы (в частности, минимум два локальных максимума и минимум два локальных минимума). Название теоремы происходит от соглашения о назывании крайней точки функции кривизны a вершина. Эта теорема имеет множество обобщений, включая версию для пространственных кривых, где вершина определяется как точка обращения в нуль кручение.

Примеры

An эллипс имеет ровно четыре вершины: два локальных максимума кривизны там, где его пересекает большая ось эллипса, и два локальных минимума кривизны, где его пересекает малая ось. В круг, каждая точка является как локальным максимумом, так и локальным минимумом кривизны, поэтому вершин бесконечно много.

Каждые кривая постоянной ширины имеет не менее шести вершин.[1]

История

Теорема о четырех вершинах была впервые доказана для выпуклые кривые (т.е. кривые со строго положительной кривизной) в 1909 г. Шьямадас Мухопадхьяя.[2] Его доказательство использует тот факт, что точка на кривой является экстремумом функции кривизны если и только если то соприкасающийся круг в этот момент имеет 4-й порядок контакт с кривой (в общем, соприкасающийся круг имеет контакт с кривой только 3-го порядка). Теорема о четырех вершинах была в общем доказана Адольф Кнезер в 1912 г., используя проективный аргумент.[3]

Доказательство

В течение многих лет доказательство теоремы о четырех вершинах оставалось трудным, но простое и концептуальное доказательство было дано Оссерман (1985), основанный на идее минимальный охватывающий круг.[4] Это круг, содержащий заданную кривую и имеющий наименьший возможный радиус. Если кривая включает дугу окружности, у нее бесконечно много вершин. В противном случае кривая и окружность должны быть касательная минимум два балла. При каждом касании кривизна кривой больше, чем кривизна окружности (иначе кривая продолжалась бы от касания вне круга, а не внутри). Однако между каждой парой касаний кривизна должна уменьшаться до меньшей, чем кривизна окружности, например, в точке, полученной перемещением окружности, до тех пор, пока она не перестанет содержать какую-либо часть кривой между двумя точками касания и с учетом последней точки. контакта между переведенной окружностью и кривой. Следовательно, существует локальный минимум кривизны между каждой парой касаний, дающий две из четырех вершин. Между каждой парой локальных минимумов должен быть локальный максимум кривизны, дающий две другие вершины.[4][5]

Converse

Обратное к теореме о четырех вершинах утверждает, что любой непрерывный, действительная функция окружности, имеющей по крайней мере два локальных максимума и два локальных минимума, является функцией кривизны простой замкнутой плоской кривой. Обратное утверждение для строго положительных функций было доказано в 1971 г. Герман Глюк как частный случай общей теоремы о предварительном задании кривизны n-сферы.[6] Полное обращение к теореме о четырех вершинах было доказано Бьорн Дальберг незадолго до его смерти в январе 1998 г. и опубликовано посмертно.[7] Доказательство Дальберга использует номер намотки аргумент, который чем-то напоминает стандартный топологическое доказательство основной теоремы алгебры.[8]

Приложение к механике

Одно из следствий теоремы состоит в том, что однородный плоский диск, катящийся по горизонтальной поверхности под действием силы тяжести, имеет как минимум 4 точки равновесия. Дискретная версия этого состоит в том, что не может быть моностатический многоугольник Однако в трех измерениях действительно существуют моностатические многогранники, а также существует выпуклый однородный объект с ровно двумя точками равновесия (одна стабильная, а другая нестабильная). Gömböc.

Иллюстрация теоремы о четырех вершинах на эллипсе

Дискретные вариации

Существует несколько дискретных версий теоремы о четырех вершинах, как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников.[9] Вот некоторые из них:

  • (Билински) Последовательность углов выпуклой равносторонний многоугольник не менее четырех вершин имеет не менее четырех экстремумы.
  • Последовательность длин сторон выпуклого равносторонний многоугольник не менее четырех сторон имеет не менее четырех экстремумы.
  • (Мусин) А круг ограниченный вокруг трех последовательных вершин многоугольника, содержащего не менее четырех вершин, называется экстремальный если он содержит все оставшиеся вершины многоугольника или не имеет ни одной из них внутри. Такой выпуклый многоугольник общий если у него нет четырех вершин на одном круге. Тогда каждый выпуклый многоугольник общего положения с не менее чем четырьмя вершинами имеет не менее четырех экстремальных окружностей.
  • (Legendre –Коши ) Две выпуклые п-угольники с равной соответствующей длиной стороны имеют либо ноль, либо не менее 4 смен знака в циклической последовательности соответствующих разностей углов.
  • (Александров А.Д. ) Две выпуклые п-угольники с параллельными соответствующие стороны и равные площади имеют либо ноль, либо по меньшей мере 4 смены знака в циклической последовательности соответствующих разностей длин сторон.

Некоторые из этих вариантов сильнее других, и все они влекут (обычную) теорему о четырех вершинах с помощью предельного аргумента.

Обобщения на пространственную кривую

В стереографическая проекция от сферы к плоскости сохраняет критические точки геодезическая кривизна. Таким образом, простые замкнутые сферические кривые имеют четыре вершины. Кроме того, на сфере вершины кривой соответствуют точкам, в которых кручение исчезает. Итак, для пространственных кривых вершина определяется как точка исчезающего кручения. В 1994 г. В. Д. Седых [10] показал, что всякая простая кривая замкнутого пространства, лежащая на границе выпуклое тело имеет четыре вершины. В 2017 г. Мохаммад Гоми [11] обобщил теорему Седых на все кривые, ограничивающие локально выпуклый круг.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Мартинес-Мор, Ив (1996). «Заметка по теореме о теннисном мячике». Американский математический ежемесячный журнал. 103 (4): 338–340. Дои:10.2307/2975192. JSTOR  2975192. Г-Н  1383672.; Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018). «Замкнутые циклоиды на нормированной плоскости». Monatshefte für Mathematik. 185 (1): 43–60. Дои:10.1007 / s00605-017-1030-5. Г-Н  3745700.
  2. ^ Мухопадхяя, С. (1909). «Новые методы в геометрии плоской дуги». Бык. Calcutta Math. Soc. 1: 21–27.
  3. ^ Кнезер, Адольф (1912). "Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie". Festschrift Генрих Вебер. Teubner. С. 170–180.
  4. ^ а б Бергер, Марсель (2010). «V.8. Теорема о четырех вершинах и обратная ей; приложение к физике». Открытая геометрия. Гейдельберг: Springer. С. 271–278. Дои:10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN  978-3-540-70996-1. Г-Н  2724440..
  5. ^ Оссерман, Роберт (1985). «Теорема о четырех или более вершинах». Американский математический ежемесячный журнал. 92 (5): 332–337. Дои:10.2307/2323126. Г-Н  0790188..
  6. ^ Глюк, Герман (1971). «Обратное к теореме о четырех вершинах». L'Enseignement Mathématique. 17: 295–309.
  7. ^ Дальберг, Бьорн (2005). «Обратное к теореме о четырех вершинах». Proc. Амер. Математика. Soc. 133 (7): 2131–2135. Дои:10.1090 / S0002-9939-05-07788-9.
  8. ^ DeTurck, D .; Gluck, H .; Померлеано, Д. и Вик, Д.С. (2007). "Теорема о четырех вершинах и обратная ей" (PDF). Уведомления Американского математического общества. 54 (2): 9268. arXiv:математика / 0609268. Bibcode:2006математика ...... 9268D.
  9. ^ Пак, И. Лекции по дискретной и многогранной геометрии В архиве 2009-01-29 в Wayback Machine, Раздел 21.
  10. ^ Седых, В. (1994). «Четыре вершины выпуклой пространственной кривой». Бык. Лондонская математика. Soc. 26 (2): 177–180. Дои:10.1112 / blms / 26.2.177.
  11. ^ Гоми, Мохаммад (2017). «Граничное кручение и выпуклые шапки локально выпуклых поверхностей». Журнал дифференциальной геометрии. 105 (3): 427–486. Дои:10.4310 / jdg / 1488503004. ISSN  0022-040X.

внешняя ссылка

  • Теорема о четырех вершинах и обратная ей —Объяснительная статья, объясняющая Роберт Оссерман Простое доказательство теоремы о четырех вершинах и доказательство обратного утверждения Дальбергом предлагает краткий обзор расширений и обобщений, а также дает биографические очерки Мухопадхьяи, Кнезера и Дальберга.