Кривая постоянной ширины - Википедия - Curve of constant width

Измерение ширины Треугольник Рело как расстояние между параллельными поддерживающие линии. Для кривой постоянной ширины это измерение одинаково для всех направлений линий.

В геометрия, а кривая постоянной ширины это простая замкнутая кривая в самолет ширина которой (расстояние между параллельными поддерживающие линии ) одинакова во всех направлениях, независимо от наклона линий. Форма, ограниченная кривой постоянной ширины, представляет собой тело постоянной ширины, иногда называемый округлый, имя, данное им Леонард Эйлер.^[1] Стандартными примерами являются круг и Треугольник Рело. Эти кривые также могут быть построены с использованием дуг окружности с центрами пересечения расположение линий, как эвольвенты определенных кривых, или путем пересечения окружностей с центром на частичной кривой.

Каждая кривая постоянной ширины должна быть границей выпуклый набор, и по Теорема Барбье это периметр должно быть точно π раз его ширину. Минимальная площадь для заданной ширины получается Треугольник Рело а максимум получается круг. Каждая линия, пересекающая кривую постоянной ширины перпендикулярно делает это дважды, в точках, разделенных шириной. Каждое надмножество тела постоянной ширины имеет строго больший диаметр. Каждая кривая постоянной ширины имеет по крайней мере шесть точек крайней кривизны и может быть сколь угодно точно аппроксимирована гладкой кривой такой же постоянной ширины.

Цилиндры с поперечным сечением постоянной ширины можно использовать в качестве роликов для поддержки ровной поверхности. Кривые постоянной ширины, основанные на правильных многоугольниках, также использовались для формы монет. Существование некруглых кривых постоянной ширины усложняет задачу проверки округлость объекта.

Эти кривые были обобщены несколькими способами на более высокие измерения и неевклидова геометрия.

Определения

Каждый компактный набор в плоскости имеется одна пара параллельных поддерживающие линии в любом направлении. Опорная линия - это линия, которая имеет по крайней мере одну общую точку с границей множества, но не отделяет две точки от множества. Ширина набора в этом направлении равна Евклидово расстояние между этими двумя строками. выпуклый корпус из ортогональная проекция перпендикулярно этому направлению находится отрезок, а ширина в этом направлении - это длина этого отрезка линии. Если ширина одинакова во всех направлениях, граница набора представляет собой кривую постоянной ширины, а его выпуклая оболочка представляет собой тело постоянной ширины.^[2][3]

Примеры

Кривая постоянной ширины, определяемая полиномом 8-й степени

Ширина круг постоянно: его диаметр. С другой стороны, квадрат имеет параллельные опорные линии (те, которые содержат две противоположные стороны), ширина которых равна длине его сторон, и различные параллельные опорные стороны (параллельные его диагоналям), ширина которых равна длине его диагонали. Эти две ширины неравны в соотношении ${ displaystyle 1: { sqrt {2}}}$. Таким образом, круг имеет постоянную ширину, а квадрат - нет.

Однако существует множество некруглых форм постоянной ширины. Стандартный пример - Треугольник Рело, образованных из трех дуг окружности, каждая из которых сосредоточена в одной вершине равносторонний треугольник и иметь две другие вершины в качестве конечных точек. Его внутренняя часть представляет собой пересечение трех дисков, каждый из которых расположен на границе двух других дисков.^[2] Треугольник Рело не гладкий в трех его вершинах; углы 120 °, которые он имеет, являются самыми острыми для любой кривой постоянной ширины.^[3] Известны и другие кривые постоянной ширины, которые везде гладкие (и не являются кругом).^[3][4]

Существует многочлен ${ displaystyle f (x, y)}$ степени восемь, чей нулевой набор (точки ${ Displaystyle (х, у)}$ для которого ${ displaystyle f (x, y) = 0}$) образует некруглую гладкую алгебраическая кривая постоянной ширины. Конкретно,^[5]

$${ displaystyle { begin {align} f (x, y) = & (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {4} -45 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {3} -41283 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} +7950960 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 16 (x ^ {2} -3y ^ {2 }) ^ {3} & + 48 (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} -3y ^ {2}) ^ {2} + x (x ^ {2} - 3y ^ {2}) left (16 (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -5544 (x ^ {2} + y ^ {2}) + 266382 right) -720 ^ {3}. End {выравнивается}}}$$

Это минимально возможная степень полинома, определяющего некруглую кривую постоянной ширины.^[6]

Конструкции

Нерегулярный Многоугольник Рило

Применение метода перекрещенных линий к сторонам неправильного треугольника

Тело постоянной ширины (желтое), образованное пересекающимися дисками (синие) с центром в полуэллипс (чернить). Эксцентриситет полуэллипса, ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} { sqrt {3}}}$, является максимально возможным при сохранении того свойства, что каждая опорная линия касается окружности радиуса, равной ширине, содержащей полуэллипс; этот касательный круг показан красным для точка минимальной кривизны полуэллипса.

Каждый правильный многоугольник с нечетным числом сторон дает кривую постоянной ширины, Многоугольник Рило, образованный из дуг окружности с центрами в его вершинах, которые проходят через две вершины, наиболее удаленные от центра; также возможны неправильные многоугольники Рило.^[7][8] Это частный случай более общей конструкции, названной Мартин Гарднер «метод перекрещенных линий», в котором любой расположение линий на плоскости (нет двух параллелей), отсортированные в циклическом порядке по наклону, соединены плавной кривой, образованной дугами окружности между парами последовательных линий в отсортированном порядке с центром на пересечении этих двух линий. Радиус первой дуги должен быть выбран достаточно большим, чтобы все последующие дуги заканчивались на правильной стороне следующей точки пересечения; однако все достаточно большие радиусы работают. Для двух линий это образует круг; для трех линий на сторонах равностороннего треугольника с минимально возможным радиусом он образует треугольник Рело, а для линий правильного треугольника звездный многоугольник он может образовывать многоугольник Рело.^[2][7]

Леонард Эйлер построенные кривые постоянной ширины как эвольвенты кривых с нечетным числом особенности острия, имея только один касательная линия в каждом направлении (то есть проективные ежи ). Если начальная кривая гладкая (за исключением выступов), результирующая кривая постоянной ширины также будет гладкой.^[1][4] Примером начальной кривой с правильными свойствами для этой конструкции является дельтовидная дуга, а эвольвенты дельтовидной мышцы образуют плавные кривые постоянной ширины, не образованные дугами окружности.^[9][10] Такую же конструкцию можно также получить, прокручивая отрезок линии по той же начальной кривой без скольжения, пока он не вернется в исходное положение. Для любого достаточно длинного отрезка линии существует начальная позиция, касательная к одной из вершин кривой, для которой он будет возвращаться таким образом, полученная расчетом, включающим переменную сумму длин дуг начальной кривой между ее вершинами. .^[11]

Другая конструкция выбирает половину кривой постоянной ширины, удовлетворяющую определенным условиям, а затем завершает ее до полной кривой. Строительство начинается с выпуклой изогнутой дуги, соединяющей пару ближайших точек на двух параллельных линиях, разделение которых составляет предполагаемую ширину. ${ displaystyle w}$ кривой. Дуга должна иметь свойство (необходимое для кривой постоянной ширины), что каждая из ее опорных линий касается окружности радиуса. ${ displaystyle w}$ содержащая всю дугу; интуитивно это предотвращает его кривизна быть меньше, чем круг радиуса ${ displaystyle w}$ в любой момент. Если он соответствует этому условию, его можно использовать в строительстве. Следующим шагом будет пересечение бесконечного семейства круговых дисков радиуса ${ displaystyle w}$, как касательные к опорным линиям, так и дополнительные диски с центром в каждой точке дуги. Это пересечение образует тело постоянной ширины с заданной дугой как частью его границы.^[3] В частном случае этой конструкции, найденной французским математиком XIX века Виктор Пюизо,^[12] его можно применить к дуге, образованной половиной эллипс между концами его двух полуглавные оси, пока его эксцентриситет самое большее ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} { sqrt {3}}}$, достаточно низкий, чтобы соответствовать условию кривизны. (Эквивалентно, большая полуось должна быть не более чем в два раза больше малой полуоси.)^[7] Эта конструкция универсальна: все кривые постоянной ширины могут быть построены таким образом.^[3]

Для любых двух тел постоянной ширины их Сумма Минковского образует другое тело постоянной ширины.^[13]

Характеристики

Треугольник Рело катится внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех сторон.

Кривая постоянной ширины может вращаться между двумя параллельными линиями, разделенными ее шириной, при этом во время вращения всегда касаться этих линий. Эту последовательность поворотов кривой можно получить, удерживая кривую на месте и вращая две опорные линии. вокруг него, а затем применяя повороты всей плоскости, которые вместо этого удерживают линии на месте и заставляют кривую вращаться между ними. Таким же образом можно вращать кривую постоянной ширины между двумя парами параллельных линий с одинаковым разделением. В частности, выбирая прямые через противоположные стороны квадрат, любую кривую постоянной ширины можно повернуть внутри квадрата.^[2][7][3] Хотя не всегда можно повернуть такую ​​кривую в пределах обычного шестиугольник, каждая кривая постоянной ширины может быть нарисована внутри правильного шестиугольника таким образом, чтобы он касался всех шести сторон.^[14]

Кривая имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда для каждой пары параллельных опорных линий она касается этих двух линий в точках, расстояние которых равно расстоянию между линиями. В частности, это означает, что он может касаться только каждой опорной линии в одной точке. Точно так же каждая линия, которая пересекает кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в двух точках на расстоянии, равном ширине. Следовательно, кривая постоянной ширины должна быть выпуклой, поскольку каждая невыпуклая простая замкнутая кривая имеет опорную линию, которая касается ее в двух или более точках.^[3][4] Кривые постоянной ширины являются примерами самопараллельных или автопараллельных кривых, кривых, отслеживаемых обеими конечными точками отрезка линии, который перемещается таким образом, что обе конечные точки перемещаются перпендикулярно отрезку линии. Однако существуют и другие самопараллельные кривые, такие как бесконечная спираль, образованная эвольвентой окружности, которые не имеют постоянной ширины.^[15]

Теорема Барбье утверждает, что периметр любой кривой постоянной ширины равна ширине, умноженной на ${ displaystyle pi}$. Как частный случай, эта формула согласуется со стандартной формулой ${ displaystyle pi d}$ для периметра круга с учетом его диаметра.^[16][17] Посредством изопериметрическое неравенство и теорема Барбье, круг имеет максимальную площадь любой кривой заданной постоянной ширины. В Теорема Бляшке – Лебега говорит, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь любой выпуклой кривой данной постоянной ширины.^[18] Каждое собственное надмножество тела постоянной ширины имеет строго больший диаметр, и каждое евклидово множество с этим свойством является телом постоянной ширины. В частности, одно тело постоянной ширины не может быть подмножеством другого тела с такой же постоянной шириной.^[19][20] Каждую кривую постоянной ширины можно сколь угодно точно аппроксимировать кусочно-круговой кривой или аналитическая кривая такой же постоянной ширины.^[21]

А вершина гладкой кривой это точка, в которой его кривизна является локальным максимумом или минимумом; для дуги окружности все точки являются вершинами, но некруговые кривые могут иметь конечный дискретный набор вершин. Для кривой, которая не является гладкой, точки, где она не является гладкой, также могут рассматриваться как вершины бесконечной кривизны. Для кривой постоянной ширины каждая вершина локально минимальной кривизны соединяется с вершиной локально максимальной кривизны, противоположной ей на диаметре кривой, и должно быть не менее шести вершин. Это контрастирует с теорема о четырех вершинах, согласно которому каждая простая замкнутая гладкая кривая на плоскости имеет не менее четырех вершин. Некоторые кривые, такие как эллипсы, имеют ровно четыре вершины, но это невозможно для кривой постоянной ширины.^[22][23] Поскольку локальные минимумы кривизны противоположны локальным максимумам кривизны, единственные кривые постоянной ширины с центральная симметрия - окружности, кривизна которых одинакова во всех точках.^[13] Для каждой кривой постоянной ширины минимальный охватывающий круг кривой и самый большой круг, который она содержит, концентричны, а средний их диаметр равен ширине кривой. Эти два круга снова касаются кривой по крайней мере в трех парах противоположных точек, но эти точки касания могут не быть вершинами.^[13]

Выпуклое тело имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда сумма Минковского тела и его центрального отражения является круглым диском; в таком случае ширина тела равна радиусу диска.^[13][14]

Приложения

Ролики постоянной ширины

Из-за способности кривых постоянной ширины перекатываться между параллельными линиями любые цилиндр с кривой постоянной ширины, поскольку ее поперечное сечение может действовать как "ролик", поддерживая ровную плоскость и удерживая ее ровной при движении по любой ровной поверхности. Однако центр ролика перемещается вверх и вниз во время катания, поэтому эта конструкция не будет работать для колес такой формы, прикрепленных к неподвижным осям.^[2][7][3]

В нескольких странах монеты в форме как некруглые кривые постоянной ширины; примеры включают британский 20p и 50 пенсов монеты. Их семиугольная форма с изогнутыми сторонами означает, что детектор валюты в монетном автомате всегда будет измерять одну и ту же ширину, независимо от того, под каким углом он измеряет.^[2][7] То же самое и с 11-сторонним луни (Монета канадский доллар).^[24]

Из-за наличия некруглых кривых постоянной ширины проверка округлость объекта требует более сложных измерений, чем его ширина.^[2][7] Игнорирование этого факта могло сыграть роль в Катастрофа космического корабля "Челленджер", поскольку круглость секций ракеты во время этого запуска проверялась только путем измерения различных диаметров, а некруглые формы могут вызвать необычно высокие напряжения, которые могли быть одним из факторов, вызвавших катастрофу.^[25]

Обобщения

Обобщение определения тел постоянной ширины на выпуклые тела в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ и их границы приводят к концепции поверхность постоянной ширины (в случае треугольника Рело это не приводит к Тетраэдр Рёло, но Тела Мейснера ).^[2][13] Также существует понятие космические кривые постоянной ширины, определяемой свойствами, что каждая плоскость, которая пересекает кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в одной другой точке, где она также перпендикулярна, и что все пары точек, пересекаемых перпендикулярными плоскостями, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.^{[26][27][28][29]}

Кривые и тела постоянной ширины изучались также в неевклидова геометрия^[30] а для неевклидовых нормированные векторные пространства.^[19]

Смотрите также

• Средняя ширина, усредненная по всем возможным направлениям ширина кривой
• Кривая Циндлера, кривая, у которой все хорды, разделенные пополам периметра, имеют одинаковую длину

Рекомендации

внешняя ссылка

• Интерактивный апплет Майкла Борчердса показывает неправильную форму постоянной ширины (которую можно изменить), созданную с использованием GeoGebra.
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая постоянной ширины». MathWorld.
• Плесень, Стив. «Формы и тела постоянной ширины». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2016-03-19. Получено 2013-11-17.
• Формы постоянной ширины в завязать узел